第 5 章數字系統與 資料表示法

1. 第5章數字系統與資料表示法

2. 本堂課重點 • 5-1 認識數字系統 • 5-2 數字系統間的轉換 • 5-3 負數的表示法 • 5-4 浮點數的表示法 • 5-5 文字的表示法

3. 5-1 認識數字系統 • 5-1-1 為什麼要有數字系統 • 5- 1- 2 常見的數字系統

4. 5-1-1 為什麼要有數字系統 • 全世界各地有許多不同的語言在使用, 例如中文、英文、日文……, 不知您是否曾想過：為什麼要有 "語言" 的產生呢？其答案是為了方便彼此溝通。例如屬於不同地方的兩個人碰面了, 他們就必須有一個共同瞭解的語言才能溝通。 • 電腦的資料表示也是如此, 在電腦裡, 有二進位 (Binary)、八進位 (Octal)、十進位 (Decimal)、十六進位 (Hexadecimal) 等各種不同的數字系統 (Number System), 這些數字系統也都是為了方便溝通使用。我們首先來看看電腦的基本問題。

5. 為什麼要有數字系統 • 上面是一個機器, 先不管這機器的功能為何, 請您試著以中文、英文、或日文描述一下開關設定的情形？您會發現都不太好描述, 不是嗎？

6. 為什麼要有數字系統 • 現在讓我們換另一種方式來描述看看, 此即為二進位的描述法。我們以 "1"代表開(向上), 以 "0" 代表關(向下), 由下圖就很容易地看出, 該機器正在執行把開關設定為 01001111 的工作：

7. 為什麼要有數字系統 • 下圖則是上面這台機器的背面, 這個機器是以 "有沒有來電" 來與我們溝通訊息！一般人常在儀表板上看到一些明暗訊號, 如果有機會自己把儀表板取下來研究一番, 便會發現其原理確實與我們在上面所描繪的一樣。所以用心的思考一下便會發現, 以二進位的方式來描述機器內部的訊息也是蠻適當的。

8. 為什麼要有數字系統

9. 為什麼要有數字系統 • 問題是這部機器只有 8 個開關, 如果有 16 個開關的話, 請問有沒有人能很快的讀出下面這 2 種設定有何不同：

10. 為什麼要有數字系統 • 現在您應該可以感覺出來二進位並不是很適合人類閱讀。這時候若用十六進位的方法來表示, 就容易閱讀些：

11. 為什麼要有數字系統 • CED2 和 CC90 比 1100111011010010 和 1100110010010000 來得容易區別吧！所以各種符號系統都有它適用的地方。電腦內部的資料適合以二進位來描述, 但人卻不善於使用 10001010110101101 這種長長一串的數字表示法,因此才折衷採用十六進位。

12. 在電腦中, 還可見到十六進位制嗎？ • 目前我們操作電腦時, 所見到的數字系統大都是十進位, 但有些地方仍可見到十六進位的表示法, 例如在 Windows 的命令提示字元交談窗中, 輸入 "dir" 指令, 即可看到 "磁碟區序號:" 欄位會顯示十六進位制的數值；而輸入 "ipconfig /all" 指令, 所看到網路卡的"實體位址" 欄位也是以十六進位制表示。

13. 5- 1- 2 常見的數字系統 • 其實自古以來, 人類雖已習慣以十進位來計算事物, 但同時也會使用到其他的數字系統, 最典型的例子如時間的計算, 時與分的換算採用六十進位；而日與時則為二十四進位；年與月則是使用十二進位來換算；另外我們也會用一打 (12個) 這樣的單位來計算東西的數量, 而傳統的重量單位：台斤與兩的計算, 則是十六進位, 即 1 台斤等於 16 兩。電腦和人一樣, 亦有屬於自己的數字系統, 如二進位、八進位和十六進位, 底下將分別對這些數字系統加以介紹。

14. 常見的數字系統 • 十進位數字系統：十進位是一套以 10 為基數, 逢 10 即進位的數字系統, 由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 等十個數元所組成, 這套數字系統是目前人類世界中最被廣泛採用的一套系統。 • 二進位數字系統：二進位是一套以 2 為基數, 逢 2 即進位的數字系統, 在此系統下, 任何數都只能用 0 和 1 兩種數元所組成的符號來表示。這套系統即是電腦所使用的數字系統。

15. 常見的數字系統 • 八進位數字系統：八進位是一套以 8 為基數, 逢 8 即進位的數字系統, 在此系統下, 我們只能使用 0、1、2、3、4、5、6、7 等八種數元, 如果運算過程中產生了大於或等於 8 的數, 便要往前進位。 • 十六進位數字系統：十六進位是一套以 16 為基數, 逢 16 即進位的數字系統,此數字系統是由 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F 等十六個數元所組成, 相對於十進位來看的話, A=10 、B=11 、C=12、D=13 、E=14 、F=15。

16. 常見的數字系統 • 下表將十進位數字 0 到 15 分別以二、八與十六進位來表示：

17. 5-2 數字系統間的轉換 • 由於電腦內部是以二進位形式來處理資料, 所以當我們輸入資料時, 電腦會自動將它轉換成二進位的形式。以下就讓我們進一步來探討各數字系統之間互相轉換的方法。

18. 數字系統間的轉換 • 5-2-1 轉換數字系統時的基本觀念 • 5-2-2 二進位與十進位間的轉換 • 5-2-3 八進位與十進位間的轉換 • 5-2-4 十六進位與十進位間的轉換 • 5-2-5 八進位與二進位間的轉換 • 5-2-6 十六進位與二進位間的轉換 • 5-2-7 十六進位與八進位間的轉換

19. 5-2-1 轉換數字系統時的基本觀念 • 我們先用最熟悉的十進位數字系統來說明： • 因此, 對於任何十進位的正數 N, 假設包含 p 位整數和q 位小數, 則一定可以用以下的多項式來表示：

20. 轉換數字系統時的基本觀念 • 要注意的是, p 位整數代表有 100 、102、103 、…10p-1 這些位數, 由於是從 0 起算, 所以只到 p-1, 而非p。而小數部分則是從 1 起算, 所以有10-1 到10-q 這些位數。 • 將以上的觀念擴展到 K 進位的數字系統, 則成為 (將 10 換成 K)：

21. 轉換數字系統時的基本觀念 • N 為 K 進位的正數, p = 整數的位數, q = 小數的位數 • 在以上的多項式中, K 就是所謂的『基底 (Base, 又稱為 Radix)』。換言之, 平常所謂的十進位, 就代表基底為 10；二進位代表基底為 2。而在不同的數字系統之間轉換, 便是『基底轉換 (Base Conversion)』。

22. 轉換數字系統時的基本觀念 • 後續各小節會說明基底轉換的各種方式與技巧, 有的直接用心算、有的必須用筆算才能算出答案。無論如何, 它們的基本原理都是以上述的多項式所發展出來的。所以當我們忘了某些方式或技巧時, 只要先將數字以上述的多項式來表示, 就能在任何數字系統之間互相轉換。

23. 5-2-2 二進位與十進位間的轉換 • 二進位轉換成十進位 • 十進位轉換成二進位

24. 二進位轉換成十進位 • 二進位轉換成十進位時, 其二進位整數部份, 在小數點左邊第一位的位值為20、第二位的位值為 21、第三位的位值為 22 ...；而小數部分, 在小數點右邊第一位的 位值為 2-1、第二位 的位值為 2-2 ...等依 序類推。以下我們 以 (11101.11)2來做 示範。

25. 二進位轉換成十進位 • 要將其轉為十進位, 只要將每一個二進位數乘以該數的位值, 然後相加即可獲得相對應的十進位數值：

26. 十進位轉換成二進位 • 將十進位轉換成二進位, 可分為兩個部份來處理；在此我們以 (29.25)10轉換成二進位來做示範。 • 整數部分 • 採連續除以 2 , 並保留 「餘數」 , 直到除法運算後的商數為 0 時停止；然後由最後一次產生的餘數開始, 依序由左向右排列, 即可完成整數部分的轉換。

27. 十進位轉換成二進位

28. 十進位轉換成二進位 • 小數部分 • 將小數部份乘以 2 , 保留所得乘積的 「整數部分」 , 繼續將乘法運算後所得的小數部分乘以 2 , 直到所得的小數為 0 時停止；然後由第一次取得的整數開始, 依序由左向右排列, 即可完成小數部分的轉換。

29. 十進位轉換成二進位 • 最後將整數部份加上小數部份：11101 + 0.01 = 11101.01 。所以 (29.25)10 =(11101.01)2

30. 5-2-3 八進位與十進位間的轉換 • 八進位轉換成十進位 • 十進位轉換成八進位

31. 八進位轉換成十進位 • 八進位的轉換原理和二進位相同, 其八進位整數部份, 在小數點左邊第一位的位值為 80、第二位的位值為 81 ...；而小數部份, 在小數點右邊第一位的位值為 8-1、第二位的位值 8-2 ...。因此八進位轉換成十進位, 只要將每一個八進位數乘以該數的位值, 然後相加即可求得。在此我們以 (127.3)8轉換成十進位來做示範：

32. 十進位轉換成八進位 • 要將十進位轉成八進位, 同樣地可分為整數與小數兩部份來處理。在此我們以 (87.375)10來示範。

33. 十進位轉換成八進位 • 整數部份 • 採連續除以 8 , 並保留 「餘數」 , 直到除法運算後的商數為 0 時停止；然後由最後一次產生的餘數開始, 依序由左向右排列, 即可完成整數部分的轉換。

34. 十進位轉換成八進位 • 小數部份 • 將小數部份乘以 8 , 保留所得乘積的 「整數部分」, 繼續將乘法運算後所得的小數部分乘以 8 , 直到所得的小數為 0 時停止；然後由第一次取得的整數開始,依序由左向右排列, 即可完成小數部分的轉換。

35. 十進位轉換成八進位 • 最後將整數部份加上小數部份：127 + 0.3 = 127.3 。所以 (87.375)10 = (127.3)8

36. 5-2-4 十六進位與十進位間的轉換 • 十六進位轉換成十進位 • 十進位轉換成十六進位 • 與十進位互轉的通則

37. 十六進位轉換成十進位 • 十六進位的轉換原理和二進位相同, 其十六進位整數部份, 在小數點左邊第一位的位值為 160、第二位的位值為 161 ...；而小數部份, 在小數點右邊第一位的位值為 16-1、第二位的位值為 16-2 ...。因此十六進位轉換成十進位, 只要將每一個十六進位數乘以該數的位值, 然後相加即可求得。在此我們以 (BCE.1E)16轉換成十進位來 做示範：

38. 十進位轉換成十六進位 • 十進位轉成十六進位的方式, 亦分為整數與小數兩部份來處理。在此以(43969.71875)10轉成十六進位來做示範。 • 整數部份 • 採連續除以 16 , 並保留 「餘數」 , 直到除法運算後的商數為 0 時停止；然後由最後一次產生的餘數開始, 依序由左向右排列, 即可完成整數部分的轉換。

39. 十進位轉換成十六進位

40. 十進位轉換成十六進位 • 小數部份 • 將小數部份乘以 16 , 保留所得乘積的 「整數部分」 , 繼續將乘法運算後所得的小數部分乘以 16 , 直到所得的小數為 0 時停止；然後由第一次取得的整數開始, 依序由左向右排列, 即可完成小數部分的轉換。

41. 十進位轉換成十六進位 • 最後將整數部份加上小數部份：ABC1+ 0.B8 = ABC1.B8 。所以 (43969.71875)10 = (ABC1.B8)16

42. 與十進位互轉的通則 • 十進位轉成 r 進位的原則：整數部份除以 r , 由下往上取餘數；小數部份乘以 r , 然後由上往下取整數。 • r 進位轉成十進位的原則：將每個位數乘以對應位值後, 全部相加即可。

43. 5-2- 5 八進位與二進位間的轉換 • 二進位與八進位互相轉換時, 請以3 個 1 組為單位來轉換會較為方便。表5-2 為八進位數與等值的二進位數之對照表。

44. 八進位與二進位間的轉換 • 二進位轉換成八進位 • 八進位轉換成二進位

45. 二進位轉換成八進位 • 欲將二進位轉換成八進位, 只要將二進位的整數部份由右至左, 每 3 個分成 1組, 不足 3 個即往前補 0；小數部份則由左至右每 3 個分成 1 組, 不足往後補 0 , 然後再對照上表, 將其轉換成對應的八進位數即可。在此我們以 (11100001110.101)2轉換成八進位來做示範：

46. 八進位轉換成二進位 • 同理, 當八進位要轉換成二進位時, 只要將八進位的數值轉換成每 3 個 1 組的二進位數值即可。在此我們以 (3416.5)8轉換成二進位為例來做示範：

47. 5-2- 6 十六進位與二進位間的轉換 • 二進位與十六進位轉換時,採每 4 個 1 組為單位來轉換會較為方便。右表為十六進位與等值的二進位數對照表。

48. 十六進位與二進位間的轉換 • 二進位轉換成十六進位 • 十六進位轉換成二進位

49. 二進位轉換成十六進位 • 欲將二進位轉換成十六進位, 只要將二進位數的整數部份, 由右往左每 4 個1 組進行轉換, 不到 4 個時, 就在前端補 0；小數部份則是由左往右每 4 個 1 組進行轉換, 不到 4 個時, 就在後面補 0 , 然後再對照上表, 將其轉換成對應的十六進位數即可。在此我們以 (1011111001.0011101)2 轉換成十六進位來做示範：

50. 十六進位轉換成二進位 • 同理, 當十六進位要轉換成二進位時, 只要將十六進位的數值轉換成每 4 個1 組的二進位數值即可。在此我們以 (2F9.3A)16 轉換成二進位為例來做示範：