ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

2. §1. Прямая на плоскости.Различные виды уравнений прямой на плоскости. Пусть имеется прямоугольная система координат Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел  ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения, т.е. равенства, связывающего координаты точек линии. Уравнением линии на плоскости называется такое уравнение с двумя переменными, и которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

3. Переменные и в уравнении линии называют текущими координатами точек линии. В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи: 1. зная геометрические свойства линии, найти ее уравнение; 2. зная уравнение линии, изучить ее форму и свойства.

4. Простейшей из линий является прямая. Различным способам задания прямой соответствуют различные виды ее уравнений. Рассмотрим их.

5. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Положение прямой на плоскости относительно прямоугольной системы координат определяется точкой принадлежащей этой прямой, и ненулевым вектором перпендикулярным называется нормальным к прямой. Вектор вектором прямой.

7. Если  произвольная точка этой прямой, то  Выражая скалярное произведение через координаты и получим уравнение прямой, векторов заданной точкой и нормальным вектором: (1.1)

8. 2. Общее уравнение прямой. В уравнении (1.1) раскроем скобки и приведем подобные: или (1.2) Уравнение (1.2) называютобщим уравнением прямой на плоскости.

9. Рассмотрим частные случаи расположения прямой на плоскости и запишем соответствующие уравнения:  1) прямая проходит через точку  2) прямая параллельна оси  3) прямая параллельна оси  4) или прямая совпадает с осью  5) или прямая совпадает с осью

10. 3. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Положение прямой на плоскости определяется также точкой этой прямой и ненулевым вектором параллельным данной прямой, который называется направляющим вектором этой прямой. Если произвольная точка этой прямой, то (1.3) где числовой множитель, который может быть любым действительным числом в зависимости от положения точки на прямой.

12. Записав обе части равенства (1.3) через координаты, получим (1.4) Уравнения (1.4) называютпараметрическими уравнениями прямой на плоскости.

13. Исключив из уравнений (1.4) параметр получим уравнение (1.5) которое называютканоническим уравнением прямой на плоскости. 4. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пусть прямая проходит через точки и

14. Тогда вектор будет направляющим для этой прямой. Воспользовавшись уравнением (1.5), получим уравнение (1.6) которое называютуравнением прямой по двум точкам.

15. 5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. Пусть на плоскости задана произвольная прямая, не параллельная оси проходящая через точку Тогда первая координата ее направляющего вектора не равна нулю, т.е.

17. Преобразуем уравнение (1.5): . (1.7)

18. Уравнение (1.7),где угловой коэффициент прямой, угол наклона прямой положительному направлению оси называется уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту. Преобразуем уравнение (1.7): (1.8) Уравнение (1.8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

19. 6. Уравнение прямой в отрезках. Пусть прямая пересекает ось в точке а ось в точке

20. В этом случае уравнение (1.6) прямой, проходящей через две точки, примет вид: (1.9) Уравнение (1.9) называют уравнением прямой в отрезках, так как числа и указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

21. §2. Взаимное расположение прямых • на плоскости. Рассмотрим два случая. 1. Пусть прямые и заданы общими уравнениями: Тогда их нормальные векторы соответственно и

22. Возможны следующие случаи взаимного расположения прямых: 1) 2) совпадает с 3) 

23. 4) Тогда пересекается с под углом (2.1)

24. 2. Пусть прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом: Возможны следующие случаи взаимного расположения прямых: 1) 2) совпадает с

25. 3)  4) пересекается с под углом (2.2)

26. §3. Расстояние от точки до прямой. Пусть заданы прямая уравнением и точка

27. Расстояние от точки до прямой где равно модулю проекции вектора  произвольная точка прямой на направление нормального вектора

29. Следовательно:

30. Поскольку то Поэтому (3.1)

31. Пример. Зная уравнение двух сторон параллелограмма и и одну из его вершин составить уравнения двух других сторон. и Решение. Введем обозначение , и  нормальные векторы прямых соответственно. и Поскольку то векторы и не параллельны. не коллинеарны, а прямые

32. B 2x+5y+6=0 C x-3y=0 A D Значит, нам даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма. Поскольку, координаты точки не удовлетворяют ни одному из уравнений, то вершина не лежит ни на одной из этих прямых.

33.  Поскольку то и, воспользовавшись формулой (1.1), составим уравнение по точке прямой и нормальному вектору

34.  Аналогично, и уравнение прямой

35. C A B D Пример. Треугольник задан координатами своих вершин: Требуется: а) записать уравнение прямой, содержащей сторону б) записать уравнение прямой, содержащей высоту и вычислить ее длину

36. Решение. а) Для того, чтобы найти уравнение прямой воспользуемся каноническим уравнением (1.5). Направляющим вектором этой прямой возьмем вектор т.е. В качестве точки на прямой можно взять любую из точек Тогда уравнение прямой или выберем будет

37. Воспользуемся б) Запишем уравнение высоты уравнением (1.1) прямой по точке и нормальному вектору. Поскольку  высота треугольника то  Значит, в качестве нормального вектора прямой можно взять вектор а в качестве фиксированной т.е. точки на прямой берем точку Тогда уравнение

38. Она равна расстоянию от Вычислим длину высоты до прямой точки Воспользуемся формулой (1.13):

39. §4. Плоскость в пространстве.Различные виды уравнений плоскости в пространстве. Плоскость в пространстве относительно выбранной прямоугольной системы координат Каждому из них можно задать разными способами. соответствует определенный вид ее уравнения.

40. 1)Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору(по точке и нормальному вектору). Положение плоскости в пространстве вполне определяется какой-либо точкой принадлежащей этой плоскости, и ненулевым вектором перпендикулярным к плоскости. называют нормальным вектором плоскости. Вектор

41. Р

42. Если  произвольная точка этой плоскости, то  Выражая скалярное произведение через координаты векторов и получим уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором: (4.1)

43. 2) Общее уравнение плоскости. В уравнении (4.1) раскроем скобки и приведем подобные: или (4.2) Уравнение (4.2) называют общим уравнением плоскости в пространстве.

44. 3) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Чтобы определить уравнение плоскости, проходящей через три точки не принадлежащие одной прямой, необходимо взять на этой плоскости произвольную точку Тогда векторы  компланарны и их смешанное произведение равно нулю.

46. Следовательно, выражая смешанное произведение векторов через их координаты, получаем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: (4.3)

47. Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Решение. Воспользуемся уравнением (2.3):

48. Таким образом , уравнение искомой плоскости

49. 4) Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость отсекает наосях и соответственно отрезки и т.е. проходит через три точки