第十二章

第十二章 振動

Ch12 振動

週期運動 • 物體做規律性的重複運動稱為週期運動 • 物體在經過一定時間後會重回某一特定的位置 • 在一個力學系統中，若作用於物體的力與物體距平衡位置的距離成正比時，物體將會做一種相當特殊的週期運動。 • 如果上述的力恆指向物體的平衡位置時，這種運動就稱為簡諧運動。 Ch12 振動

12.1 繫於彈簧一端之質點的運動

彈簧-質量系統的運動 • 質量為 m的木塊以一彈簧相連，在水平光滑的接觸面上滑動。 • 當彈簧既未被拉長也未被壓縮，此時木塊的位置稱為平衡點。 • x = 0 Ch12 振動

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虎克定律 • 虎克定律描述 • Fs為線性彈簧恢復力 • 此力永遠指向平衡位置 • 因此恢復力永遠和自平衡點量起的位移反方向 • k為彈簧的力常數 • x為位移 Ch12 振動

關於恢復力的一些規定 • 木塊若其位移是由 x = 0 處朝右 • 此時木塊的位置取正值 • 而在此同時木塊所受來自於彈簧的恢復力則向左 Ch12 振動

關於恢復力的一些規定 • 木塊位於平衡位置時 • x = 0 • 此時彈簧既無伸長也未被壓縮 • 這時的恢復力為零 Ch12 振動

關於恢復力的一些規定 • 如果木塊的位移是自 x = 0 處朝左 • 此時它的位置取負值 • 彈簧的恢復力這時指向右 Ch12 振動

加速度 • 於牛頓第二定律中，木塊所受由虎克定律所描述的恢復力，為其淨力。 Ch12 振動

加速度 • 加速度的大小與木塊的位移成正比。 • 加速度的方向與自平衡點量度的位移方向相反。 • 一物的加速度若其大小與位移的大小成正比，而方向與位移相反時，該物即做簡諧運動。 Ch12 振動

加速度 • 加速度並非常數 • 因此，等加速度運動方程式對振盪運動不適用 • 若木塊於 x = A 處釋放，則其釋放時的加速度為 –kA/m • 物體釋放時速率為零 • 當物體通過平衡位置的瞬間，其加速度為零 • 此時物體速率最大 • 當木塊移動到 x =–A處時，它的加速度為+kA/m Ch12 振動

木塊的運動 • 木塊持續在 x = –A與x = +A 之間來回運動 • 在 x = –A 與x= +A 這兩處稱為轉捩點 • 作用於木塊上的恢復力為保守力 • 在沒有摩擦力作用的情形下，這一運動模式會永遠持續下去 • 在實際情況下，這類系統均受到摩擦力作用，所以往復振盪永不停止的現象不會出現 Ch12 振動

簡答題 12.1 • 繫於彈簧一端的木塊被拉至位置後釋放。在一個完整的循環運動中，此木塊移動總距離為多少？(a) A / 2；(b) A；(c) 2A；(d) 4A。 Ch12 振動

簡答題 12.1 • (d)。由最大正位移處到平衡點位置，物體移動了距離 A。之後通過平衡點再移動相同距離到達最大負位移處。最後以反方向重複以上兩運動回到初始點處然後完成一個循環。 Ch12 振動

12.2 簡諧運動的數學描述

簡諧運動-數學表示法 • 將木塊以質點加以模型化 • 把往復運動的路徑定為 x 軸 • 物體的加速度 • 令角頻率(角速度) w 為 • 於是 Ch12 振動

簡諧運動-數學表示法 • 滿足前一方程式的函數 x需符合下述要求 • 此一函數的二次導函數(微分)需與原函數相同但差一負號，並且是原函數的w2 倍 • 符合前項要求的函數有正弦(sin) 和餘弦(cos) 二種函數 Ch12 振動

簡諧運動 – 圖形表示法 • 滿足加速度方程式的解 x(t)，可表示為 • 上式中A, w, f均為常數 • 餘弦函數曲線可以用來說明這些常數的物理涵義 Ch12 振動

簡諧運動 – 定義 • A為此種運動的振幅 • 這是質點朝正的方向或負的方向運動時所能達到的最大位置 • w 稱為角頻率 • 其單位為弧度/秒(rad/s) • f 為相常數或稱為相位角 Ch12 振動

簡諧運動 • 振幅A及相常數 f均由在 t = 0 時質點的位置與速度唯一決定 • 若質點在t = 0 時 x = A，這時 f = 0 • 質點運動時的相角為(wt + f) • 質點的位置時間函數 x(t) 呈週期性，當wt每增加 2p弧度時函數的值都相同 Ch12 振動

週期 • 週期 T 是指質點做一完整的循環運動所花的時間 • 於時間 t時質點的位置 x和速度 v ，與時間為t + T 時的量相同 Ch12 振動

頻率 • 週期的倒數稱為頻率 • 頻率為單位時間內，質點週而復始運動的次數 • 頻率的單位是週/秒= 赫茲 (Hz) Ch12 振動

週期與頻率的重點 • 頻率與週期可用來求解 w • 週期和頻率也可表示成 Ch12 振動

週期與頻率總整理 • 頻率和週期僅與質點的質量，彈簧力常數有關 • 它們和物體運動的參數無關 • 對使用強力彈簧(彈力常數 k 較大)的系統，物體運動的頻率較大，當質點質量增加時，頻率會漸減 Ch12 振動

簡諧運動的運動方程式 • 請隨時記住，簡諧運動並非是等加速度運動 Ch12 振動

速度 v 和加速度 a 的最大值 • 因為正弦和餘弦函數它們是在 ±1 之間變化，是故一個做簡諧運動的質點，我們可以利用此二函數的特性，找到速度和加速度的最大值 Ch12 振動

簡諧運動的圖形 • 右側的圖形分別表示 (a)位移與時間的關係 (b)速度與時間的關係 (c)加速度與時間的關係 • 由圖中可看出，速度與位移之間相差為 90°，加速度與位移之間的相差為180° Ch12 振動

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簡諧運動－例子1 • 在 t = 0 時的初始條件為 • x (0)= A • v (0) = 0 • 這意謂著 f = 0 • 加速度最大可達 ±w2A • 最大速度可達 ±wA Ch12 振動

簡諧運動－例子2 • 在 t = 0 時的初始條件為 • x (0)=0 • v (0) = vi • 這意謂著 f = -p/2 • 與 t = 0 時物體位於 x (0) = A 的圖形相較，它的 x(t) 圖像右移了四分之一週 Ch12 振動

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簡答題 12.2 • 如圖12.7所示之簡諧運動，其數學的表示式如 (12.6) 式。(i) 當物體置於圖中的 A 點時，試問其方位及速度分別是 (a) 皆為正；(b) 皆為負；(c) 正和0；(d) 負和0；(e) 正和負；(f) 負和正。(ii) 以相同的選項來決定當物體置於圖中的位置 A 時，其速度及加速度符號分別為何？ Ch12 振動

簡答題 12.2 Ch12 振動

簡答題 12.2 • (i)，(f)。物體位於 x < 0 區域，所以其位置為負。因為物體朝向原點移回，所以其速度為正。(ii)，(a)。如 (i) 一樣，速度為正。因為彈簧將物體從負 x 區域往平衡點推，所以加速度也為正。 Ch12 振動

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例題12.1 • 將一質量200 g的磚塊與力常數5.00 N/m平放輕彈簧連接，而使其水平無摩擦面振動。 A.假如磚塊移離平衡點5.00 cm後釋放，如互動圖12.4，求其運動週期？ Ch12 振動

例題12.1(續) • 解答 B.求得磚塊的最大速率及最大加速度。 • 解答 Ch12 振動

例題12.1(續) Ch12 振動

例題12.1(續) C.假設 = 0，將這物體的位置、速度及加速度表為時間的函數。 • 解答 Ch12 振動

例題12.2 • 沿著 x軸做簡諧運動的質點，根據下列式子，其位置依據樣式隨時間變化式中的單位是秒。 A.決定運動的振幅、頻率及週期。 • 解答 Ch12 振動

例題12.2(續) B.計算任何時刻 t，質點的速度與加速度。 • 解答 Ch12 振動

例題12.2(續) C.當時間 t = 0 時，質點的位置和速度為何？ • 解答 Ch12 振動

例題12.3 和　或　 • 已知角頻率的簡諧振動子，假設其起始速度及起始位置分別為 vi及 xi，即和，用這些起始參數值來寫出振幅和相位常數的表述式。 • 解答 Ch12 振動

例題12.3(續) Ch12 振動

12.3 簡諧運動中的能量表示法

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