利率期货

利率期货

内容概要 • 4.1预备知识 • 4.1.1即期/远期利率 • 4.1.2零息债券收益率曲线 • 4.1.3利息计算惯例 • 4.1.4利率结构理论 • 4.2远期利率协议 • 4.3中长期债券期货 • 4.4短期国债期货 • 4.5欧洲美元期货 • 4.6久期（Duration）

即期1年利率 远期1年利率 0 1 2 4.1.1 即期/远期利率 • 即期利率（spot rate） • 指从当前时点开始至未来某一时点止的利率，有时也称零息债券收益率（Zero-coupon yield）。 • 远期利率（forward rate） • 指从未来某时点开始至未来另一时点止的利率。

远期利率的推导 • 条件 • T*年即期连续利率为r* • T年即期连续利率为r，T<T* • 求从第T年开始的T*-T年远期利率f • 资产组合 • 直接以r*的年利率投资T*年 • 以r的年利率投资T年，然后以f的远期利率投资T*-T年。 • 两者的收益率应该是一致的。（假设都是无风险利率）

4.A 示例 • 提示 • 在计算期货利息注意实际利率与连续/名义利率的不同。 • 通常所提到的都是年利率，即便计算的是几个月或者几年的利息。 • 远期利率可以由邻近的即期利率推导出来。

4.1.2 零息债券收益率曲线 • 零息债券 • 零息债券形式上不支付利息，因此其在到期时支付的本金超过购买价的部分是实际利息。 • 零息债券只在到期时兑现实际利息，因而其收益率是”纯粹利率“。 • 附息债券 • 附息债券除了在到期时支付本金外，还在到期前每年或者每半年支付一次利息。 • 由于一张附息债券包含了不同期限的现金支付，因此其收益率是“混合利率”。 • 远期利率 • 即时远期利率，指在未来某个时点的瞬间远期利率

利率期限结构 远期利率零息债券收益率附息债券收益率期限

利率期限结构 零息债券收益率附息债券收益率远期利率期限

测算零息债券收益率 • 条件 • 已知零息债券收益率(r1, T1), (r2, T2),…, (rn-1, Tn-1) • 已知附息债券当前价格P，息票率R及期限Tn • 附息债券支付利息的时间恰好为T1, T2, …, Tn • 求T*时的零息债券收益率r* • 推导 • 附息债券各期现金流折现成为现值等于当期价格 • 除rn外均为已知，解方程得rn

线性插补法(Linear Interpolation) • 条件 • 已知零息债券收益率(r1, T1), (r2, T2) • 已知T1<T1.5<T2 • 求期限为T1.5的即期零息债券收益率r1.5 • 推导 • 假设零息债券收益率在T1-T2段是线性的，从而：

4.B 测算零息债券收益率 • 问题 • 推导利率期限为0.50, 1.25, 1.50, 1.75, 2.00, 2.25, 2.75的零息债券收益率。

4.1.3 利息计算惯例 • 应计利息（Accrued Interest） • 在两次现金利息支付之间，债券仍然要计入应得的利息。 • 应计利息与距离上一次利息支付的时间长度成正比。 • 计算公式 • 应计利息＝距上次利息支付日数÷参考期日数×参考期利息 • 日数计算惯例 • 中长期国债，实际日数÷实际日数 • 公司债与市政债，30÷360 • 短期国债及其他货币工具，实际÷360

4.C 示例 • 某长期国债上一次利息支付是2005年3月1日，下一次利息支付是9月1日。问在6月5日时，其应计利息为多少？假如这是公司债券或者短期国债呢？

4.1.4 利率期限结构理论 • 理性预期理论 • 远期利率即为预期的未来即期利率。 • 利率随期限变长而上升意味着投资者预期未来利率上升。 • 市场分割理论 • 不同期限的利率有不同的供需方。 • 利率的期限结构是不同期限的供需平衡的结果。 • 流动性偏好理论 • 资金的供给者偏好流动性高（期限短）的债券。 • 长期债券必须提供利率升水以吸引资金的供给者。

签订协议 借贷还本付息 0 1 2 签订协议现金结算 0 1 2 4.2 远期利率协议 • 远期利率协议（Forward Rate Agreements） • 指的是协议双方约定在将来某个确定时间按照确定的数额、利率和期限进行借贷的合约。 • 远期利率协议一般不进行实际的借贷，而是以约定利率与市场利率的差额现金结算。 • 图示

r* r RK 0 T T* 协议远期利率这份协议对出借方来说，0期的价值为: V(0)=100eRk(T*-T)e-r*T*-100e-rT 考虑到远期合约在订立时价值为0，所以： RK(T*-T)－r*T*＝-rT 也即

结算 • 在T时点，双方或者履行协议或者现金结算。 • 结算金额 • 假设T时点时的即期利率（至T*）为R • 资金的出借方在T时点的净盈利/亏损为： • 如果RK>R，则出借方有盈利，反之则亏损。

r” r’ R’K 0 T T* t 远期利率协议的价值 • 条件 • 0≤t≤T，r’和r”为在t期时期限为T-t和T*-t的即期利率。 • 求远期利率协议的价值。 • 推导V(t)=100eRk(T*-T)e-r”(T*-t)-100e-r’(T-t) 考虑到

4.D 示例 • 目前的1年期和2年期即期连续利率分别为2.5%和3%，问现在如果签订一份1年后生效的1年期远期利率协议，合理的协议连续利率是多少？假设过了9个月，3月期与15月期的即期连续利率分别为3%和4%。问原先签订的远期利率协议在这个时点上的价值是多少？假设每份协议的名义本金为100。

4.3 中长期国债期货 • 中期国债期货 • 离到期日还有6.5-10年的国债均可以作为交割品。 • 5年期国债期货 • 最新发行的4种5年期国债均可作为交割品。 • 长期国债期货 • 离到期日还有15年以上的不可赎回国债或者离赎回日还有15年以上的国债均可作为交割品。 • 标准品为15年期，息票率6%的国债。 • 其他国债均需计算转换因子，确定交割的实际价格。

中长期国债期货价格 • 报价单位 • 报价单位为美元或者1/32美元。 • 比如报价96-08，即为96.25美元/100美元面值。 • 净价（Clean Price）与全价（Dirty Price） • 报价均为净价，即不包含应计利息的价格。 • 交割时的价格为全价，即净价加上应计利息。

CBOT 30年期国债期货合约

4.E 示例 • 本月到期的中期国债期货结算价为98-04，票面利率为8%，假设上次利息支付日为1月1日，下次支付日为7月1日，那么今天交割的中期国债期货买方实际应支付的金额为多少？

转换因子（Conversion Factors） • 转换因子 • 期限在15年以上的国债基本上都可以用于长期国债期货的交割。 • 不同期限与息票率的长期国债价值用转换因子进行换算。 • 计算 • 首先将到期期限进行以3个月为单位的取整。 • 对于取整到期期限为半年倍数的国债，计算时假设其第一笔利息支付将在6个月后，按6%的年率，每年两次计息折现。 • 对于取整到期期限不为半年倍数的国债，计算时假设其第一笔利息支付将在3个月后，按6%的年率，每年两次计息折现。 • 交割价格 • 交割价格＝结算价×转换因子＋应计利息

4.F 示例 • 计算以下两种长期国债的转换因子。 • 离到期日还有20年2个月，年率14%的长期国债。 • 离到期日还有18年4个月，年率14%的长期国债。

实际交割 • 最佳交割债券(Cheapest-to-Deliver Bond) • 交割收益最高的债券为最佳交割债券。 • 交割成本＝债券市价＋应计利息 • 交割收入＝结算价×转换因子＋应计利息 • 交割收益＝结算价×转换因子－债券市价 • Wild Card Play • 债券期货的交易在下午2点结束 • 债券现货的交易直到下午4点结束 • 如果2点以后债券现货价格下降，空方发出交割通知 • 如果2点以后债券现货价格没有下降，继续持有头寸至下一交易日

债券期货价格 • 计算公式 • F=(S-I)er(T-t) • 计算流程 • 计算最佳交割债券的现金价格（全价） • 利用期货价格公式计算现金价格对应的期货价格（全价） • 计算期货价格对应的净价 • 将净价除以转换因子，得到最终期货价格（报价）

示例 • 假设某长期国债期货合约的最佳交割债券为年率12%，转换率1.4000的长期国债。这种债券上一次利息支付为60天以前，目前离下一次利息支付还有122天，离下下一次利息支付还有305天，离期货合约交割日还有270天。假设无风险连续利率在各个期限上都是10%。目前最佳交割债券的报价为120.00美元。问期货合约的报价应该是多少？

4.4 短期国债期货 • 短期国债期货 • 指以90天期的国债为交割品的期货合约。 • 交割日为交割月份第一笔13周短期国债的发行日。 • 定价 • T和T*分别为国债期货交割和国债到期的时点。 • r和r*分别为T和T*期的即期利率。 • 国债到期时的价值是100, 所以 • 现值V*=100e-r*T* • F=SerT=100e-r*T*ert=100eRk(T*-T) • Rk=(r*T*-rT)/(T*-T)

IMM 90天国库券期货合约

4.G 套利 • 假设45天期的即期短期国债连续收益率为10%，135天期的即期短期国债连续收益率为11%，45天以后到期的短期国债期货报价连续收益率为10.5%，问45天以后到期的短期国债期货报价是否与理论收益率相符？如果不是，你将如何进行套利?假如45天以后到期的短期国债期货报价连续收益率为12%呢？

短期国债的报价 • 短期国债报价惯例 • 以360/n×(100-y)进行报价，其中y为现金价格。 • 360/n×(100-y)又称贴现率，不同于实际收益率。 • 短期国债期货报价惯例 • 期货价格＝100－ 4×(100-现金价格) • 现金价格＝100－0.25×(100-期货价格)

4.H 示例 • 例：90天期的短期国债报价8.00，问其现金价格是多少？实际收益率是多少？ • 例：短期国债期货报价为96.00，问实际交割时买方应付金额为多少美元/100面值?

4.5 欧洲美元期货合约 • 欧洲美元 • 处于美国境外的美元存款都可以称为欧洲美元。 • 由于不受美联储的监管，其借贷利率比美国本土稍高。 • London Inter-Bank Offer Rate • 报价 • 现金价格＝10,000×[100-0.25×(100-期货报价)] • 欧洲美元期货与短期国债期货 • 前者必须以现金结算，后者可以用现货交割。 • 前者的交割品实际上是利率，而后者是贴现率。

4.6.1 久期（持期，duration） • 定义 • 债券现金流对应时间的加权平均值。 • 计算公式 • B为债券的当期价格 • D为久期 • Ci为i期的现金流 • y为到期收益率 • ti为当前时点到i期的时间长度。

久期的特性 • 债券价格对利率变动的敏感程度。 • 零息债券 • 久期等于其到期期限。 • 附息债券 • 久期肯定小于其到期期限。 • 期限越长的债券，久期与到期期限相比越小。 • 息票率越高的债券，久期与到期期限相比越小。

久期零息债券附息债券图片来源：Investopeida.com

债券价格的变动 • 连续利率变动 • 实际利率变动 • 名义利率变动 • 修正久期

4.I 示例 • 一张新发行的3年期国债，面额1,000美元，年率10%，每年付息两次，发行价格1050美元。计算它目前的久期是多长。

4.J 示例 • 假设市场利率上涨了50个基点，问4.I所示债券的价格会如何变动？

近似算法 • 假设债券价格为P，到期收益率为y，其久期可以用下列方法近似计算： • 其中P+Δy和P-Δy是收益率分别增加或者减少Δy时债券的价格。 • Δy一般选取50基点。

4.K 示例 • 一张新发行的3年期国债，面额1,000美元，年率10%，每年付息两次，发行价格1050美元。采用近似算法计算它目前的久期是多长。

4.6.2 久期套期保值 • 久期套期保值比率 • S为需要套期保值的资产现值。 • DS为资产的久期。 • F为利率期货合约的期货价格。 • DF为利率期货合约交割品的久期。

4.L 示例 • 某公司预计将在三个月以后收到3.3百万美元的现金。该笔现金将被用于6月期美国国债的投资，6月期美国国债的即期利率为11.20%。公司担心三个月以后利率将下跌，因此决定买入短期国债期货进行套期保值。目前合适的短期国债期货合约报价是89.44。问公司应该买入或者卖出多少份短期国债合约才能进行恰当的久期套期保值。

4.6.3 久期的缺陷 • 凸性（曲度） • 债券价格变动相对于利率来说是一条曲线。 • 久期假设债券价格变动与利率成线性关系。 • 非平行变动 • 久期的计算假设所有期限的利率都出现相同幅度的变动。 • 而实际上各期限变动的幅度往往是不一样。

B 债券价格与利率变动

X Y 债券价格波动与利率变动

利率期货

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