統計学 12/13 （木）

1. 統計学12/13（木）

2. 講義全体の流れ 第１部　記述統計：データの特性を記述 第２部　確率論：推測統計への橋渡し 第３部　推測統計：データから全体像を推測 　・推測統計とは 　・母集団平均の区間推定 　・母集団平均の検定　 ←今日はここ！

3. 前回までの内容① • 推測統計の四つのキーワード 　　母集団　⇔　標本（サンプル） 　　母集団特性値　⇔　標本統計量 ⇒母集団の特徴を数値化したものを、データ（標本）から計算した統計量で推測する。 • 推測統計の二本柱：区間推定と検定 ⇒実はこの二つは表裏一体。

4. 前回までの内容② • （母集団平均μの）区間推定 μの値は未知。 ⇒μの値を推定するには誤差がつきもの ⇒誤差を含めて、μの値が（例えば９５％の確率で）どれくらいの範囲に収まるかをデータから推定。 ⇒方法：中心極限定理の応用

5. 前回の復習：区間推定

6. 今日やること：（仮説の）検定 • 母集団平均μの値に関して仮説を立てる（例：μ=３）。 • その仮説を受け容れるべきか却下すべきか「検定」する。（例：μ=３ or μ≠３？） 重要ポイント ①再び「中心極限定理」を使う ②区間推定と検定は表裏一体（次頁参照）

7. 考え方：区間推定から検定へ 前回例：某工場製の電球の平均寿命μ Ｑ：「電球の平均寿命μが2500時間である」という仮説は受け容れられるか否か？ ⇒信頼係数９５％で区間推定をやると 2537.78時間≦μ≦2648.62時間。 ⇒2500時間かもしれないが、その可能性は５％以下。よって、仮説は却下してよい。

8. 検定における慣例：背理法 重要：二つの仮説（H0とH1）を立てる。 ①主張したいことは、H1（対立仮説）に。 ②その反対の内容をH0（帰無仮説）に。 H0のもとで議論を展開して矛盾を導く。 ⇒矛盾があれば、H0を棄却。H1受け容れ。 注：いつも矛盾が見つかるとは限らない。

9. 検定の手順：中心極限定理 例：H0：μ＝３、H1：μ≠３

10. 検定の修正 母集団分散σ2の値は未知←要推定

11. 仮説検定の例 • 某工場で製造中の電球の平均寿命を推定 • １０個の電球を標本調査。 • 標本の平均は2,593.2時間、標準偏差は77.48。 • t‐分布表より、自由度９（＝１０－１）の時、2.5％の臨界値は2.262。 ⇒Q：平均寿命は2700時間といえるか？

12. 仮説検定の例（続）

13. 付論①：有意水準について • 有意水準５％でH0を棄却する意味 • H0が正しい可能性は５％以下なので、H0を棄却し、H1を受け容れる。 ⇒しかし、H0が正しい可能性も５％残る。 ⇒用語：第１種の誤り H0が本当は正しいのに、誤って棄却すること ⇒第１種の誤りが起こる確率＝有意水準

14. 第１種の誤りの特性 • 小標本（ｔ-分布から境界値）なのに大標本法を採る（正規分布から境界値）と、第１種の誤り（正しいH0を否定）の確率が高い。 例：自由度10で t = 2.0。H0は正しいとする 有意水準５％の境界値はそれぞれ ｔ-分布：2.228　→　H0を棄却できない 　正規分布：1.96　→　H0を棄却できる

15. 第２種の誤り • 第２種の誤りとは 「本当は誤っているH0を棄却できないこと」。 　第１種の誤りの可能性を小さくするには、有意水準を下げる（例：５％→１％）こと。 →その場合、第２種の誤りの可能性が高くなる（棄却域が狭くなってしまうから）。

16. 第１種の誤りと第２種の誤り

17. 付論②：両側検定と片側検定 （例）H0：μ＝３のとき、 両側検定 H1：μ≠３　←等号の両側を考慮 片側検定　↓等号の片側だけを考慮 H1：μ＞３　（あるいは、H1：μ＜３）

18. 片側検定のための境界値 • 有意水準５％で検定をするならば、境界値として、 　　 小標本：ｔ0.05（≠ｔ0.025） 大標本：1.645（≠1.96） ↑なぜそうなるのかは確率分布図を描いて理解せよ。