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第 4 章 控制系统的状态空间设计

第 4 章 控制系统的状态空间设计. 4.1 　状态反馈与输出反馈 4.2 　闭环系统的能控性与能观性 4.3 　单输入／多输出系统的极点配置 4.4 　状态反馈对系统零极点的影响 4.5 　输出反馈实现极点配置 4.6 　全维状态观测器及其设计. 教学要求： 熟练掌握状态反馈与输出反馈，极点配置 熟练掌握状态观测器设计方法 掌握分离原理，降维观测器设计方法 重点内容： 状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和有关定理 单输入、多输出系统的极点配置 全维与降维观测器的设计 状态反馈与观测器的工程应用. 4. 1 状态反馈与输出反馈.

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第 4 章 控制系统的状态空间设计

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  1. 第4章 控制系统的状态空间设计 4.1 　状态反馈与输出反馈 4.2 　闭环系统的能控性与能观性 4.3 　单输入／多输出系统的极点配置 4.4 　状态反馈对系统零极点的影响 4.5 　输出反馈实现极点配置 4.6 　全维状态观测器及其设计

  2. 教学要求： • 熟练掌握状态反馈与输出反馈，极点配置 • 熟练掌握状态观测器设计方法 • 掌握分离原理，降维观测器设计方法 • 重点内容： • 状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和有关定理 • 单输入、多输出系统的极点配置 • 全维与降维观测器的设计 • 状态反馈与观测器的工程应用

  3. 4. 1 状态反馈与输出反馈 • 状态反馈 　　设原系统： Ｄ x + + + Ｂ 1/S Ｃ Ｖ y - u + Ａ Ｋ

  4. 状态反馈控制律： 其中：　　　　输入 ----状态反馈阵　　　 状态反馈系统： 若Ｄ=0， 特征方程　

  5. x + • 输出反馈 • 输出反馈至参考微分处( ) Ｂ y 1/S Ｃ u + - Ａ H 其中　　　　　--输出反馈阵

  6. x + • 输出反馈至参考输入： Ｂ 1/S Ｃ Ｖ - u + Ａ Ｆ

  7. 比较：输出反馈 H,F选择的自由度比K小，输出反馈 部分状态反馈。 C=I,FC=K时，才能等同状态反馈。 因此，输出反馈的效果不如状态反馈，但 输出反馈实现较方便，而状态反馈不能测量的状态变量需用状态观测器重构状态。

  8. 4.2 闭环系统的能控性与能观性 • 定理1：状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一定能保证能观性． 证明：设原系统 的动态方程为： 先证引入u=v-kx的状态反馈后系统 的动态方程为：

  9. 先证 能控的充要条件是 能控： 的能控性阵： 的能控性阵： 由于 式中 列向量组成

  10. 则： 令： 式中 标量 这说明 的列 是 列的线性组合。

  11. 同理： 的列 是 列的线性组合。 的列 是 列的线性组合。

  12. 另一方面： 的状态反馈系统 或： 是由 经初等变换得到，而初等变 换

  13. 　　例： 　　解： • 判断原系统的能控性，能观性． 能控

  14. 能观 引入状态反馈： 则： 令： 能控

  15. 不能观 原系统： 闭环系统： 引入状态反馈后出现零极点对消

  16. 定理2：输出至参考输入的反馈不改变原系统的能观性与能控性．定理2：输出至参考输入的反馈不改变原系统的能观性与能控性． • 定理3：输出至状态微分的反馈不改变原系统的能观性，但可能改变原系统的能控性． 证明： • 用对偶原理证明能观性不变

  17. 设原系统 ，输出反馈的系统 若原系统 能观 对偶系统 能控。 由定理1可知，系统 引入状态反馈后的系统 能控性不变 能观性不变。

  18. 证明能控性不变： • 设原系统能控 能观

  19. 系统 的能控性阵 ：

  20. 4.3 单输入/多输出系统的极点配置 设原系统： x + v Ｂ 1/S Ｃ y - u + Ａ Ｋ

  21. 引入状态反馈： ----闭环状态阵 闭环特征多项式

  22. 定理：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是：原系统能控．定理：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是：原系统能控． 证明：充分性　　设原系统能控　　　 　　　　　　任意配置极点． 　　　 原系统能控，一定存在 　　　　将( A,b) 能控标准型．

  23. 引入状态反馈　　　　　，其中 其中： 是能控型

  24. 特征多项式： 　比较　　与

  25. 可任意配置极点． 可直接求出Ｋ 能控标准型

  26. 必要性：任意配置极点　　原系统能控． 反证法：原系统不可能 　　　　　设　

  27. 的特征值(　　　　　的极点)不能任意配置 与已知矛盾，所以反设不成立。

  28. ＊求解状态反馈阵Ｋ的步骤： • 验证原系统的能控性． • 闭环系统特征方程： • 希望的闭环系统的特征方程： • 计算Ｋ　

  29. 原系统是能控标准型： • 原系统不是能控型，比较　　与　　　 • 写出闭环系统状态方程：

  30. 例1： 　　　要求通过状态反馈将闭环极点配置在 解： • 能控标准型　　　能控． 　设

  31. ． • ．

  32. U 1/s 1/s 1/s Ｖ － － － － － 3 2 1 4 4

  33. 例2: 要求通过状态反馈将闭环极点设置在 解： 原系统能控

  34. (2) 设

  35. (3) (4)　令 (5)

  36. + + y 1/s 1/s 1/s v - - - 2 3 3

  37. 闭环系统的传递函数：

  38. 4.4 状态反馈对系统零极点的影响 设单输入／出系统： 已知(A,b,c,d)能控，则经过　　　　将(A,b,c,d)化为能控型

  39. 引入状态反馈： 设：

  40. 零点不变，极点可变．

  41. 4.5 输出反馈实现极点配置 • 输出反馈　　　状态微分 　　设多输入／单输出系统：

  42. u B 1/s C - + y A h

  43. 定理：由输出至　的反馈任意配置极点的充要条件是原系统能观．定理：由输出至　的反馈任意配置极点的充要条件是原系统能观． 证明：运用对偶原理： 　　　若(A,B,C)能观，则 能控，可由状态反馈实现极点配置： 　　　　可求出h．

  44. 输入反馈至参考输入的极点配置： u B 1/s C y + - A f 引入输出反馈：

  45. 4.6 全维状态观测器及其设计 状态观测器 　　状态估计器 　状态重构 　　原系统状态 　　估计状态　　　　　全维状态观测器．

  46. b I/S C - A k 观测器 要求：

  47. 状态观测器的构成： 　　原系统： 　　模拟系统： 　　　由于： (1)

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