Geometria Computacional

1. Geometria Computacional Prof. Walter Mascarenhas Segundo semestre de 2004 Aula 4

2. Produto vetorial

3. Fórmulas

4. Encarando como transformação linear:

5. Mais fórmulas

6. Generalizações

7. Orientação indica esquerda/sobre/direita

8. esquerda/direita/sobre && interseção Corte transversal <=> esquerda(A,B,C) * esquerda(A,B,D) = esquerda(C,D,A) * esquerda(C,D,B) = -1 esquerda(A,B,C) * esquerda(A,B,D) = 1ou esquerda(C,D,A) * esquerda(C,D,B) = 1=> não há interseção

9. Restam os casos degenerados

10. Triangulação em O(n logn) 1- Ordene os pontos pela coordenada y O(n logn) 2- Decomponha o polígono em trapézios usando uma scanline O(n logn)3- Usando os trapezóides, quebre o polígono em partes monótonas através da eliminação das cúspides internas O(n)4- Triangule as partes monótonas O(n)

11. Vértices reflexos e cúspides internas Um vértice v de um polígono P é reflexo se o seu ângulo interno é estritamente maior que pi. Um vértice reflexo r é uma cúspide interna de P com relação à reta r se seus dois vizinhos estão contidos no mesmo semi-plano fechado definido pela paralela a r que passa por v..

12. Partição em trapézios Um polígono particionado em trapézios (triângulos são trapézios degenerados.) Note que o lado inferior de cada trapézio contém exatamente um vértice e o superior também

13. Método da scanline

14. Poligonais estritamente monótonas Uma poligonal P é estritamente monótona com respeito à uma reta r se toda perpendicular à r corta P em no máximo um ponto

15. Poligonais monótonas Uma poligonal P é monótona com respeito à uma reta r se toda perpendicular à r corta P em no máximo uma componente conexa

16. Observação

17. Polígonos monótonos Uma polígono é (estritamente) monótono com respeito à uma reta r se puder ser particionado em duas poligonais que são (estritamente) monótonas com respeito a r

18. Conseqüência da observação passada

19. Critério de não monotonicidade Lema: Um polígono P não monótono com relação a uma reta r contém pelo menos uma cúspide interna. A recíproca deste lemma e versões mais fortes são falsas:

20. Idéia da prova do Lema(os detalhes são muito chatos) ``Prova’’ do Lema: suponha que o polígono esboçado na figura não é monótono. Então podemos assumir que uma paralela a r intercepta a poligonal cyan em mais de uma componente conexa. Isto implica que v0 está abaixo da paralela e vn está acima. Portanto a paralela também corta a poligonal amarela. Ai temos alguns casos. Por exemplo, poderíamos conectar o ponto a ao ponto b ou ao ponto c

21. Continuação da prova do Lema

22. De trapezóides para partes monótonas: Basta remover as cúspides internas conectando-as da seguinte maneira:1- Uma cúspide interna que está no lado inferior de um trapézio é ligada ao vértice do polígono que está no lado superior do mesmo trapézio por uma diagonal2- Uma cúspide interna que está no lado superior de um trapézio é ligada ao vértice do polígono que está no lado inferior do mesmo trapézio por uma diagonal

23. De trapezóides para partes monótonas:

24. Finalmente, triangular polígono monótono em O(n):