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MST – Kruskal 알고리즘 ( 추상적 )

MST – Kruskal 알고리즘 ( 추상적 ). 1. F := 0; 2. 서로소 (disjoint) 가 되는 V 의 부분집합 들을 만드는데 , 각 부분집합 마다 하나의 정점만 가지도록 한다 . 3. E 안에 있는 이음선을 가중치의 비내림차순으로 정렬한다 . 4. 최종해답을 얻지 못하는 동안 다음 절차를 계속 반복하라 (a) 선정 절차 : 최소의 가중치를 가진 이음선을 선정한다 .

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MST – Kruskal 알고리즘 ( 추상적 )

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Presentation Transcript

  1. MST –Kruskal 알고리즘 (추상적) 1. F := 0; 2. 서로소(disjoint)가 되는 V 의 부분집합 들을 만드는데, 각 부분집합 마다 하나의 정점만 가지도록 한다. 3. E안에 있는 이음선을 가중치의 비내림차순으로 정렬한다. 4. 최종해답을 얻지 못하는 동안 다음 절차를 계속 반복하라 (a) 선정 절차: 최소의 가중치를 가진 이음선을 선정한다. (b) 적정성 점검: 선정된 이음선이 두 개의 서로소인 부분집합에 속한 정점을 잇는다면, 그 두 집합을 하나의 집합으로 합치고, 그 이음선을 F에 추가한다. (c) 해답 점검: 만약 모든 부분집합이 하나의 집합으로 합쳐지면, 그 때 T = (V,F)가 최소비용 신장 트리 이다.

  2. MST –Kruskal 알고리즘 (추상적)

  3. MST –Kruskal 알고리즘 (구체적) • 주어진 그래프에 대한 “서로소 집합 추상 데이터 타입”(disjoint set - abstract data type) • Variables • Set에 속한 각원소들: 각 정점들의인덱스 (ex. i, j) • Operations • initial(n): n개의 서로소 부분집합을 초기화(하나의 부분집합에 1에서 n사이의 정점 인덱스가 정확히 하나 포함됨) • p = find(i): 정점 인덱스 i가 포함된 집합 p를 넘겨줌 • merge(p, q): 두 개의 집합을 가리키는 p와 q를 합병 • equal(p, q): p와 q가 같은 집합을 가리키면 true를 넘겨줌

  4. MST –Kruskal 알고리즘 (구체적) • [복습] • Data Abstraction (in Computer Science) • Separation of a data type’s logical properties from its implementation • Abstract Data Type (ADT) • a specification of a set of variables and a set of operations that can be performed on the data • Variables and operations are specified independently of any particular implementation. LOGICAL PROPERTIESIMPLEMENTATION What are the possible variables? How can this be done in C++ or java? What operations will be needed? How can data types be used?

  5. MST –Kruskal 알고리즘 (구체적) • Kruskal 알고리즘 set_of_edges kruskal(int n, int m,//입력:정점의 수 n,이음선의 수 m set_of_edges E){//가중치를 포함한 이음선의 집합 E index i, j; set_pointer p, q; edge e; set_of_edges F; E에 속한 m개의 이음선을 가중치의 비내림차순으로 정렬; F = emptyset; initial(n); while (F에 속한 이음선의 개수가 n-1보다 작다) { e = 아직 점검하지 않은 최소의 가중치를 가진 이음선; i, j = e를 이루는 양쪽 정점의 인덱스; p = find(i); q = find(j); if (!equal(p, q)) { merge(p, q); F에 e를 추가; } } return F; } equal(p, q) = true는 e를 추가할 경우 cycle이 형성됨을 의미한다.

  6. MST –Kruskal 알고리즘의 분석 • 단위연산: find 등에서 수행되는 (비교) 명령문 • 입력크기: 정점의 수 n과 이음선의 수 m • 최악의 경우 분석 1. 이음선 들을 정렬하는데 걸리는 시간: W(m)  (m lg m) 정렬의 이론적 하한 • 3. n개의 서로소 집합(disjoint set)을 초기화하는데 걸리는 시간: (n) 2. 반복문 안에서 걸리는 시간: 최악의 경우 루프를 m번 수행. • - 최소의 가중치를 가진 이음선 구하기: (1)에 수행 - 부록 C의 서로소 집합 자료구조(disjoint set data structure)를 사용하여 구현하면, find, equal, merge는 (lg m)에 수행된다. - 따라서, m번 반복에 대한 시간복잡도는 (m lg m)이다.

  7. MST –Kruskal 알고리즘의 분석 • 분석 (계속) • 그런데 여기서 m n - 1이고, 위 분석에서 1과 3은 2를 지배하게 되므로, W(m, n) = (m lg m)가 된다. • 그러나, 최악의 경우에는, 모든 정점이 다른 모든 정점과 연결이 될 수 있기 때문에(fully connected), 가 된다. 그러므로, 최악의 경우의 시간복잡도는 다음과 같다.

  8. MST – Kruskal 알고리즘의 최적 여부 검증 • 보조정리 4.2: G = (V,E)는 가중치 포함 비방향성 연결 그래프라고 하자. E의 부분집합인 F는 유망하며, e는 F {e}하여 순환이 생기지 않는 E – F 에속한 최소가중치 이음선이라고 하자. 그러면,F {e}는유망하다. (즉, Kruskal의 방법을 사용한 F {e}는 유망하다.) • 정리 4.2: Kruskal 알고리즘은 항상 MST를 만들어 낸다.

  9. MST – Prim vs. Kruskal • 분석 결과 비교 • (Kruskal) 연결된 그래프에서 이음선 개수 m은 다음 범위를 갖는다. • 그래프가 sparse하면, m n이므로, (n lg n)이 된다. • 반면에 dense이면, m n2이므로, (n2 lg n)이 된다.

  10. MST – More Improved Algorithms • 알고리즘의 시간복잡도는 그 알고리즘을 구현하는데 사용하는 자료구조에 좌우되는 경우도 있다. • Heap을 사용하여 개선된 Prim 알고리즘의 시간 복잡도

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