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第 10 章 图

第 10 章 图. 10.1 图的基本概念. 10.2 路、回路与连通性. 10.3 图的矩阵表示. 10.4 欧拉图与哈密顿图. 10.5 二部图与匹配. 10.6 平面图. 10.7 树及其应用. 10.8 着色问题. 10.9 最短路径与关键路径. 10.1 图的基本概念. 10.1.1 图. 10.1.2 子图与补图. 10.1.3 结点的度. 10.1.4 图的同构. 10.1.1 图.

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  1. 第10章 图

  2. 10.1图的基本概念 10.2 路、回路与连通性 10.3 图的矩阵表示 10.4 欧拉图与哈密顿图 10.5 二部图与匹配 10.6 平面图 10.7 树及其应用 10.8 着色问题 10.9 最短路径与关键路径

  3. 10.1图的基本概念 10.1.1 图 10.1.2 子图与补图 10.1.3 结点的度 10.1.4 图的同构

  4. 10.1.1 图 定义10.1 一个图G定义为一个有序对<V，E>，记为G＝<V，E>。其中V为非空有限集，其元素称为结点或顶点，E也是有限集，其元素称为边。对E中的每个边都有V中的两个结点与之对应，其结点对可以有序也可无序。 若边e与无序结点对[u，v]对应，称e为无向边，简称边，记为e＝[u，v]，u、v称为边e的端点，也称u和v为邻接点，边e关联u与v。关联同一结点的两条边称为邻接边。连接一结点与它自身的边称为环或自回路。两个端点都相同的边称为平行边。

  5. 若边e与有序结点对<u，v>对应，称e为有向边或弧，记为e＝<u，v>，u称为弧e的始点，v称为弧e的终点，也称u邻接到v，v邻接于u。若e和e有相同的始点，称e和e相邻。始点和终点都相同的弧称为平行弧。若边e与有序结点对<u，v>对应，称e为有向边或弧，记为e＝<u，v>，u称为弧e的始点，v称为弧e的终点，也称u邻接到v，v邻接于u。若e和e有相同的始点，称e和e相邻。始点和终点都相同的弧称为平行弧。 在图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。 每条边都是无向边的图称为无向图。每条边都是有向边的图称为有向图。既有有向边也有无向边的图称为混合图。将有向图各有向边去掉方向后的无向图称为原来图的基图。

  6. 例1 图10-1所示的两个图分别为无向图和有向图。在图(a)中，e7是环，e1、e2与e3是邻接边。在图(b)中，v2v1与v2v3是邻接边，但v2v3和v3v2不是邻接边，v5为孤立结点。

  7. 定义10.2(1)含有平行边(或弧)的图称为多重图。不含平行边(或弧)和环的图称为简单图。定义10.2(1)含有平行边(或弧)的图称为多重图。不含平行边(或弧)和环的图称为简单图。 (2)具有n个结点和m条边的图称为(n，m)图，也称n阶图。一个(n，0)图称为零图，(1，0)图称为平凡图。 (3)任两结点之间都有边(或弧)的简单图称为完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。若n阶有向简单图的基图为Kn，称其为n阶竞赛图。 (4)在一个n边形内放置一个结点，使之与n边形的各结点有边，这样得到的简单图称为轮图，记为Wn。

  8. 例2在图10-2中，图(a)是简单图且为完全图，但图(b)是多重图，因为e4和e5是平行弧。例2在图10-2中，图(a)是简单图且为完全图，但图(b)是多重图，因为e4和e5是平行弧。

  9. 定理10.1 完全图Kn的边数为Cn2。 证明 因为在完全图Kn中任意两结点之间都有边相连，所以n个结点中任取两点的组合数为Cn2，故完全图Kn的边数为Cn2。 定义10.3 给每条边(或弧)都赋予权的图G＝<V，E>称为带权图或加权图，记为G＝<V，E，W>，W为各边(或弧)权的集合。

  10. 10.1.2 子图与补图 定义10.4 设G＝<V，E>、G＝<V，E>是两个图，于是 (1)若VV且EE，则称G为G的子图，G为G的母图。 (2)若G是G的子图，且VV或EE，则称G为G的真子图。 (3)若V＝V且EE，则称G为G的生成子图或支撑子图。

  11. 定义10.5 G＝<V，E>，V1V且V1≠，以V1为结点集，以两端点均在V1中的全体边为边集的G的子图，称为V1的诱导子图；E1E且E1≠，以E1为边集，以E1中边关联的结点的全体为结点集的G的子图，称为E1的诱导子图。 定义10.6 若G＝<V，E>是一个n阶无向简单图，从Kn中删去G的所有边而得到的图称为G的补图或G的相对于完全图的补图，记为 。

  12. 例3 在图10-3中，图(b)、(c)、(d)都是图(a)的子图，也是真子图。图(b)和(c)是图(a)的生成子图。图(d)既是结点集｛v2，v3，v4｝的诱导子图，也是边集{[v2，v3]，[v2，v4]，[v3，v4]}的诱导子图。图(b)和(c)互为补图。

  13. 10.1.3 结点的度 定义10.7 在有向图G＝<V，E>中，对于结点v∈V，以v为始点的弧的条数称为v的出度，记为d＋(v)；以v为终点的弧的条数称为v的入度，记为d－(v)；v的出度和入度之和称为v的度数，记为d(v)。 在无向图G＝<V，E>中，结点v的度数等于它关联的边数，记为d(v)。若v有环，规定该结点度数因环而增加2。

  14. 例4 在图10-1(a)中，d(v1)＝3，d(v2)＝5，在图10-1(b)中，d＋(v2)＝2，d－(v2)＝1。 定理10.2(握手定理)在图G＝<V，E>中，结点度数的总和等于边数的两倍，即 ＝2|E|。 因为图G中的每条边(包括环)都有两个端点，所以加上一条边就使各结点度数之和增加2，因此图G中结点度数的总和等于边数的两倍，即 ＝2|E|。 证明 推论：图G中度数为奇数的结点必为偶数个。

  15. 定理10.3 在任何有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。 因为每一条有向边必对应一个入度和一个出度，若某个结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以有向图中各结点入度之和等于边数，各结点出度之和等于边数，故结论成立。 证明 定义10.8无向图中度数为1的结点称为悬挂结点，它对应的边称为悬挂边。各结点度数均相同的图称为正则图。各结点度数均为k的图称为k度正则图。

  16. 定义10.9 在无向图G＝<V，E>中，令(G)＝max{d(v)|vV}，(G)＝min{d(v)|vV}，称(G)、(G)分别为G的最大度和最小度。 定理10.4 设G为任意n阶无向简单图，则(G)≤n－1。 因G无平行边也无环，所以G中任意结点v至多与其余n－1个结点相邻，于是d(v)≤n－1。由v的任意性可得，(G)≤n－1。 证明

  17. 定义10.10 n阶无向图G＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}，称d(v1)，d(v2)，…，d(vn)为G的度数列。对给定非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，若存在以{v1，v2，…，vn}为结点集的n阶无向图G使d(vi)＝di(i＝1，2，…，n)，称d是可图化的，若所得图G为简单图，称d是可简单图化的。

  18. 定理10.5 设有非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的 ≡0(mod 2)。 证明 由握手定理知必要性显然成立。下证充分性。 由 ≡0(mod 2)可得，d中必有偶数个奇数，不妨设为d1，d2，…，d2k。首先在结点vr和vr＋k之间连一条边(r＝1，2，…，k)。然后在vi(i＝1，2，…，2k)处作(di－1)/2个环，在vi(i＝2k＋1，2k＋2，…，n)处作di/2个环，得到的图G满足d(vi)＝di，所以d是可图化的。

  19. 定理10.6 设有递减非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，且 ≡0(mod 2)，则d是可简单图化的 ，k＝1，2，…，n－1。 证明 仅证必要性。若d是可简单图化的，设简单图G的结点集V＝{v1，v2，…，vn}，且d(vi)＝di(i＝1，2，…，n)。对于任意一个k∈{1，2，…，n－1}，当k＜i≤n时，vi至多与{v1，v2，…，vk}中min{di，k}个结点相邻。因此，至多有 条边连接{v1，v2，…，vk}中的结点与{vk＋1，vk＋2，…，vn}中的结点。

  20. 又{v1，v2，…，vk}中每个结点与另外k－1个结点之间至多有k－1条边，故v1，v2，…，vk的结点度数之和满足 ，k＝1，2，…，n－1。 例5 判断下列各非负整数列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？ (1)5，5，4，4，2，1；(2)5，4，3，2，2 (3)3，3，3，1； (4)d1，d2，…，dn，d1＞d2＞…＞dn≥1且 为偶数； (5)4，4，3，3，2，2。

  21. 由定理10.5易知，除(1)中序列不可图化外，其余各序列都可图化。但除(5)中序列外，其余的都是不可简单图化的。(2)中序列有5个数，若它可简单图化，设所得图为G，则(G)＝5，与定理10.4矛盾，所以(2)中序列不可简单图化。类似可证(4)中序列不可简单图化。由定理10.5易知，除(1)中序列不可图化外，其余各序列都可图化。但除(5)中序列外，其余的都是不可简单图化的。(2)中序列有5个数，若它可简单图化，设所得图为G，则(G)＝5，与定理10.4矛盾，所以(2)中序列不可简单图化。类似可证(4)中序列不可简单图化。 解 若(3)中序列可简单图化，设G＝<V，E>以(3)中序列为度数列，V＝{v1，v2，v3，v4}，且d(v1)＝d(v2)＝d(v3)＝3，d(v4)＝1，v4只能与v1、v2、v3中之一相邻，于是v1、v2、v3不可能都是3度结点，这是矛盾的，因而(3)中序列是不可简单图化的。

  22. 由定理10.6可知，(5)中序列是可简单图化的，图10-4所示的两个6阶无向简单图都以(5)中序列为度数列。

  23. 10.1.4 图的同构 定义10.11 无向图(或有向图)G1＝<V1，E1>和G2＝<V2，E2>，若有双射f：V1V2，使得对任意u、v∈V1，有[u，v]∈E1[f(u)，f(v)]∈E2(或<u，v>∈E1<f(u)，f(v)>∈E2)，且其重数相同，则称G1同构于G2，记为G1G2。若G与其补图同构，称G为自补图。

  24. 例6 在图10-5中，图(a)和(b)是同构的。因为可作映射g，使得g(1)＝v3，g(2)＝v1，g(3)＝v4，g(4)＝v2。在映射g下，边<1，3>，<1，2>，<2，4>和<3，4>分别映射到<v3，v4>，<v3，v1>，<v1，v2>和<v4，v2>。

  25. 若两个图同构，则它们的结点数相同，边数相同，度数相同的结点数相同等。但这并不是图同构的充分条件，如在图10–6中，图(a)和(b)虽然满足以上3条件但不同构。图(a)中的x应与图(b)中的y对应，因为度数都是3。但图(a)中的x与两个度数为1的结点u、v邻接，而图(b)中的y仅与一个度数为1的结点w邻接。若两个图同构，则它们的结点数相同，边数相同，度数相同的结点数相同等。但这并不是图同构的充分条件，如在图10–6中，图(a)和(b)虽然满足以上3条件但不同构。图(a)中的x应与图(b)中的y对应，因为度数都是3。但图(a)中的x与两个度数为1的结点u、v邻接，而图(b)中的y仅与一个度数为1的结点w邻接。

  26. 例7 (1)画出4阶3条边的所有非同构无向简单图； (2)画出3阶2条边的所有非同构有向简单图。 解 (1)由握手定理可知，所画的无向简单图各结点度数之和为2×3＝6，最大度数小于或等于3。于是所求无向简单图的度数列应满足的条件是：将6分成4个非负整数，每个整数均大于或等于0且小于或等于3，并且奇数个数为偶数。将这样的整数列排列出来只有下列三种情况： 3、1、1、1 2、2、1、1 2、2、2、0

  27. 所要求的全部非同构的图，如图10-7所示。 (2)由握手定理可知，所画的有向简单图各结点度数之和为4，且最大出度和最大入度均小于或等于2。度数列与入度列、出度列为： 1、2、1：入度列为0、1、1或0、2、0或1、0、1； 出度列为1、1、0或1、0、1或0、2、0

  28. 2、2、0：入度列为1、1、0； 出度列为1、1、0 四个所求有向简单图如图10-8所示。

  29. 10.2 路、回路与连通性 定义10.12 给定图G＝<V，E>，设v0，v1，…，vm∈V，边(或弧)e1，e2，…，em∈E，其中vi－1、vi是ei的结点，交替序列v0e1v1e2…emvm称为连接v0到vm的路或通路，通常简记为v0v1…vm。路上边的数目称为该路的长度。当v0＝vm时，称其为回路。 定义10.13 在一条路中，若出现的所有边(或弧)互不相同，称其为简单路或迹；若出现的结点互不相同，称其为基本路或初级通路。

  30. 定义10.14 在一条回路中，若出现的每条边(或弧)恰好一次，称其为简单回路；若出现的每个结点恰好一次，称其为基本回路或初级回路或圈。长度为奇数的圈称为奇圈；长度为偶数的圈称为偶圈。 例1在图10-9中，v1v2v3v2v4是一条简单路但不是基本路，v1v2v3v4是一条基本路；v1v2v3v2v4v1是一简单回路但不是基本回路，v1v2v3v4v1是一基本回路。

  31. 定理10.7 在一个图中，若从结点u到v存在一条路，则必有一条从u到v的基本路。 证明 若u到v的路已是基本路，结论成立。否则，在u到v的路中至少有一个结点比如w重复出现，于是经过w有一个回路C，删去回路C上的所有边(或弧)。若得到的u到v的路上仍有结点重复出现，则续行此法，直到u到v的路上没有重复的结点为止，此时所得即是基本路。

  32. 定理10.8 在n阶图中，任何基本路的长度均不大于n－1，任何基本回路的长度均不大于n。 证明 在n阶图中，因为任何基本路和基本回路中都最多有n个结点，所以任何基本路的长度均不大于n－1，任何基本回路的长度均不大于n。 定义10.15 在一个图中，若从u到v存在任何一条路，或u＝v，则称从u到v是可达的。 定义10.16 若无向图G中任意两个结点之间都是可达的，则称G为连通图，否则称G为非连通图。一个图G的连通分支数记为(G)。

  33. 定理10.9 若G是n阶m条边的连通无向图，则m≥n－1。 证明 因为G连通，所以存在一条包含所有结点的路，而这样的路最短为n－1，故m≥n－1。 该定理的逆否命题可用来判定一个图不连通。 例2 在图10-10中，图(a)是连通的，而图(b)是不连通的，其连通分支数为3。

  34. 定义10.17 设G＝<V，E>是连通无向图，若SV，使G删除S(将S中结点及其关联的边都删除)后所得子图G－S不连通，则称S是G的一个点割集。若G的点割集S＝{v}，称v是G的割点。 若TE，使G删除T(将T中的边从G中全删除)后所得子图G－T不连通，则称T是G的一个边割集。若G的边割集T＝{e}，称e是G的割边或桥。 例3 在图10-11中，v3是割点；{[v1，v3]，[v2，v3]}是割边集，但没有割边。

  35. 定义10.18 若G是连通无向图，称(G)＝min{|S| |S是G的点割集}为G的点连通度，称(G)＝min{|T| |T是G的边割集}为G的边连通度。规定非连通图和平凡图的点连通度和边连通度为0，完全图Kn的点连通度为n－1。 点连通度和边连通度反映了图的连通程度，(G)和(G)的值越大，说明图的连通性越好。 定理10.10 一个连通无向图G中的结点v是割点存在结点u和w，使得连接u和w的每条路都经过v。

  36. 证明 充分性：若连通图G中存在结点u和w，使得连接u和w的每条路都经过v，则在子图G－{v}中u和w必不可达，故v是G的割点。 必要性：若v是G的割点，则G－{v}至少有两个连通分支G1＝<V1，E1>和G2＝<V2，E2>。任取u∈V1，w∈V2，因为G连通，故在G中必有连接u和w的路，但u、w在G－{v}中不可达，因此必通过v，即u和w之间的任意路必经过v。 定理10.11 一个连通无向图G中的边e是割边存在结点u和w，使得连接u和w的每条路都经过e。

  37. 定理10.12 连通无向图G的边e是割边e不包含在图的任何基本回路中。 证明 e＝[x，y]是连通图G的割边当且仅当x、y在G－{e}的不同连通分支中，而后者等价于在G－{e}中不存在x到y的路，从而等价于e不包含在图的任何基本回路中。于是定理得证。 定理10.13 对于任意无向图G，有(G)≤(G)≤(G)。

  38. 证明 若G不连通或为平凡图，则(G)＝(G)＝0≤(G)。 若G为完全图Kn，则(G)＝(G)＝(G)＝n－1。 其它情况，先证(G)≤(G)。 由于度数最小的结点关联的边都删除后，必使得G不再连通，所以(G)≤(G)。 再证(G)≤(G)。 当在G中删除构成边割集的(G)条边后，G不连通。现将这(G)条边中取自不同边的(G)个不同的端点删除后，G亦不连通。因此(G)≤(G)。

  39. 定义10.19 在简单有向图G中，若任何两个结点之间是相互可达的，则称G是强连通的；若任何两个结点之间，至少从一个结点到另一个结点是可达的，则称G是单向连通或单侧连通的；若有向图G的基图是连通的，则称G是弱连通的。 例4 在图10-12中，图(a)是强连通的，图(b)是单向连通非强连通的，图(c)是弱连通非单向连通的。

  40. 由定义可知，强连通图一定是单向连通，单向连通图一定是弱连通的，但反之不然。 定理10.14 有向图G是强连通的G中有一回路，它至少通过每个结点一次。 充分性：如G中有一回路，它至少通过每个结点一次，则G中任意两个结点相互可达，故G是强连通的。 证明 必要性：如有向图G是强连通的，则任意两个结点相互可达。设V＝{v1，v2，…，vm}，i为vi到vi+1的路，n为vn到v1的路，则1、2、…、n－1、n所围成的回路至少通过每个结点一次。

  41. 定义10.20在简单有向图中，具有强连通性质的最大子图称为强分图；具有单向连通性质的最大子图称为单向分图或单侧分图；具有弱连通性质的最大子图称为弱分图。定义10.20在简单有向图中，具有强连通性质的最大子图称为强分图；具有单向连通性质的最大子图称为单向分图或单侧分图；具有弱连通性质的最大子图称为弱分图。 例5 在图10-13中，由{1，2，3}、{4}、{5}、{6}、{7，8}形成的诱导子图是强分图。由{1，2，3，4，5}、{5，6}、{7，8}形成的诱导子图都是单向分图。由{1，2，3，4，5，6}、{7，8}形成的诱导子图都是弱分图。

  42. 定理10.15 简单有向图G＝<V，E>中的任一结点恰位于一个强分图中。 证明 设v∈V，S是G中所有与v相互可达的结点集合，由S诱导的子图是G的一个强分图，且包含结点v。若结点v位于两个不同的强分图S1和S2中，则S1中每个结点与v相互可达，v与S2中每个结点也相互可达，于是S1中任一结点与S2中任一结点相互可达，与S1和S2是强分图矛盾。所以，G的任一结点恰位于一个强分图中。 定理10.16 简单有向图中每个结点和每条弧至少位于一个单向分图中。

  43. 定理10.17 简单有向图中每个结点和每条弧恰位于一个弱分图中。 定义10.21 在图G中，结点u到结点v的最短路的长度称为u到v的距离，记作d<u，v>。如u到v没有路，则d<u，v>＝＋。它具有下列性质： d<u，v>≥0 d<u，u>＝0 d<u，v>＋d<v，w>≥d<u，w> u与v相互可达，d<u，v>未必等于d<v，u>。

  44. 10.3 图的矩阵表示 定义10.22 给定简单图G＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}，n阶方阵A＝(aij)称为G的邻接矩阵，其中: 定理10.18 设A为简单图G的邻接矩阵，则Am中第i行第j列上的元素amij等于G中联结vi到vj长度为m的路的数目。

  45. 当m＝1时，结论显然成立。 证明 假设m＝k时结论成立，考察m＝k＋1的情形。 ak＋1ij＝ akir arj (1) 因为Ak＋1＝Ak·A，则 akir是联结vi到vr长为k的路的数目 arj是联结vr到vj长为1的路的数目 因此(1)右端每项表示由vi经过vr到vj长度为k＋1的路的数目。 对r求和即得ak+1ij，它是所有从vi到vj长度为k＋1的路的数目。

  46. 定理10.19 设A为简单图G的邻接矩阵，AT为A的转置，则 (1)令AAT＝(bij)，则bij的意义是：有bij个结点v，使得vi到v，vj到v都有边； (2)令ATA＝(cij)，则cij的意义是：有cij个结点v，使得v到vi，v到vj都有边。 证明 仅证(1)。由B＝AAT得，因为vi、vj到vk都有边当且仅当，所以对k求和得到的bij，就是使vi到v，vj到v都有边的v的数目。

  47. 例1 G＝<V，E>如图10-14所示，求A，A2，A3，A4、AAT、ATA。 解 G的邻接矩阵A及其转置分别为： 根据矩阵的乘法运算可得

  48. 由定理10.18及A4可知，v2到v3长度为4的路有3条，v4到v2长度为4的路有2条。由定理10.18及A4可知，v2到v3长度为4的路有3条，v4到v2长度为4的路有2条。 由定理10.19及AAT、ATA可知，只有一个结点v3使得v1、v2到v3都有边；没有到v1、v2均有边的结点。

  49. 定义10.23 (1)给定无向图G＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}，E＝{e1，e2，…，em}，令mij为结点vi与边ej的关联次数，称M＝(mij)nm为G的关联矩阵。 M每列和均为2说明每条边关联两结点；第i行之和为vi的度数。 (2)给定简单有向图G＝<V，E>，称M＝(mij)nm为G的关联矩阵，其中：

  50. 例2 给出图10-15所示的图的关联矩阵。 解 在图10-15中，图(a)和图(b)的关联矩阵M1和M2分别为：

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