第三章线性方程组 §5 向量组的秩

第三章线性方程组 §5 向量组的秩 定义设向量组A的部分向量组A0：α1 ,α2 ,… ,αr 满足： 1）A0线性无关；2）A中任意r+1个向量(若有)必线性相关. 则称A0为A的一个最大（线性）无关组. 称向量组A的秩为r,记作：rA=r. 如A: 中， α1，α2线性无关, 而α1，α2，α3线性相关，∴ α1，α2为A的一个最大无关组，rA=2. 又如n维单位坐标向量组 ε1,ε2 ,…, εn 线性无关，其最大无关组就是它自己. 其秩为n.

第三章线性方程组 §5 向量组的秩(续1) 定理8 矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩. 设A0：为A的最大无关组. 则对A中任意向量线性相关，由定理7的推论3, 可由A0线性表示. 易知 A的最大无关组与A等价.

第三章线性方程组 §5 向量组的秩(续2) 例1 求下列向量组A的一个最大无关组，并将其余向量表为最大无关组的线性组合. 行变换 A: A → B,则A的列之间的关系不变. 解： =U. =R(U)=2. 线性无关, 即为A的一个最大无关组.设得： U

第三章线性方程组 §5 向量组的秩(续3) 例2 求A的列向量组的秩与一个最大无关组A0，并将其余列向量表为A0的线性组合. 解： =U 秩为3， α1,α2,α4线性无关, 为一个最大无关组.

第三章线性方程组 §5 向量组的秩(续4) U= 首元所在列均化为单位坐标向量. 为行最简形.

第三章线性方程组 §5 向量组的秩(续5) 定理9 设向量组A可由向量组B线性表示，则rA≤rB. 推论1. 等价向量组秩相等.

第三章线性方程组 §5 向量组的秩(续6) 推论2.设向量组A的部分向量组A0： α1,α2,… ,αr满足： 1）A0线性无关；2）A可由A0线性表示. 则A0为A的一个最大无关组. （最大无关组的等价定义.）证：只须证A中任意r+1个向量线性相关. 因为A中任意r+1个向量均可由A0线性表示，所以其秩r1≤A0的秩r， ∴r1≤r<r+1,由定理7，这r+1个向量线性相关，证毕.

第三章线性方程组 §5 向量组的秩(续8) 矩阵秩的性质： (1)R(AB) ≤min{R(A),R(B)}; 证:设A=[α1α2...αs], B=[bij]s×n, AB=[c1 c2...cn] b1j b2j . bsj [c1 c2...cn]= [α1α2...αs] cj=b1j α1+b2j α2+...+bsj αs ∴R(AB) ≤R(A). 即AB的列可由A的列线性表示. 又R(AB) =R(BTAT)≤R(BT)=R(B). ∴R(AB) ≤min{R(A),R(B)}.

第三章线性方程组 §5 向量组的秩(续9) 矩阵秩的性质： (2)R(A+B) ≤R(A)+R(B); 证:设A=[α1α2...αs],B=[β1β2...βs] 则A+B=[α1+ β1α2+ β2...αs+ βs] 又设A,B的列向量组的最大无关组分别为： A+B的列可由A与B的列的合并向量组线性表示，显然亦可由A0与B0的合并向量组A0∪B0线性表示. ∴R(A+B) ≤ A0∪B0的秩≤r+k=R(A)+R(B) 类似可证: (3)R[A|B] ≤R(A)+R(B).

第三章线性方程组 §6 线性方程组解的结构定理10 设X1,X2均为齐次线性方程组AX=0的解，则 k1X1+k2X2也是AX=0的解（k1,k2为任意常数）. 定义：设齐次线性方程组AX=0的解向量 ξ1, ξ 2,…,ξp 满足： 1) ξ1, ξ 2,…,ξp线性无关; 2) AX=0的任一解均可由ξ1, ξ 2,…,ξp线性表示. 则称ξ1, ξ 2,…,ξp为AX=0的一个基础解系.

第三章线性方程组 §6 线性方程组解的结构(续1) 定理11 设R(Amn)=r<n,则AX=0有基础解系：ξ1, ξ 2,…,ξn-r . 证:AX=0有n-r个自由未知量，不妨设为xr+1,xr+2,...,xn. 令依次取

第三章线性方程组 §6 线性方程组解的结构(续1) 对应解向量：线性无关.

第三章线性方程组 §6 线性方程组解的结构(续1) 且对AX=0任一解: X= ∴ξ1, ξ2,…,ξn-r为 AX=0的基础解系.

第三章线性方程组 §6 线性方程组解的结构(续2) 定理12 设η1, η2均为非齐次线性方程组AX=b的解，则 η1- η2是AX=0的解. 定理13 若n元非齐次线性方程组AX=b有解，则通解为：其中， η*为AX=b的一个特解，r=R(A), ξ1, ξ 2,…,ξn-r为AX=0的基础解系. 证：设η为AX=b的任一解， η*为AX=b的一个特解.则 η- η*为AX=0的解，可表为基础解系的线性组合：

第三章 线性方程组 §5 向量组的秩