Bivariate Polynome auf Dreiecken

1. Lehrstuhl für Mathematik IV Approximationstheorie G. Nürnberger, M. Matt, G. Schneider Seminar HWS 2011 Bivariate Polynome auf Dreiecken 06. 10. 2011 Janette Schmid

2. Gliederung: • 1. Grundlagen: Bivariate Polynome • 2. Eigenschaften der Approxiamtion • 3. Eigenschaften der Interpolation

3. 1. Bivariate Polynome j • 1.1 Definition Für heißt Bivariates Polynom vom Grad d. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation3.Interpolation

4. 1.2 Normen Gegeben sei ein Gebiet Ω in • -Norm: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation3.Interpolation

5. 1.2 Normen • Gegeben sei ein Gebiet Ω in • -Norm: • q-Norm: Für 0<q< gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation3.Interpolation

6. 1.4 Satz Sei T ein Dreieck und der Flächeninhalt des Dreiecks, dann gilt für alle und für alle : K ist eine Konstante die nur von d abhängt. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation3.Interpolation

7. 1.5 Ableitungen Seien die partiellen Ableitungen von p, dann gilt: mit: für 1. Bivariate Polynome 2. Approximation3.Interpolation

8. 1.5 Ableitungen Seien die partiellen Ableitungen von , dann gilt: mit: für Vergleich univariat: Ableitung: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation3.Interpolation

9. 1.6 Satz: Sei K eine Konstante in Abhängigkeit von d, T ein Dreieck und der Inkreisradius dieses Dreiecks, dann gilt für jedes Polynom : Für alle 1. Bivariate Polynome 2. Approximation3.Interpolation

10. 1.7 Richtungsableitung: Sei ein Vektor, dann ist die Richtungsableitung der Funktion f definiert durch: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation3.Interpolation

11. 2. Approximation • 2.1 Aproximation in der Maximumnorm • Seminorm: • Durchmesser von Ω: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

12. 2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . Dann gibt für jedes ein , sodass gilt 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

13. 2.1 Satz: • Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . • Dann gibt für jedes ein , sodass gilt • 2.2 Aussage über die Konvergenzgeschwindigkeit: • Der Exponent kann nicht erhöht werden. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

14. 2.3 Durchschnittstaylorpolynom • Taylorpolynom im univariaten: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

15. 2.3 Durchschnittstaylorpolynom • Taylorpolynom im univariaten: • Taylorpolynom im bivariaten: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

16. Durchschnittstaylorpolynom: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

17. Durchschnittstaylorpolynom: • Gauss‘sche Glocke: • Sei eine Kreisscheibe in mit dem Radius p und dem Mittelpunkt • . Es gilt: • mit 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

18. Satz 2.2: Für jedes und gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

19. Satz 2.2: • Für jedes und • gilt: • Satz 2.3: • Es existiert eine Konstante K in Abhängigkeit von d, sodass gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

20. 2.3 Approximation in der q-Norm • Sobolev-Raum: mit 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

21. Satz 2.4: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . und sei , dann existiert ein K in Abhängigkeit von d, sodass gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3.Interpolation

22. 3. Interpolation • Univariat: Interpolation immer möglich an m+1 verschiedenen Punkten. • Bivariat: Interpolation nicht immer möglich. Hängt ab von der Lage der Interpolationspunkte. Es ergibt sich folgende Matrix: Interpolation nur möglich, wenn gilt: 1. Bivariate Polynome2. Approximation 3. Interpolation

23. Beispiel: Sei d=1 und und die 3 Punkte liegen auf einer Geraden: y=ax+b. Dann ergibt sich folgende Matrix:  det(M)=0  Matrix nicht lösbar. 1. Bivariate Polynome2. Approximation 3. Interpolation

24. Mögliche Lage der Interpolationspunkte: • Satz 3.1: Geradenkriterium Sei A eine Menge von Punkten und eine Menge von d+1 Geraden. Wenn auf i-ter Geraden genau i Punkte liegen, aber keine der Punkte auf einem der Schnittpunkte, dann heißt A Interpolationslage von . 1. Bivariate Polynome2. Approximation 3. Interpolation

25. Satz 3.2: Domainpoints (Spezialfall von Satz 3.1): Sei T ein Dreieck mit den Ecken und sei Dann ist die Punktmenge eine Interpolationslage von . 1. Bivariate Polynome2. Approximation 3. Interpolation

26. Literatur: Lai, M. J.; Schumaker, L.L. (2007): Spline functions on triangulations, 1- 17. Cambridge Univ. Press.

27. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit