ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕСУРСНЫЕ СЕТИ

1. ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕСУРСНЫЕ СЕТИ О.П. КузнецовИнститут проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва olkuznes@ipu.rssi.ru Л.Ю. ЖиляковаПИ ЮФУ, г. Ростов-на-Дону zhilyakov@aaanet.ru Тверь, КИИ-2010

2. Функции на ребрах Ориентированный граф G(V, E); V – множество вершин, V= n; E – множество ребер, e = (u, v); Е= m. Hа ребрах определена числовая функция (поток) f(e) = f(u, v), u, vV.  Дивергенция вершины (разница между входящим и выходящим потоками) divf(v) = так как всякое входящее ребро является выходящим.

3. 1. Статические потоки 1а.Классическая постановка Форда-Фалкерсона: s-t-поток (1-1-задача) 1. Выделены две вершины: s (источник) и t (сток). Остальные вершины называются внутренними; для них divf(v) = 0. 2. На функцию f(е) наложены ограничения: 0 f(е) с(е); с(е) называется пропускной способностью (емкостью, проводимостью) ребра е.  Из п.1 следует, что divf(t) =  divf(s) = M(f) – мощность(объем, величина) потока.

4. s a b c t s 2 1 4 a 1 c a 1 1 2 2 b 2 1 3 s 1 1 1 c 1 2 3 t t 2 b Пример Матрица потока F = ||fij||nn

5. Разрезы Разрез А = (X, Y) - разбиение множества вершин на два класса, причем s X, tY. U+(A) – множество вершин из X в Y; U(A) – множество вершин из Y в X. c(A) = - пропускная способность разреза. divf(A) = M(f) = divf(A) = = c(A) – мощность потока не превосходит пропускной способности любого разреза.

6. Теорема Форда-Фалкерсона: 1. Еслидля всех е Е с(е) – целые числа, то существует целочисленный максимальный поток (поток максимальной мощности). 2. Мощность максимального потока равна пропускной способности минимального разреза: M(f) = с(А). Алгоритм Форда –Фалкерсона строит максимальный поток только в целочисленном случае. В общем случае алгоритм Форда-Фалкерсона может не сойтись, причем даже в пределе может получиться немаксимальный поток.

7. s1 t1 Потоковая сеть s t sk tl 1. Статические потоки 1б. Модификации классической постановки Многополюсные потоки:источники s1, …, skи стоки t1, …, tl (k-l-задача). Дивергенция в промежуточных вершинах по-прежнему равна нулю. Задача о максимальном суммарном потоке решается простой редукцией к 1-1-задаче:

8. 1. Статические потоки 1б. Модификации классической постановки Многопродуктовый поток: имеется множество продуктовK = {1, . . . , k}, k источников s1, …, sk, k стоков t1, …, tk (по одному источнику и стоку для каждого продукта), пропускные способности с(е) ребер; задано k функций fiна ребрах, причем fiзадает поток i-го продукта из siв ti. Задача о максимальном многопродуктовом потоке: найти поток максимальной суммарной мощности Mi при стандартных ограничениях.

9. (v, t) = 2, c( v, t) = 1 (s, v) = 3, c(s, v) = 2 s v t 2. Динамические потоки(потоки во времени - flow over time) Для каждого ребра е задано время передачи (е), пропускная способность c(e), коэффициент цены a(e) на единицу потока. Поток, вошедший в ребро е в момент , выходит из е в момент  + (е). Задача о максимальном потоке во времени: передать от s к t максимальный поток за время Т. Задача: передать 2 единицы потока за минимальное время. Можно послать 2 единицы потока в первое ребро в течение интервала [0, 1). Так как в первом ребре время передачи равно 3, то эти две единицы придут в v в интервале [3, 4). Тогда можно начинать передавать поток объема 1 во второе ребро с момента 3, передача закончится к моменту 5. Тогда весь поток придет в t в интервале [5, 7). Время передачи = 7, часть потока хранится в v. Другой вариант: начать передавать 1 единицу потока в интервале [0, 2). Время передачи также равно 7, но хранения в v нет.

10. 2. Динамические потоки Другие задачи Быстрейшие потоки: передать от s к t заданный объем потока за минимально возможное время. Потоки с ранним прибытием: построить s-t-поток, максимизирующий объем потока, прибывающего в сток раньше момента  для всех ∈ [0, T). Потоки с поздним отправлением: построить s-t-поток, максимизирующий объем потока, выходящего из источника позже момента  для всех ∈ [0, T). Потокисценами (NP-трудные задачи): -найти поток минимальной стоимости в данном интервале времени: -найти быстрейший поток, не превосходящий заданной стоимости. Быстрейшиемногопродуктовыепотоки (NP-трудные задачи).

11. 3. Ресурсные сети Ресурсная сеть - граф, вершинам которого приписаны неотрицательные числа qi(t), называемые ресурсами, а ребрам (vi, vj)- неотрицательные числа rij, постоянные во времени и называемые проводимостями (пропускными способностями);n– число вершин. Состояние Q(t) сети в момент t– это вектор (q1(t), …, qn(t)). Правила передачи ресурса (правила функционирования сети) учитывают следующие условия: а) сеть замкнута, т.е. ресурсы извне не поступают; б) ресурс, отдаваемый на выход, вычитается из ресурса вершины; ресурс, приходящий по входам, прибавляется к ресурсу вершины. В замкнутой сети суммарный ресурс сохраняется: W= const. W =(закон сохранения)

12. Состояние Q(t) называется устойчивым, если Q(t) = Q(t + 1). Очевидно, что в этом случаеQ(t) = Q(t + 2) = Q(t + 3) = … • Состояние Q* = (q1*, …, qn*) называется асимптотически достижимымиз состояния Q(0), если для любого  > 0 существует t такое, что для всех t > t • qi* - qi(t) < , i = 1, 2, …, n. • Состояние сети называется предельным, если оно либо устойчиво, либо асимптотически достижимо. • Ресурсная сеть называется однородной, если все проводимости равны, а правило функционирования сети – следующее: • в момент t+1 вершина viпо каждому из своих miвыходящих ребер отдает: • rединиц ресурса, еслиmi r qi(t); • qi(t)/miв противном случае.

13. Пару ребер <(vi, vj), (vj, vi)> назовем двусторонней парой. Ресурсную сеть, все вершины которой соединены двусторонними парами, будем называть двусторонней полнойсетью(ДПС). Сначала рассмотримоднородные ДПС (ОДПС) без петель. Для ОДПСmi = n – 1 для всех i. Поэтому правило функционирования переформулируем: В момент t+ 1 вершина viна каждую из своих n – 1выходных связей отдает: • r единиц ресурса, если (n – 1)r qi(t) (правило1); • qi(t)/(n – 1) в противном случае(правило 2 – отдается весь ресурс).

14. q1 q2 q3 q4 q5

15. Функционирование ОДПС (строки соответствуют моментам времени) Пример 1:n = 5, r = 2, W = 35 (начальный ресурс в одной вершине) t 035.000.000.000.000.00 127.002.002.002.002.00 221.003.503.503.503.50 316.504.634.634.634.63 413.135.475.475.475.47 510.596.106.106.106.10 68.706.586.586.586.58 77.276.936.936.936.93 86.937.027.027.027.02 97.027.007.007.007.00 107.007.007.007.007.00 117.007.007.007.007.00

16. Три свойства ОДПС Свойство 1. Если для некоторого t’qi(t’) = qj(t’), то для всех t > t’qi(t) = qj(t). Это следует из того, что с момента t обе вершины получают и отдают одинаковое количество ресурса. Свойство 2. Если для некоторого t’qi(t’) r(n – 1), то для всех t > t’qi(t) r(n – 1). Это следует из того, что vi в момент tотдает весь свой ресурс, а получить от других n – 1 вершин может не более чем r(n – 1). Свойство 3. Если для всех iqi(t) r(n – 1), то состояние Q(t) устойчиво. Это следует из того, что все вершины получают и отдают r(n – 1) единиц ресурса.

17. Теорема 1. Для однородного двустороннего полного графа без петель с числом вершин n > 2 существует порог выравниванияT = rn(n – 1), независящий от начального состояния сети. Иными словами, 1.Если суммарный ресурс W  T, то при любом начальном состоянии сети происходит выравнивание ресурса, т.е. ее предельным состоянием является вектор 2.Если W > T, то при любом начальном состоянии сети, в котором хотя бы в двух вершинах ресурсы не равны, выравнивание не происходит.

18. 5 Пример 2:n = 5, r = 2, W = 25, T = 40 t 07.00 6.00 5.00 4.003.00 14.50 4.75 5.00 5.255.50 25.13 5.06 5.00 4.944.88 34.97 4.98 5.00 5.025.03 45.01 5.00 5.00 5.004.99 55.00 5.00 5.00 5.005.00 65.00 5.00 5.00 5.005.00 75.00 5.00 5.00 5.005.00 85.00 5.00 5.00 5.005.00

19. Z+ T = rn(n – 1) Z- С(t) - сумма всех ci(t) (превышений над порогом), D(t) - сумма всех dj(t) (недостач до порога) C(0) –начальный профицитZ+, D(0) – начальный дефицитZ- C(0) - D(0) = s - сальдо

20. Пример 3:n = 5, r = 2, W = 43, T = 40. Зона Z+уменьшается:s = 3, l = 2. 0 12.0010.009.007.005.00 111.00 9.00 8.00 7.25 7.75 210.75 8.75 7.75 7.94 7.81 310.63 8.63 7.94 7.89 7.92 410.56 8.56 7.95 7.96 7.96 510.53 8.53 7.98 7.98 7.98 610.52 8.52 7.99 7.99 7.99 710.51 8.51 7.99 7.99 7.99 810.50 8.50 8.00 8.00 8.00 910.50 8.50 8.00 8.00 8.00 1010.50 8.50 8.00 8.00 8.00 1110.50 8.50 8.00 8.00 8.00

21. Теорема 2. ЕслиW > rn(n – 1),то предельным состоянием сети является вектор (q1hl, …, qlhl, r(n – 1), …, r(n – 1)), где l = kиhk =, если ck(0) ; в противном случае l k – наибольшее целое число, такое, что cl(0)hl, hl=, где Cl(0) =.

22. t=0 q t=j t=t’ t=tlim r(n-1) O 1 l k n i l+1 …

23. q t=tlim r(n-1) O 1 l k n i l+1 … Окончательное распределение

24. Свойство эргодичности Однородная сеть при W >Tявляется неэргодической системой: предельное состояние в ней всегда зависит от начального. Только вершины, имевшие запас ресурса в начальном распределении, могут сохранить излишек в предельном состоянии.

25. Потоки в ресурсных сетях Ресурс, выходящий из вершины viпо ребру (vi, vj) в момент t, приходит в вершинуvjв момент t + 1. Соответственно, будем считать, что этот ресурс на интервале (t, t + 1) находится на ребре (vi, vj). Его величину назовем выходным потокомsij(t) . Матрицей потока S(t) назовем матрицу||sij(t)||nn. – выходной поток из вершины viв момент t (сумма элементов i-й строки матрицы S(t)). Входным потокомв вершинуvjв момент t + 1 назовем сумму элементов j-го столбцаS(t): кроме того, положим В однородных сетях с петлями все столбцы матрицы потока одинаковы.

26. Основные понятия • ЗонаZ–, зонаZ+ • Пороговое значение T • Предельное состояние

27. Несимметричные сети Матрица проводимости Матрицей проводимости будем называтьматрицу R = ||rij||nn. Свойства матрицы проводимости: 1. R– неотрицательная матрица: i, jrij 0 2. i rii > 0 3. i, j (rij > 0 rji > 0)

28. r3i r2i rii i r1i r4i ri3 ri2 rii i ri1 ri4 Входная и выходнаяпроводимости Суммарную проводимость входных ребер вершины vi будем называть ее входной проводимостью и обозначать: Суммарную проводимость выходных ребер, назовем выходной проводимостьюи обозначим через: Проводимость петли входит в обе суммы.

29. Входная и выходнаяпроводимости вершины

30. Классификациясетей Ресурсная сеть называется: • однородной, если все элементы матрицы R одинаковы: rij= r i,j, и • неоднороднойв противном случае; • симметричной, если симметрична ее матрица проводимости; • квазисимметричной, если i:    (1) • несимметричной, если она не удовлетворяет условию квазисимметричности (1), то есть существует хотя бы одна вершина (таких вершин будет как минимум две), для которой выполнится:

31. Классификациявершин несимметричной сети Обозначим через ri разность между входной и выходной проводимостями вершины vi: ri =  Тогда все вершины сети делятся на три вида: • вершины-приемники, для которых ri > 0; • вершины-источники, для которых ri < 0; • нейтральные вершины, для которых ri = 0. Суммарной проводимостью сети,rsum, назовем сумму проводимостей всех ее ребер:

32. Классификациявершин несимметричной сети В симметричных и квазисимметричных сетях все вершины нейтральны. Путь от нейтральной вершины к источнику, не содержащий вершин-приемников, назовем неположительным путем. Пусть среди n вершин сети имеется l приемников, k источников, и n – l – k нейтральных вершин. Будем считать, что приемники имеют номера от 1 до l, источники – от l + 1 до l + k, нейтральные вершины – от l + k + 1 до n.

33. Правила функционирования сети Распределение ресурса в сети происходит по одному из двух правил, выбор которых зависит от величины ресурса в вершинах. В момент t + 1 вершина viв ребро, соединяющее ее с вершиной vk, отдаст: правило 1:rikединиц ресурса, если правило 2: в противном случае.

34. Изменение ресурса в вершине за один такт (правило 1) Ресурс вершиныqi i

35. Изменение ресурса в вершине за один такт (правило 2) Ресурс вершиныqi

36. Свойства вершин-источников и нейтральных вершин Свойство 1. В процессе функционирования несимметричной сети ресурс в нейтральных вершинах может временно стабилизироваться, а затем снова изменяться. Свойство 2.Если для некоторого t' qi(t')  , то для всех t > t' qi(t)< (i > l). Множество вершин с ресурсомqi(t), меньшим , – зона Z–(t). Из свойства 2 следует, что источники и нейтральные вершины, раз попав в Z–, уже не смогут ее покинуть. Поскольку для них выполняется:

37. Пример 1. Временная стабилизация ресурса в нейтральных вершинах (св-во 1). W = 100, n = 5. Ресурс находится в вершине-источнике: Q(0)=(0, 100, 0,0,0). tv1v2v3 v4 v5 0 0.000 100.000 0.000 0.000 0.000 1 2.000 95.000 1.000 1.000 1.000 2 3.000 91.000 2.000 2.000 2.000 3 3.800 87.800 2.800 2.800 2.800 … 18 16.406 68.598 4.999 4.999 4.999 • 17.405 67.597 4.999 4.999 4.999 20 18.405 66.597 5.000 5.000 5.000 21 19.404 65.596 5.000 5.000 5.000 2220.404 64.596 5.000 5.000 5.000 … 79 77.404 7.596 5.000 5.000 5.000 80 78.404 6.596 5.000 5.000 5.000 • 79.404 5.596 5.000 5.000 5.000 82 80.269 4.933 4.933 4.933 4.933 83 80.873 4.782 4.782 4.782 4.782 … 110 82.856 4.286 4.286 4.286 4.286 111 82.857 4.286 4.286 4.286 4.286

38. Свойства вершин-источников и нейтральных вершин (i> l) Теорема 3.В связной несимметричной сети при любом начальном состоянии и любом начальном ресурсе существует такой момент времени t', начиная с которого все источники и нейтральные вершины, из которых имеются неположительные пути (пути к источнику, не содержащие вершин-приемников), будут находиться в зоне Z–(t).

39. 5 4 1 2 3 Пример 2. Нейтральная вершина остается в зоне Z+ W = 100, n = 5. Ресурс в нейтральной вершине(вершина v5), связанной только с приемником v1(у вершиныv5 нет неположительных путей) tv1v2v3v4v5 0 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 1 1.000 0.000 0.000 0.000 99.000 2 1.200 0.200 0.200 0.200 98.200 3 1.507 0.357 0.357 0.340 97.440 … 92 4.997 2.398 2.398 1.998 88.208 93 4.997 2.398 2.398 1.999 88.208 94 4.997 2.398 2.398 1.999 88.207 95 4.998 2.399 2.399 1.999 88.207 96 4.999 2.399 2.399 1.999 88.206 97 5.000 2.399 2.399 1.999 88.205

40. Пороговое значение ресурса Т Теорема 4. В несимметричной сети существует пороговое значение суммарного ресурсаТ, такое, что приWТ все вершины, начиная с некоторого t', переходят в зонуZ–(t); при W > TзонаZ+(t)непуста для любогоt. Тединственно и не зависит от суммарного ресурсаW и его начального распределенияQ(0). Для однородных сетей выполняется равенство: Т = rsum. Для несимметричных сетей Т < rsum.

41. Функционирование сети при WT При WT и t >t' все вершины сети функционируют по правилу 2: Q(t+1) =Q(t)R' где R' является стохастической матрицей.

42. Предельное состояние при WT Теорема 5. Для ресурсной сети, являющейся связным двусторонним графом с петлями, при W  Т предельное состояниеQ* 1) существует; 2) единственно и не зависит от начального распределения ресурса по вершинам, а только от суммарного количества ресурса в сети.

43. Функционирование сети при W>T ПриW > Т в несимметричных сетях излишек ресурса в предельном состоянии перетекает в некоторое множество вершин. Это могут быть приемники или (в неполных сетях) при ряде дополнительных ограничений,- некоторые нейтральные вершины. Однако не все приемники сети способны в предельном состоянии накопить ресурс, превышающий их входную проводимость.

44. Пример 3. Сеть с двумя приемниками (первый более «мощный»). W = 100, n = 5. Ресурс в первом приемнике. tv1v2v3v4v5 0 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 1 96.000 1.000 1.000 1.000 1.000 2 92.995 1.876 1.710 1.710 1.710 … 31 83.799 4.536 3.888 3.888 3.888 32 83.798 4.536 3.888 3.888 3.888 33 83.797 4.537 3.889 3.889 3.889 34 83.796 4.537 3.889 3.889 3.889

45. Пример 4. Сеть с двумя приемниками. W = 100, n = 5. Ресурс во втором приемнике, но все равно ресурс забирает первый. tv1v2v3v4v5 0 0.000 100.000 0.000 0.000 0.000 1 1.000 96.000 1.000 1.000 1.000 2 1.995 92.876 1.710 1.710 1.710 3 2.759 90.431 2.270 2.270 2.270 … 19 6.951 80.817 4.077 4.077 4.077 20 7.193 80.574 4.077 4.077 4.077 21 7.436 80.331 4.078 4.078 4.078 22 7.678 80.089 4.078 4.078 4.078 … 331 82.678 5.089 4.078 4.078 4.078 332 82.921 4.846 4.078 4.078 4.078 333 83.133 4.726 4.047 4.047 4.047 334 83.296 4.682 4.007 4.007 4.007 335 83.420 4.646 3.978 3.978 3.978 … 371 83.796 4.537 3.889 3.889 3.889

46. Классификация вершин Вершину, способную в предельном состоянии остаться в зоне Z+, назовем потенциальным аттрактором. Если приемники имеют разные входные и выходные проводимости, в сети существует единственный потенциальный аттрактор.

47. Сеть с одним аттрактором Сеть с одним аттрактором является эргодической системой. Прилюбом фиксированномзначении суммарного ресурса W, как бы он ни был распределен по вершинам в начальном состоянии, предельное состояние существует и единственно.

48. Сеть с несколькими потенциальными аттракторами Сеть с несколькими потенциальными аттракторами является частичноэргодической системой. ПриW > T, количество ресурса в нейтральных вершинах и вершинах-источниках не зависит от начального состояния, а распределение ресурса по аттракторам зависит от его начального положения.

49. Пример 5. Сеть с двумя равными приемниками (куда положили, там и останется). W = 100, n = 5. Ресурс в первом приемнике. tv1v2v3v4v5 0 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 1 96.000 1.000 1.000 1.000 1.000 2 92.900 1.900 1.733 1.733 1.733 3 90.493 2.593 2.304 2.304 2.304 4 88.625 3.132 2.748 2.748 2.748 … 39 82.144 5.000 4.285 4.285 4.285 40 82.144 5.000 4.286 4.286 4.286 41 82.143 5.000 4.286 4.286 4.286 Ресурс вершины v2 стремится к значению ее выходной проводимости снизу; этот приемник не сможет перейти с правила 2 на правило 1. Таким образом, если весь ресурс в одном из потенциальных аттракторов, остальные останутся в зоне Z-(t).

50. Пример 6. Сеть с двумя равными приемниками. W = 100, n = 5. Ресурс во втором приемнике. tv1v2v3v4v5 0 0.000 100.00 0.000 0.000 0.000 1 1.000 96.000 1.000 1.000 1.000 2 1.900 92.900 1.733 1.733 1.733 3 2.593 90.493 2.304 2.304 2.304 4 3.132 88.625 2.748 2.748 2.748 … 39 5.000 82.144 4.285 4.285 4.285 40 5.000 82.144 4.286 4.286 4.286 41 5.000 82.143 4.286 4.286 4.286 Ресурс вершины v1 стремится к значению ее выходной проводимости снизу.