几何: 魅力及应用

1. 几何: 魅力及应用 丘成桐 美国哈佛大学

2. 科学的兴起与个人修养、团体文化有直接的关 系。 假如一个人的一生目标以逐利当官为大前提， 做学问顶多是一个过渡手腕，即使小有成就，也难 以持久。推动科研的热情和好奇心很快就会冷淡。 传世之学，更无足论了。

3. 即使我的学生中间也有很多年少得志的，不但有即使我的学生中间也有很多年少得志的，不但有 名闻全国，也有屡得奖于海外的。但往往沾沾自喜， 以为学有成就，就争名逐利、自夸自大。往往急功近 利，导致文章错误百出。又为了做院士，花了很多时 间去巴结权贵。在这样的背景下，何以做高雅的学问， 更遑论传世之学了。 做大学问的学者，必需有崇高的志向。而立志不 易，必需有深厚的文化环境和朋友老师的激励才能形 成这个先决的条件。

4. 在西方，为了培养研究人员的素质，特别讲究通才教育。其实中国深厚的文化提供了做学问最好的背景，中国诗词歌赋意境高超，能够纯化个人的心志。屈原天问篇一连问这么多问题，值得我们学习。孟子知言养气，是培养气质和做学问的很好的方法。在西方，为了培养研究人员的素质，特别讲究通才教育。其实中国深厚的文化提供了做学问最好的背景，中国诗词歌赋意境高超，能够纯化个人的心志。屈原天问篇一连问这么多问题，值得我们学习。孟子知言养气，是培养气质和做学问的很好的方法。

5. 我年少时家贫，父亲却勉我以学问，不以富贵为志。父亲写了一本西洋哲学史，引文心雕龙一小段，使我记忆尤深。我年少时家贫，父亲却勉我以学问，不以富贵为志。父亲写了一本西洋哲学史，引文心雕龙一小段，使我记忆尤深。

6. 文心雕龙：嗟呼，身与时舛，志共道申，标心于万古之上，而送怀与千载之下。文心雕龙：嗟呼，身与时舛，志共道申，标心于万古之上，而送怀与千载之下。

7. 崇基学院门前对联崇高惟博爱本天地立心无间东西沟通学术基础在育才当海山胜境有怀抱与陶铸人群丘镇英崇基学院门前对联崇高惟博爱本天地立心无间东西沟通学术基础在育才当海山胜境有怀抱与陶铸人群丘镇英

8. 父亲很注重我有崇高的志向，所以很早教导我的古文中就有左传论三不朽的文章。 左传 叔孙豹论三不朽 太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此之谓不朽。 立德立功之道，必以谦让质朴为主﹁会当凌绝顶，一览众山小﹂轻妄浮誇之言也。

9. 从中国古文中，可以看到做科学的方法，例如：从中国古文中，可以看到做科学的方法，例如： 王国维论做大学问三个过程 晏殊 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 柳永 ……衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 辛弃疾 ……众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯 火阑珊处。 其实我想加一首词： 宋徽宗 ……天遥地远，万水千山，知他故宫何处，怎 不思量，除梦里有时曾去。

10. 除了中国古代文学对我的影响外，我也看翻译的西方文学作品，其中一首诗使我十分感动的是：英国大诗人拜伦 “希腊啊！你本是平和时代的爱娇，你本是战争时代的天骄。撒芷波，歌声高，女诗人，热情好。更有那德罗士、菲波士荣光常照。此地是艺文旧垒，技术中潮，如今在否？算除却太阳光线，万般没了。” “马拉顿前啊！山容缥缈。马拉顿后啊！海门环绕。如此好山河，也应有自由回照。我向那波斯军墓门凭眺。难道我为奴为隶，今生便了？不信我为奴为隶，今生便了。” 梁启超翻译

11. 欧几里得(公元前350年) 《原本》 ●欧几里得几何公设 ■任意两点间可作唯一的直线 ■任何线段可以无限延长 ■以任一点为中心和任一距离为半径可作一圆 ■所有直角彼此相等 ■对于一直线L和该直线外的一点P，存在唯一通过P，并和L不相交的直线。

12. … 几何公设仅是一些定义。 —庞加莱

13. ●给出一个直角三角形 ●该定理是几何学的一个基础 ●三元数组(3,4,5) 在古代文明中是非常著名的。我们称(a,b,c)为毕达哥拉斯三元数组。 毕达哥拉斯

14. 毕达哥拉斯三元数组 ●希腊人意识到，当 时，c不是有理数， 也就是说，c 不是两个整数的商。 ● 可以用下面的公式找到整数的毕达哥拉斯三元数组 这里都是正整数。 （毕达哥拉斯，欧几里得，丢番图……）

15. 毕达哥拉斯三元数组 • 一个困难问题：分类所有的有理数毕达哥拉斯三元数组，使其对应的直角三角形的面积为整数。这样的整数叫同余数。 • 同余数：例如，1，2，3，4不是；5，6，7是。 • 面积为5

16. 同 余 数 • 1983年， Tunnell用 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想证明了： 如果 n是一个奇的非平方整数，n是同余数当且仅当满足方程 的三元数组(x,y,z)的个数是满足方程 的三元数组(x,y,z)的个数的两倍。

17. 椭 圆 曲 线 • 如果同余数n是由三元数组(x,y,z)构成的直角三角形的面积，这里 x,y,z 均是有理数，设 我们发现 满足该方程的曲线叫椭圆曲线，它们构成一个群。

18. 椭圆曲线 • 如果 和是一曲线的两点， 是直线 和该曲线的交点，那么 • 稍后我们将看到椭圆曲线在现代几何和在弦理论中起着非常重要的作用。

19. 椭圆曲线 – 同余数 • n是同余数 • 椭圆曲线 有无限多个有理数解。 • 某些相伴的函数在 处为零。 • Theta函数的某些积的系数为零。

20. 柏拉图多面体 • 正多面体是凸体，每个面是相同的正多边形，每个顶点相连着同样数目的面。 • 仅有五种：正四面体，立方体，正八面体，正十二面体，正二十面体。

21. 柏拉图多面体 • 这些多面体和复奇点的现代理论有关，也和弦理论中非紧致卡拉比—丘成桐流形有关。 • 各多面体间的对偶

22. 欧 拉 数 • 对于柏拉图多面体: • 欧拉注意到如果一个闭曲面能连续地形变到一个闭的多面体。分别记V,E,F,为该多面体的顶点数,边数和面数，那么 这里 h 是环柄个数 • 对于球面, h=0, • 2(1-h) 称为欧拉数

23. 欧 拉 数 • 环柄数分别为 1, 2, 3

24. 对称性—正多面形 • 正多面体、砖瓦面、几何图案给出对称性概念，支配着几何学的发展。 • 晶体按照对称群分类

25. 高斯—博涅公式 • 对多面体我们可以指定与某个顶点 v 相连的面的曲率为 - 与 v 相连的面的内夹角 • 所有顶点处曲率之和为 • 高斯-博涅-魏依-艾伦多夫和陈省身推广了上述公式

26. 高斯—博涅公式 • 这类联系几何信息和拓扑量的公式在现代几何学和现代物理学中有着显著的重要性。（在物理语言中，这类公式联系着拓扑荷，拓扑缺陷。） • 这类理论建立在陈类基础上。1960年 阿蒂亚-辛格 作出了光辉的推广。分析和几何产生了紧密的联系。

27. 天 文 测 量 • 希腊天文学家将几何学应用于天文测量。例如，地球的直径（在赛伊尼的埃拉斯特尼 (公元前 275年-195年))。 • 对天文测量的愿望反过来又影响着几何学和三角学的发展。

28. … 相信我，如果我可以重新开始学习，我将听从柏拉图的建议，从数学开始。 ——伽利略

29. 文艺复兴时期 • 笛卡儿(1596-1650) • 解析几何：笛卡儿坐标系 • 德萨格 (1591-1661) • 射影几何 • 费马(1601-1665) • 变分原理：测地线 • 牛顿 (1642-1727) • 微积分 • 莱布尼茨(1646-1716) • 微积分

30. 源于少数原理，…却结出累累硕果， 这就是几何的骄傲。 ——牛顿

31. 拓扑和几何的现代发展 • 欧拉 (1707-1783) • 多面体的欧拉公式，组合几何，变分分析，几何与力学，极小曲面。 • 高斯 (1777-1855) • 双曲几何 ( 和罗巴切夫斯基 ( 1792-1856), 波尔约 (1802-1829)一起 )，高斯曲率的内蕴 定义。 )

32. 曲率的内蕴定义 • 一张纸的曲率为零。可以将纸弯成一个圆柱面。 • 两个曲面是相同的：不拖长或撕裂曲面。两曲面的形状不同。 • 两类几何： • 内蕴度量给出高斯曲率 • 外蕴形状给出主曲率 • 悬链面 – 螺旋面 (等距形变 )。 demo

33. 高斯(1817) • 我越来越确信几何的必然性无法被验证，至少现在无法被人类或为了人类而验证。我们或许能在未来领悟到那无法知晓的空间的本质。 • 我们无法把几何和纯粹是先验的算术归为一类。几何和力学却不可分割。

34. 黎曼(1826-1866) • 在抽象定义的空间上引入黎曼度量 • 在无穷小近似下就是欧氏几何。然而只在一阶近似下是等同的。 • 二阶近似由度量的曲率张量来衡量。 • 导致了几何学的革命。 克里斯托费尔，列维-齐维塔，比安基……，发展了这类抽象空间上的微积分。

35. 黎 曼 面 • 后来人们意识到对二维空间，每个黎曼度量都可以写成 • 如果引入复数 • 度量可写成

36. 黎 曼 面 • 这样的复坐标在相差一个全纯变换的意义下是唯一的。 • 具有这样复坐标的抽象二维空间称为黎曼面。 • 此概念应用于计算机图形学。

37. 黎 曼 面 ●曲面间的全纯变换 demo

38. 高斯曲率 • 黎曼面的高斯曲率为 • 黎曼面给出称为复流形的首个例子。 • 问题：如何重新发现度量？ • 有一个黎曼面，即给出一个复坐标 z。 • 有一个定义在黎曼面上的曲率函数 K。

39. 高斯曲率

40. 黎曼度量的曲率 • 在高维情形，黎曼度量的曲率远不是一个数量函数，它依赖于空间在某个截面上是如何弯曲的，称为曲率张量。 • 可以对全部曲率张量缩并，得到一个小的张量，称为里奇张量。记为 。 • 里奇张量是一个对称张量，其迹称为数量曲率。 记为 。

41. 爱因斯坦方程 • 黎曼几何被爱因斯坦(在格罗斯曼、希尔伯特帮助下)用来描述广义相对论。广义相对论融合了狭义相对论和引力。 • 爱因斯坦方程 这里 是物质张量（引力由度量 的全部的曲率张量来描述）。 • 爱因斯坦方程对几何学家们启发深刻。这是一个高度非线性理论。（ 是引力位势，是未知量）。

42. 时 空 • 一般地，我们不能期望由爱因斯坦方程定义的时空有很多的对称性。 • 因而，很多经典力学中的守恒量在广义相对论无法直接定义。这里包括质量、动量、角动量等。 • 对于广义相对论中的孤立物理系统，时空在无穷远处基本上是平坦地，因而具渐进对称性。这给出了总质量、总动量和总角动量的定义。

43. 正 质 量 • 一个复杂的问题是在某些合理的条件下,证明总质量是正的。 • 这对应着几何中，在某些数量曲率的限制下，研究三维流形的几何。 • 萧恩和丘成桐用经典的变分方法证明了正质量猜想：研究空间中的极小曲面。 • 后来威腾用狄拉克方程和超引力重新证明了正质量猜想。

44. 求解爱因斯坦方程 • 广义相对论中困难的问题是如何求解爱因斯坦方程。 • 物质张量为零 的情形。 • 黎曼几何中一个非常有趣的问题：能否找到一个闭空间，没有物质却有引力？ • 当空间具超对称性时，该问题较容易。

45. 求解爱因斯坦方程 • 例如, 当空间具复坐标 黎曼度量并可写成 • 这种情况下，有一个重要的量 • 有拓扑意义。 • 由陈省身引入，刻画着空间的整体拓扑，称为第一陈类。 • 空间容许真空解要求第一陈类为零。

46. 卡拉比-丘成桐空间 • 第一陈类为零可以在代数意义下验证。 • 丘成桐证明了第一陈类为零的复曲面上存在具超对称的真空爱因斯坦方程的解。这是卡拉比猜想的一部分。 • 这类空间称为卡拉比-丘成桐空间。 • 椭圆曲线 也是一个卡拉比-丘成桐空间。 • 柏拉图多面体和某些卡拉比-丘成桐空间有着紧密地联系。

48. 卡拉比-丘成桐空间 • 记 X 为一五次卡拉比-丘成桐空间，其由射影空间中的下述齐次多项式定义: • 简单地说，X上d 次有理曲线是一个d 次多项式 解 记 是X上 d 次有理曲线的个数。 • 如何计算 一百多年来一直困扰着数学家们。物理学中 的镜像对称预言可用经典超几何函数来计算所有的 。 • 1998年，连文豪-刘克峰-丘成桐首次给出完整的论证，使问题得以最终解决。

49. 卡拉比猜想的解决 • 卡拉比猜想的解决也给出了具负宇宙常数的度量。这类度 量实际上是庞加莱在曲面上构造的度量的推广。 • 最显著的断言是一个由复代数多项式定义的空间如果能形 变到一个复线性空间，那么这个空间也是复线性的。 • 可证明一个基本的不等式（米姚卡-丘成桐）：对于代数曲 面S, • 是曲面的欧拉数， 和曲面的拓扑指标有关。 • 该不等式显示，对代数曲面，存在一些非平凡的拓扑限制。

50. 全纯1-形式 • 受到流体力学和麦克斯韦方程的启发，嘉当，德·拉姆，霍奇，小平邦彦发展了流形上的调和形式理论，将流形上的分析与整体拓扑联系起来。 • 例子，在闭曲面上，每个环柄给出一个全纯1-形式。其给出了在曲面上构造正交网的一种方法。