畢氏定理介紹

1. About Pythagorean theorem 畢氏定理介紹

2. Pythagorean theorem 畢達哥拉斯定理 又稱勾股弦定理或勾股定理，是一個基本的幾何定理。

3. 畢達哥拉斯定理 (簡稱畢式定理)，又稱勾股弦定理或勾股定理。是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。 • 在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等於斜邊長的平方。

4. About Pythagoras 畢達哥拉斯 簡介 畢達哥拉斯，約前580年－前500年。 希臘語：Πυθαγόρας

5. 畢達哥拉斯（希臘語：Πυθαγόρας，約前580年－前500年），古希臘哲學家、數學家和音樂理論家。生於薩摩斯島，早年曾遊歷埃及，後定居義大利南部城市克羅頓，並建立了自己的社團。公元前510年因發生反對派的造反，畢達哥拉斯又搬到梅達彭提翁，直至死去。畢達哥拉斯（希臘語：Πυθαγόρας，約前580年－前500年），古希臘哲學家、數學家和音樂理論家。生於薩摩斯島，早年曾遊歷埃及，後定居義大利南部城市克羅頓，並建立了自己的社團。公元前510年因發生反對派的造反，畢達哥拉斯又搬到梅達彭提翁，直至死去。

6. 畢達哥拉斯的哲學思想受到俄耳浦斯的影響，具有一些神秘主義因素。從他開始，希臘哲學開始產生了數學的傳統。畢氏曾用數學研究樂律，而由此所產生的「和諧」的概念也對以後古希臘的哲學家有重大影響。畢達哥拉斯還是傳統上所知的勾股定理首先發現者。畢達哥拉斯的哲學思想受到俄耳浦斯的影響，具有一些神秘主義因素。從他開始，希臘哲學開始產生了數學的傳統。畢氏曾用數學研究樂律，而由此所產生的「和諧」的概念也對以後古希臘的哲學家有重大影響。畢達哥拉斯還是傳統上所知的勾股定理首先發現者。

7. Pythagorean theorem 畢式定理與商高定理 法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。

8. 在中國，《周髀算經》記載了勾股弦定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股弦定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。在中國，《周髀算經》記載了勾股弦定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股弦定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。

9. 中國古代的《周髀算經》中，記載了商朝的商高引述大禹發現了勾股弦定理：中國古代的《周髀算經》中，記載了商朝的商高引述大禹發現了勾股弦定理： • 「故折矩, 以為句廣三, 股修四, 徑隅五。既方之, 外半其一矩, 環而共盤, 得成三四五。兩矩共長二十有五, 是謂積矩。」…「故禹之所以治天下者，此數之所生也。」—周髀算經 卷上之一 • 《周髀算經》中更明確記載了公式： • 「若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日」—周髀算經 卷上之二

10. 印度的數學家兼天文學家婆什迦羅，也給出了與趙爽相同的幾何圖形。但是婆什迦羅在畫出這個圖形之後，並沒有進一步解釋和證明，只是說：“正好！”印度的數學家兼天文學家婆什迦羅，也給出了與趙爽相同的幾何圖形。但是婆什迦羅在畫出這個圖形之後，並沒有進一步解釋和證明，只是說：“正好！” • 關於這個定理，雖然號稱畢達哥拉斯定理，但人們在遺留下來的古希臘手稿或譯文中並沒有找到畢達哥拉斯本人及其學派的有關證明，所以人們只能對他可能用的方法進行一些揣測。

11. Prove 證明 路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

12. 相似三角形的證法 • 有許多勾股弦定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。 • 設ABC為一直角三角形, 直角於角C（見下頁附圖）. 從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：

14. 歐幾里得的證法 • 在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股弦定理的以下証明。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

15. 在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理： • 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） • 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 • 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 • 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 • 證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

16. 其證明如下： • 設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 • 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 • 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。 • 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA

17. ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 • ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 • 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 • 因為 A 與 K 和 L在同一直線上，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 • 因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 • 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB²。

18. 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC²。 • 把這兩個結果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC • 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC • 由於CBDE是個正方形，因此AB² + AC² = BC²。 • 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的

19. 圖形重新排列證法 • 此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為(a+ b)2。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為a2+ b2，右方餘下面積為c2，兩者相等。

20. Pythagoras theorem converse theorem 畢氏定理的逆定理 畢氏定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法。

22. 參考資料 • http://zh.wikipedia.org/zh-tw/ 維基百科 台灣正體 • http://baike.baidu.com/ 百度百科 • http://en.wikipedia.org/Wikipedia English • http://tw.dictionary.yahoo.com/Yahoo奇摩字典http://translate.google.com.tw/ Google 翻譯 • http://tc.wangchao.net.cn/ 王朝網絡