第三章复变函数的积分

第三章复变函数的积分 • 第一节积分的概念及性质 • 第二节 Cauchy定理 • 第三节原函数与不定积分 • 第四节 Cauchy积分公式

第一节积分的概念及性质 • 概念设C是z平面上一分段光滑的曲线，函数 f(z)在C上定义。分割：求和：取极限：

性质

路积分的计算方法 1. 归为二元函数的第二型积分来计算，计算公式为 2. 参数方程的表达形式C:z=z(t) (t:α→β)

举例其中：(1)C为由原点到(2,0)再到(2,1)的折线； (2)C为由原点到 (2,1)的直线其中：C为圆周x=asint, y=acost (0≤t ≤ 2π) 其中：C为以a为中心,ρ为半径的圆周

第二节 Cauchy定理 • 单连通区域上的Cauchy定理如果函数f(z)在单连通区域G内解析，则沿G内的任何一条光滑的闭合曲线C有

如果函数f(z)在单连通区域G内解析，在 上连续，则沿上的任何一条光滑的闭合曲线C（当然包括的边界）有证明： y -1+i O x -1 1 -1-i 推广举例

设G是由C0 , C1, C2 , … , Cn围成的多连通区域，函数f(z)在G内解析，在上连续，则有 • 复连通区域上的Cauchy定理

y 计算积分： x -2 2 O 1 y Γ 计算积分： x 1 O 计算积分：其中Γ为包含|z|=1在内的任何正向的闭曲线 y x -2 2 1 -1 举例

第三节原函数与不定积分 • 原函数的概念若F'(z)= f(z)，则称F(z)是f(z)的原函数，其中z∈B，B是单连通区域

B z z0 结论设f(z)是单连通区域B内的解析函数，由Cauchy定理知：沿B内任一路径的积分∫l f(z)dz只与起点、终点有关，而与在B内的积分路径无关，因此当起点z0 ∈B固定时，这样该积分就定义一个关于终点z的单值函数，记作则F(z)是f(z)的原函数。

函数f(z)的原函数的一般表达式F(z)+C（其中C是任意常数）被称为函数 f(z)的不定积分，记作 • 不定积分说明两个原函数的差是一个常数。

B z2 z1 结论若函数 f(z)在单连通区域B内解析，而F(z)是它的一个原函数，则有其中z1, z2∈B。

计算积分： 计算积分：计算积分：举例沿区域 lnz>0, Rez0 内的圆弧|z|=1

设f(z)在单连通区域B内解析，在 上连续，则对B内任一点ζ，有 ρ L B ζ 第四节 Cauchy积分公式 • 单连通域上的Cauchy积分公式或

设B是由C0 , C1, C2 , … , Cn围成的多连通区域，函数f(z)在B内解析，在上连续，则对B内任一点 ζ，有 • 复连通域上的Cauchy积分公式

计算积分： 计算积分：举例

设 f(z) 在简单闭合曲线C上及C外（包括无穷远点）的单值函数，我们来计算积分 • 无穷域上的Cauchy积分公式其中a是外C一点，积分路径C的走向是顺时针方向，即绕无穷远点的正向

如果 f(z) 在简单闭合曲线C上及C外解析，且当z→∞时， f(z)一致地趋于零，则有计算积分：特别地，当 f(∞) = 0时，有举例计算积分：

设f(z)在单连通区域B内解析，在 上连续，则f(z)在B内任一点 ζ，有各阶导数，且 δ B B ζ • 高阶导数公式说明复变函数中设函数f(z)在某区域内解析是一个要求很高的条件

计算积分： 计算积分：举例

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