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A. D. E. C. B. 平行四边形判定( 3 ). 探究新知 :. 2 、利用一组对边的关系判定平行四边形 (1) 提出问题:只给你一块刻度尺,你能在算式格子上画出平行四边形吗?试试看 . (2) 画法: ①在两条平行的格子上分别取线段 AD=BC , ②连结 AB,BC,CD,DA, 则四边形 ABCD 就是平行四边形. (3) 这样画出的的四边形一定是平行四边形吗?. A. D. ●. ●. ●. ●. B. C. 探究新知 :.
E N D
A D E C B 平行四边形判定(3)
探究新知 : • 2 、利用一组对边的关系判定平行四边形 • (1)提出问题:只给你一块刻度尺,你能在算式格子上画出平行四边形吗?试试看. • (2)画法: • ①在两条平行的格子上分别取线段AD=BC, • ②连结AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD就是平行四边形. (3)这样画出的的四边形一定是平行四边形吗? A D ● ● ● ● B C
探究新知 : • 这个问题就是:已知四边形ABCD中,AD=BC,AD∥BC,那么四边形ABCD为什么是平行四边形?(交流讨论) • 证明:连结AC • ∵AD=BC,AD∥BC(已知) • ∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等) • ∵AC=CA(公共边) • ∴△ADC≌△CBA(SAS) • ∴∠4=∠3(全等三角形对应角相等) • ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行) • ∴四边形ABCD是平行四边形 • (有两组对边分别平行的四边形是平行四边形) 2 3 4 1 你能用一句话把上面的结论描述出来吗?
探究新知 : • 结论: • 平行四边形的判定2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. • ∵ AD=BC,AD∥BC • ∴四边形ABCD是平行四边形 文字语言 符号语言 图形语言
引例:如图,点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,求证DE∥BC且DE= BC A 证明:延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF ∵AE=EC D E ∴四边形ADCF是平行四边形 CF∥DA,CF=DA C B ∴CF∥BD,CF=BD A ∴四边形DBCF是平行四边形 DF∥BC,DF=BC 又DE= DF E D F ∴DE∥BC且DE= BC B C 还有另外的证法吗?
已知:在△ABC 中,DE是△ABC 的中位线 求证:DE ∥ BC,且DE=1/2BC。 证明:如 图,延 长DE 到 F,使EF=DE ,连 结CF. A ∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC ∴△ADE ≌ △CFE D E F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF 所以 ,四边形BCFD是平行四边形 B C ∴DE ∥ BC 且 DE=1/2BC
中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。 定义:把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 • 证明平行问题 • ② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
思考: 三角形的中位线与三角形的中线有什么区别? 中位线是两个中点的连线,而中线是一个顶点和对边中点的连线。
巩固练习: A D F B C E 1.如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、 BC、CA的中点,以这些点为顶点,你能在图中画出多少个平行四边形? 三条中位线把原三角形分成了几个小三角形?这些三角形有什么关系?
2.如图, A 、B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC和BC,怎样测出A、B两点的实际距离?根据是什么? A D C B E
例1:求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。例1:求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形。 已知:E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、BC、CD、DA的中点。求证:EFGH是平行四边形。
例2:已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于 点F、G,连接AC交BD于O,连结OF. 求证: AB= 2 OF A 提示:证明△ABF≌ △ECF, 得BF=CF,再证OF是 △ABC的中位线. D O G B C F E
例3:已知 ABCD中,AC、BD相交于点O,E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求 证:∠HEF= ∠FGH。
练一练 1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点, BC=10cm,则DE=______. 2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点, ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____. A A D E D E C C B B (2) (1)
3、△ABC 中,D 是AB中点,E 是AC上的点,且3AE = 2AC,CD、BE交于O点. 求证:OE = BE.
1.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,F分别为AC,BC的中点,CE是斜1.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,F分别为AC,BC的中点,CE是斜 边的中线,如果DF=3cm, 则CE=_______cm。 C D F 走进中考 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 A B E 图1 2.已知如图2,BD、CE分别是 △ABC的外角 平分线,过点A作AF⊥BD,AG ⊥CE,垂足分别是F、G,连结FG,延长AF、AG,与直线BC相交,求证: FG=1/2(AB+BC+AC) ∟ A D E F G H H K B C
思考题:已知如图:在△ABC中,AB、BC、CA的中点分别是E、F、G,AD是高。求 证:∠EDG= ∠EFG。 分析:EF是△ABC的中位线 DG是Rt△ADC斜边上的中线 ∴EF=DG 你还想到了什么?
小 结 三角形中位线定义 三角形中位线定理 三角形中位线定理应用
定 理 应 用: ⑴定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径 注意: 在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 ①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线