디지털 신호처리

1. 디지털 신호처리 Jhmoon93@gmail.com

2. chapter 07. 디지털 필터의 기초

3. 주요내용 • 디지털필터의 개념 • 디지털필터의 표현 • 디지털필터의 종류 • 디지털필터의 주파수특성 • 필터설계 순서

4. 7.1 디지털필터의 개념 디지털 필터 : 특정한 성질의 결과를 얻기 위해서 이산신호를 처리하는 장치나 알고리즘. 그림 7.1 디지털필터의 개념 입력된 아날로그 신호 ①일정주기 T[sec]로 표본화되어, ② A/D 변환기에 의해 디지털 신호로 된다. ③ 가산기, 승산기, 지연기(shift register)를 이용하여 필터링 처리를 하고, ④ 출력을 D/A 변환기에 의해 아날로그 신호로 변환시킨다.

5. 7.1 디지털필터의 개념 아날로그필터와 비교하여 디지털필터의 장단점 • 장점 ① 비트 길이를 길게 하면 길게 할수록 고정도(高精度)의 필터를 실현 ② 필터계수 값을 적절히 변경시킴으로서 필터 특성을 쉽게 수정 ③ 하드웨어로 실현할 경우 그 구성요소는 논리회로와 메모리이기 때문에 LSI 화(化)가 용이(소형화, 경제화, 고신뢰화)함. ④ DSP(Digital Signal Processor:신호처리 전용 마이크로프로세서)의 이용이 가능함. ⑤ 온도변동, 경년변화에 의한 품질 열화가 없으므로 신뢰성이 높음.

6. 7.1 디지털필터의 개념 • 단점 ① 아날로그 신호에 대해서는 표본화, 양자화, 부호화에 의해 clock 주파수가 높게 되어 처리할 수 있는 아날로그 신호의 주파수 상한(上限)이 한정됨. ② A/D, D/A 변환기와 제어장치가 필요하므로, 낮은 차수의 필터를 구성할 때 또는 가변성, 다양성을 요구하지 않는 경우에는 소형화의 효과가 감소함. ③ 필터의 계수가 유한비트로 근사화되므로, 유한어장(finite wordlength)의 영향 등을 고려하여야 함. 소프트웨어에 의한 디지털필터 ⇒특성의 가변성이 최대의 이점 하드웨어로 실현한 디지털필터 ⇒ 품질의 균일성, 안정성, 소형화, 저가격화의 큰 이점.

7. 7.2 디지털필터의 표현 디지털필터의 표현방법 ⇒차분방정식, 블록선도, 전달함수 차분방정식으로 주어지는 디지털필터(그림 7.2 a) →차분방정식의 양변을 z변환(그림 7.2 b) 그림 7.2 디지털필터의 블록선도 시간영역과 z영역의 사이에는 시간영역 지연소자를 z-1의 승산기로 바꾸면 됨.

8. 7.2 디지털필터의 표현 예제 7.1블록선도가 다음과 같이 주어지는 디지털필터의 전달함수를 구하라. 그림 7.3 디지털필터의 블록선도 해답) 차분방정식 y(nT)는 y(nT) = x(nT) + 0.5x(nT-T) + 0.25x(nT-2T) 이다. 그러므로 전달함수 H(z)은 H(z) = 1 + 0.5z-1 + 0.25 z-2로 주어진다.

9. 7.2 디지털필터의 표현 • 블록법 • 기본이 되는 간단한 디지털필터를 단위블록으로 하여 복잡한 회로로 • 구성된 디지털필터의 전달함수를 구하는 방법 1) 직렬접속 그림 7.4 직렬접속 디지털필터 전체의 전달함수 H(z)을 인수분해하여 몇 개의 함수를 곱의 형태로 표시한다면, 복수의 기본블록을 종속으로 연결하여 실현할 수 있다.

10. (7.2) 7.2 디지털필터의 표현 2) 병렬접속 그림 7.5 병렬접속 디지털필터 전체의 전달함수 H(z)

11. 7.2 디지털필터의 표현 3) 귀환접속 출력 Y(z)이 입력측에 귀환(feedback)되는 경우의 전달함수 Where, 가산기의 출력을W(z),가산기에 귀환되는 입력을 V(z)

12. 7.2 디지털필터의 표현 그림 7.6 귀환접속 블록선도에서 직접 전달함수를 구하는 방법 ⇒ 재귀부분(1주 loop)과 비재귀부분(귀환이 없는 부분)을 분할하여 디지털필터의 전달함수 H(z)을 구함.

13. 7.2 디지털필터의 표현 예제 7.2다음과 같은 블록선도로 표시되는 각 디지털필터의 전달함수를 구하라. 그림 7.7

14. 7.2 디지털필터의 표현 풀이) 보조변수를 이용하여 차분방정식으로 구하는 방법도 있지만, 여기서는 블록선도에서 직접 전달함수를 구하는 방법으로 구해 보자. (a)재귀부분이 없으므로 전달함수는 다음과 같이 주어진다. (b)우선 비재귀부분의 전달함수는 a0 + a1z-1이다. 그리고 재귀부분의 loop는 2개로 b1z-1와 b2 z-2이다. 따라서 식 (7.5)를 적용하면 전달함수 H(z)은 다음과 같이 주어진다. (c)비재귀부분의 전달함수는 4+3z-1이고, 재귀부분의 전달함수는 0.5z-1다. 따라서 식 (7.5)를 적용하면 전달함수 H(z)는 다음과 같이 주어진다.

15. 7.2 디지털필터의 표현 예제 7.3다음과 같은 전달함수를 갖는 디지털필터의 차분방정식을 구하라. • 해답)전달함수 H(z)은 입력신호 x(n)과 출력신호 y(n)의 z변환의 비(比) • ⇒위의 식을 전개 • Y(z) - 0.5z-1 Y(z) - 0.06z-2 Y(z) = 4X(z) + 3z-1 X(z) + 2z-2 X(z) • ⇒차분방정식으로 고치면 • ∴y(nT) = 0.5y(nT-T) + 0.6y(nT-2T) + 4x(nT) + 3x(nT-T) + 2x(nT-2T) 그림 7.8 블록선도

16. 7.2 디지털필터의 표현 • 기타 디지털필터를 표현하는 방법 제어이론분야에서 많이 사용하는 상태공간표현법 (state space representation) 시스템 표현의 한 방법으로 시스템을 1계의 연립차분방정식 ⇒ 보조변수를 이용하여 전후간의 입출력관계를 표현하는 상태방정식과 출력을 표현하는 출력방정식으로 구성됨.

17. 7.3 디지털필터의 종류 귀환의 유무로 분류 재귀형(recursive filter) 비재귀형(nonrecursivefilter) 시간영역특성에서 임펄스응답의 유,무한 관점에서 분류 FIR(Finite Impulse Response) IIR(Infinite Impulse Response)

18. 그림 7.9 FIR필터 7.3 디지털필터의 종류 1. FIR 필터 (Finite Impulse Response) 임펄스응답이 유한하며 비순회형 혹은 비재귀형 필터라고도 부름. 입출력관계는 차분방정식으로 주어짐. 식(7.6) ⇒귀환로가 없을 때(bn = 0, n = 1, 2, … , N)

19. 7.3 디지털필터의 종류 임펄스응답은 a0 , a1 , a2 , … , aM , 0, 0, … ⇒필터의 계수와 일치하고 유한함. 필터를 FIR 필터라함 • 장점 • ① 선형(직선)위상특성을 정확하고 용이하게 실현 • ⇒ 데이터전송과 같은 파형정보를 중요시하는 응용에서는 필수적인 성질. • ② 귀환이 없기 때문에 항상 안정하다. • 단점 • ① 주파수영역에서 급준한 감쇠특성을 실현할 때는 높은 차수의 필터가 필요.

20. 7.3 디지털필터의 종류 • 선형위상 필터의 입출력의 위상차가 신호의 주파수에 비례하는 것을 의미. ⇒군지연 특성이 주파수에 관계없이 일정함. 신호파형의 형태가 문제가 되는 경우 ⇒ 파형을 찌그러지지 않도록 하기위해 선형위상특성을 갖는 필터 이용. 선형위상특성을 근사할 수 있는 것 ⇒ 아날로그필터, IIR디지털필터로도 실현가능하지만, 완전한 선형위상을 실현할 수 있는 것 ⇒FIR 디지털필터.

21. 선형위상필터의 임펄스응답 식(7.8)에 대응하는 응답 식(7.9)에 대응하는 응답 그림 7.10 선형상위필터의 임펄스응답

22. 7.3 디지털필터의 종류 2. IIR필터 (Infinite Impulse Response) 임펄스응답이 무한한 필터. 순회형 혹은 재귀형 필터라고도 부름. 귀환로가 있는 경우 차분방정식으로 주어짐. ⇒식 (7.6)의 양변을 z변환하면 전달함수 H (z) ⇒임펄스응답의 z변환이므로 임펄스응답이 무한함.

23. 7.3 디지털필터의 종류 그림 7.11 IIR필터  IIR필터의 특징 • 장점 • ① FIR 필터보다 적은 차수로 급준한 감쇠특성을 실현할 수 있다. • 단점 • ① 선형위상특성을 실현하기 어렵다. • ② 귀환이 있기 때문에 항상 안정하다고는 할 수 없다. • 무한어장(無限語長) 연산에서는 안정하더라도 실제의 유한어장 연산에서 • 리미트 사이클(limit cycle)과 같은 진동을 일으킴. • ∴ 시스템이 안정한가를 항상 판별해야 함.

24. 7.3 디지털필터의 종류 예제 7.4진폭특성이 같은 두 종류의 디지털필터의 전달함수가 아래와 같다. 각각에 대하여 (a) FIR형인가 IIR형인가를 밝혀라. (b) 블록선도 및 차분방정식을 유도하라. (c) 승산기, 가산기 및 데이터 저장개소는 몇 개 필요한가?

25. 그림 7.12 해답) (a) (1)IIR필터 (2)FIR 필터이다 (b) (1)의 필터에 대한 블록선도 그림 7.12(a), 대응하는 차분방정식 w(nT) = x(nT) -b1 w(nT-T) -b2w(nT- 2T) y(nT) = a0w(nT) + a1w(nT-T) - a2w(nT- 2T) (2)의 필터에 대한 블록선도 그림 7.12(b),대응하는 차분방정식 (c) IIR FIR 승산기5 12 가산기4 11 저장개소8 24 (그림 7.25 참조)

26. ⇒ 입출력신호의 z변환의 비(比) → 7.4 디지털필터의 주파수특성 • 디지털필터의 주파수특성에 따라 통과역(pass band) ⇒디지털필터의 진폭특성 |H(ejT)| ≒ 1인 주파수영역으로 입력신호가 출력신호가 됨. 저지역(stop band) ⇒|H(ejT)| ≒ 0로 되는 주파수영역으로 입력신호가 감쇠되어 출력신호가 나오지 않는다. 디지털필터의 전달함수 H(z) Where, z = ejT로 하면 H(ejT)를 구함.

27. 7.4 디지털필터의 주파수특성 고유함수 ejT ⇒T = 2, 4, 6, …일 때 같은 값이 되며 ⇒s = 2/T[rad/sec] (f = s / 2 = 1/T[Hz])의 주기 ⇒ 주파수특성 H(ejT)는 동일한 특성이 반복. 표본화간격이 T일 경우 ⇒주파수 스펙트럼의 X축(주파수 축)의 범위 → 주파수로 표시 f =0 ~1/2T까지 표시. →각 주파수로 표시할 경우 T = 0 ~ 특성을 표시. ⇒ X축이  일 때는 /T까지 표시. |H(ejT)|    그림 7.13 디지털필터의 진폭스펙트럼

28. 7.4 디지털필터의 주파수특성 예제 7.5디지털필터의 입출력관계가 다음과 같은 차분방정식으로 주어질 때 이 시스템의 주파수특성을 구하여 진폭특성과 위상특성의 개략도를 그려라. 해답) 차분방정식의 양변을 z변환하여 전달함수를 구하면 주파수특성 H(ejT)

29. 7.4 디지털필터의 주파수특성 • 고역통과 디지털필터 (예제 7.5) 낮은 주파수(T ≒ 0)에서 |H(ejT)| ≒0 ⇒입력신호는 거의 출력신호로 나오지 않는다. 높은 주파수(≒ 0)에서 |H(ejT)| ≒1 ⇒입력신호는 그대로 출력신호로 된다. 표본화간격 T를 0.01[sec]로 하여 주파수로 환산 ⇒X축 T= f,  = 50[Hz] (그림 7.14) 그림 7.14 주파수 특성

30. 7.4 디지털필터의 주파수특성 • 진폭특성 분류 저역필터(low pass filter), 고역필터(high pass filter), 대역필터(band pass filter) ,대역저지 필터(band stop filter) 등으로 나뉨. 그림 7.15 이상적인 진폭특성

31. 7.4 디지털필터의 주파수특성 그림 7.16 필터의 진폭특성 및 감쇠특성 진폭특성을 dB로 표시 ⇒20log|H(ejT)| [dB] 감쇠량 표시 ⇒-20log|H(ejT)| [dB]

32. 7.4 디지털필터의 주파수특성 • 실현 가능한 필터의 설계 스펙(specification) 그림 7.17 필터의 설계스팩  0= 3[dB](전력1/2, 진폭 1/ √2)되는 주파수 ⇒차단주파수(cutoff frequency)  0 ~ 0까지의 주파수대역 ⇒대역폭(bandwidth)  r은 소거주파수(shutoff frequency)로서 최초의 저지역을 의미 .

33. 7.5 필터설계 순서 디지털필터를 설계하는 순서는 5단계의 과정이 필요 (1) 설계스펙 결정 (2) 필터계수 결정(전달함수 결정) (3) 구조 결정 (4) 유한어장 영향의 해석 (5) 소프트웨어 혹은 하드웨어 실현

34. 7.5 필터설계 순서 1. 설계스펙 스펙이 주어지는 3가지 방법 ① 진폭특성만 규정하는 경우 ② 진폭특성과 위상특성을 동시에 지정하는 경우 ③ 임펄스응답과 진폭특성을 지정하는 경우 ⇒ ①과 ②는 주파수영역만, ③은 주파수영역과 시간영역을 동시에 규정. 1) 진폭특성만 규정하는 경우 예)저역통과 필터 그림 7.18

35. 7.5 필터설계 순서 fp: 차단주파수[Hz] Ap: 통과역 최대감쇠량[dB] fr : 소거주파수[Hz] Ar : 저지역 최소감쇠량[dB] fs: 샘플링 주파수(samplingfrequency)[Hz] 그림 7.19 진폭특성 그림 7.19(a)와 같이 최대평탄 특성(Butterworth특성)이 많이 이용. 통과역과 저지역 모두 양호한 특성을 얻기 위해서그림 7.19(b)필터 유용.(equalripple) 최대평탄 특성과 체브체프(Chebyshev) 특성을 병용한 그림 7.19(c), (d)

36. 7.5 필터설계 순서 2) 진폭특성과 위상특성을 동시에 지정하는 경우 그림 7.20 입력파형이 0만큼 지연되고 찌그러짐이 없도록 전송하기 위해 ⇒진폭특성이 1(전역통과형)이고, ⇒위상특성이 선형(군지연특성이 일정한 값)이어야 함. 군지연특성 ⇒어떠한 주파수의 입력정현파 계열에 대해 출력정현파 계열의 시간지연을 시간단위로 표현 찌그러짐이 없는 파형전송을 실현할 경우 대표적인 특성 ⇒지연 최대평탄 특성, 지연 등맥동특성, 정지연 특성(선형위상특성) 등

37. 7.5 필터설계 순서 3) 임펄스응답과 진폭특성을 지정하는 경우 그림 7.21 시간영역에서 부호간 간섭을 억제하기 위해 ⇒임펄스응답의 주펄스의 피크점으로부터 부호간격 Tc마다 0으로 함. 주파수영역에서 부호스펙트럼의 대역제한을 하기 위해 ⇒ 진폭특성이 어떠한 주파수보다 높은 주파수성분을 가지지 않게 하는 필터가 필요. 부호간 간섭·저지역 감쇠량규정 디지털필터라 부름.

38. 7.5 필터설계 순서 2. 필터계수 결정 • FIR 필터의 계수를 구하는 방법 주파수영역의 경우 ⇒ 창함수법(window function method), 이상필터의 무한 임펄스응답을 유한 임펄스응답으로 근사하여 FIR 필터의 계수를 결정하는 방법. ⇒주파수 샘플링법(frequency sampling method) 설계스펙으로 주어진 진폭특성을 주파수축상에서 샘플링하고 근사하는 것에 의해서 결정하는 방법.

39. 7.5 필터설계 순서 • IIR 필터의 계수를 구하는 방법 스펙을 만족하는 아날로그필터의 전달함수를 구하고 각종 z변환법을 이용하여 디지털필터의 전달함수를 구하는 것. 사용되는 z변환의 대표적인 것 ⇒표준 z변환(standard z-transform), 쌍 1차 z변환(bilinear z-transform) 정합 z변환(matched z-transform) 등 시간영역스펙이 주어진 경우 ⇒임펄스응답 h(nT)를 희망하는 임펄스응답 hd(nT)로 근사하는 방법 비선형 최적화법을 이용하여 오차의 자승평균치를 최소화 시키는 최적화법

40. 7.5 필터설계 순서 3. 구조 결정 • IIR형의 경우 3가지의 기본구조 직접형 ⇒IIR형의 전달함수를 단순히 표현한 것. 종속형 ⇒ 전달함수를 2차 및 1차의 전달함수로 인수분해하여 블록으로 하여 종속접속으로 구성하는 구조. 병렬형 ⇒ 전달함수를 부분분수의 합으로 하여 2차 및 1차의 전달함수에 의한 병렬접속으로 구성하는 구조

41. 7.5 필터설계 순서 7.22 (a) 직접형

42. 7.5 필터설계 순서 7.22 (b) 종속형 (c) 병렬형

43. 7.5 필터설계 순서 • FIR형의 경우 구조 • ⇒ 그림 7.23(a)와 같은 직접형이 주로 이용. ⇒트랜스버셜필터(transversalfilter) 혹은 tapped delay line이라함.  그림 7.23(b),(c)는주파수 샘플링구조와 고속 컨볼루션형태의 구조 트랜스버셜필터와 비교하여 주파수 샘플링구조는 계수가 몇 개 안되어 계산이 간단하나 구조가 복잡하며 많은 저장 메모리가 필요.

44. 7.5 필터설계 순서 7.23 (a) 트랜스 버셜필터(b) 주파수 샘플링 구조 (c) 고속 콘볼루션

45. 7.5 필터설계 순서 • 격자형의 기본구조 음성신호처리와 선형 예측법에 주로 이용됨. 그림 7.24(a) - 단일 입력과 한 쌍의 출력으로 되어 있다. 그림 7.24(b)와 같이 N차의 격자형 필터를 구성할 수 있다. 그림 7.24(c)는 분자다항식이 1차이고 분모다항식이 2차인 전극(all-pole) 2차 IIR격자형필터. 7.24 각종 격자형 필터

46. 7.5 필터설계 순서 4. 유한어장 영향의 해석 • 정확한 필터의 계수를 구하고 곱셈과 덧셈이 정확해도 필터의 계수는 보통 8(bit) 또는 16(bit)로 유한하기 때문에 양자화 오차가 발생함. • 유한어장으로 인한 주요 특성열화 • ① 입·출력 양자화 오차(input/output signal quantization) • 디지털필터로 아날로그 신호를 처리하고자 하는 경우에는 아날로그 신호를 A/D 변환기에 통과시켜야 하는데 이 때 양자화 오차가 발생한다. • ② 계수 양자화 오차(coefficient quantization) • 필터계수의 양자화에 기인하는 오차로 인해 FIR 및 IIR 필터의 주파수특성이 • 달라진다. 특히 IIR형의 경우에는 불안정한 필터가 될 수도 있다. • ③ 오버플로우 발진(overflow oscillation) • 가산결과가 허용하는 어장을 초과할 때 발생하는데, 이것은 잘못된 • 출력샘플을 초래하고 IIR형에서는 불안정으로 되는 원인이 된다.

47. 7.5 필터설계 순서 5. 하드웨어 혹은 소프트웨어 실현 1) 하드웨어에 의한 실현 디지털필터의 구성요소 ⇒ 승산기, 가산기, 지연기 각종의 계산을 실행하는 가산회로와 승산회로와 같은 연산회로가 필요. 지연(delay)을 실현하는 시프트 레지스터(shift register)가 필요. 필터계수의 기억에는 IC 메모리가 있어야 함. 7.25 하드웨어에 의한 구성

48. 7.5 필터설계 순서 • 전용하드웨어로 디지털필터를 실현 할 경우 문제점 고속으로 동작 할 수 있는 이점 외에 ① 스펙에 따른 설계가 어렵다. ② 필터의 종류에 따라 하드웨어를 따로 구성해야 한다. ③ 배선이 곤란하고 규격이 커지므로 대규모의 필터는 실현하기 어렵다. ④ 가격이 비싸다. 2) 소프트웨어에 의한 실현 필터의 계산을 수행하는 프로그램에 의해 디지털필터를 실현하는 방법 신호처리 전용으로 개발된 DSP(Digital Signal Processor) - 고속처리가 가능하기에 만족할만한 동작속도를 가진 디지털필터를 실현.

49. 7.5 필터설계 순서 • 소프트웨어 실현의 장점 • ① 동일한 소프트웨어 구성을 이용하여 프로그램의 변경만으로 다양한 • 필터를 실현할 수 있다. • ② 대량생산이 가능하고 가격도 싸다. 어떠한 신호로부터 여분의 성분을 제거하기 위하여 디지털필터를 사용하는 경우 ⇒하드웨어로 실현하는 방법 ⇒ 마이크로프로세서 or DSP를 이용하여 firm의 형태로 실현하는 방법

50. 7.5 필터설계 순서 • 소프트웨어에 의한 실현 예