§2. 9 　函数的综合应用

§2.9　函数的综合应用

　　函数思想是高中数学的主线,在高考中占有很大的比重,题型包括选择题、填空题和解答题.形式主要以函数本身的概念、性质或和其他知识点(比如方程、不等式、数列、导数、平面解析几何等)交叉.　　函数思想是高中数学的主线,在高考中占有很大的比重,题型包括选择题、填空题和解答题.形式主要以函数本身的概念、性质或和其他知识点(比如方程、不等式、数列、导数、平面解析几何等)交叉. 函数的综合应用为函数的重点知识,它包含了函数的各类问题,如函数的图象、性质以及几种常见的模型.在大题中以实际问题为背景,考查建立函数解析式、确定定义域、求最值等问题,属中档题;在小题中以中低档题为主.高考中主要侧重于利用函数解决实际问题,解决问题时注重个人的分析解决问题的能力,尤其是读懂题意的能力.

1.掌握几类基本初等函数的图象与性质,如一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等.1.掌握几类基本初等函数的图象与性质,如一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等. 2.几种常见的函数模型: (1)一次函数模型f(x)=kx+b(k≠0), (2)反比例函数模型f(x)=(k≠0), (3)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0), (4)指数函数模型f(x)=b·ax+c(a>0且a≠1),

(5)对数函数模型f(x)=mlogax+b(m≠0,a>0且a≠1), (6)幂函数模型f(x)=axn+b(a≠0,n≠1). 3.函数实际应用(应用题):要注意审题,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学模型. 建立数学模型一般过程: ①设自变量x,函数的因变量为y,必要时引出中间变量,并用x,y及中间变量表示各量之间的关系,②消掉中间变量,从而建立函数关系式,实现问题的数学化,即建立函数模型.

1.(2011年广东省兴宁市宁中中学)根据下表: 则可判断函数f(x)最有可能的函数模型是(　 ) (A)指数函数.　　　　　 (B)一次函数. (C)对数函数.　　 (D)幂函数. 【解析】描点画出函数的五个点,可以看出五个点在一条直线上,故函数模型为一次函数模型. 【答案】B

2.(2011年福建厦门月考)将进货单价为40元的商品按50元一个售出时,能卖出500个,若此商品每个涨价1元,其销售量减少10个,为了赚到最大利润,售价应定为(　 )2.(2011年福建厦门月考)将进货单价为40元的商品按50元一个售出时,能卖出500个,若此商品每个涨价1元,其销售量减少10个,为了赚到最大利润,售价应定为(　 ) (A)70元.　 (B)60 元.　 (C)50元.　 (D)55元. 【解析】设售价为x(50≤x≤100),每个的利润为x-40元, 能卖出的个数为500-10(x-50)=1000-10x, ∴利润为f(x)=(1000-10x)(x-40)=-10(x-70)2+9000≤9000(当且仅当x=70时取等号). ∴售价定为70元时,赚到最大利润9000元. 【答案】A

1.建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,必要时运用估算或近似值分析结果是否符合实际问题的要求.1.建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,必要时运用估算或近似值分析结果是否符合实际问题的要求. 2.在将实际问题向数学问题转化的过程中,要充分地利用数学语言,如引入字母、列表、画图、建立坐标系等理解题意,并使实际问题数学化.

3.解决应用题的关键是理解题意,一方面要加强对常见函数模型的理解,弄清其实际的背景,把数学问题生活化;另一方面要加强变量之间的分析能力,能从实际问题中分析几个量之间的内在联系,设出其中几个量,消去中间量,从而建立函数模型.3.解决应用题的关键是理解题意,一方面要加强对常见函数模型的理解,弄清其实际的背景,把数学问题生活化;另一方面要加强变量之间的分析能力,能从实际问题中分析几个量之间的内在联系,设出其中几个量,消去中间量,从而建立函数模型. 4.函数可与其他大部分知识相结合,故函数的知识是解决综合试题的基础.

§2. 9 函数的综合应用