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第 6 章 弯曲变形

第 6 章 弯曲变形. 本章主要研究：.  弯曲变形基本方程  计算梁位移的方法  简单静不定梁分析  梁的刚度条件与设计. §1 引言 §2 梁变形基本方程 §3 计算梁位移的积分法 §4 计算梁位移的奇异函数法 §5 计算梁位移的叠加法 §6 简单静不定梁 §7 梁的刚度条件与合理设计. §1 引 言.  弯曲变形及其特点  挠度与转角. 挠曲轴.  弯曲 变形及其特点.  变弯后的梁轴，称为 挠曲轴.  挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线

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第 6 章 弯曲变形

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  1. 第6章 弯曲变形 本章主要研究： 弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计

  2. §1引言§2梁变形基本方程§3计算梁位移的积分法§4计算梁位移的奇异函数法§5计算梁位移的叠加法§6简单静不定梁§1引言§2梁变形基本方程§3计算梁位移的积分法§4计算梁位移的奇异函数法§5计算梁位移的叠加法§6简单静不定梁 §7梁的刚度条件与合理设计

  3. §1 引 言 弯曲变形及其特点 挠度与转角

  4. 挠曲轴  弯曲变形及其特点 变弯后的梁轴，称为挠曲轴  挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线  对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计, 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交 研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静 不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础

  5. 转角 －挠度  挠度与转角 挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移 －挠曲轴方程 转角－横截面的角位移 －转角方程 挠度与转角的关系 （小变形） （忽略剪力影响） （rad）

  6. §2梁变形基本方程 挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程

  7. （纯弯） （推广到非纯弯）  挠曲轴微分方程 －挠曲轴微分方程 w－弯矩引起的挠度 smax < sp

  8. 小变形时： －挠曲轴近似微分方程  挠曲轴近似微分方程 应用条件： 坐标轴w向下时： 小变形 坐标轴w向上

  9. §3计算梁位移的积分法  挠曲轴微分方程的积分与 边界条件  积分法求梁位移 挠曲轴的绘制  例题

  10.  挠曲轴微分方程的积分与边界条件 约束处位移应满足的条件 梁段交接处位移应满足的条件 －位移边界条件 －位移连续条件 利用位移边界条件与连续条件确定积分常数

  11. qA=? EI =常数  积分法求梁位移  建立挠曲轴近似微分方程并积分  利用边界条件确定积分常数 由条件(1), (2)与式(b)，得  计算转角 （）

  12. 满足基本方程 绘制依据  挠曲轴的绘制 满足位移边界条件与连续条件 绘制方法与步骤 画M 图 由 M 图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的 凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状 由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置

  13. 例3-1 用积分法求梁的最大挠度，EI 为常数  例 题 解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 AC段 CB段

  14. 2. 确定积分常数 位移边界条件： 位移连续条件： 3. 最大挠度分析 当 a > b时 发生在AC段 （）

  15. 例3-2建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件，EI为常数 解：1. 建立挠曲轴近似微分方程 AB段: CB段: 2. 边界条件与连续条件 位移边界条件： 位移连续条件：

  16. F=qa F=qa 例3-3 绘制挠曲轴的大致形状

  17. §4计算梁位移的奇异函数法 奇异函数  弯矩通用方程 梁位移通用方程  例题

  18. 当需分段建立M或EI方程时，用积分法求解需要确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算当需分段建立M或EI方程时，用积分法求解需要确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算 定义  奇异函数 奇异函数（或麦考利函数）

  19.  弯矩通用方程 用奇异函数建立最后梁段DE的弯矩方程： 适用于各梁段。 例如对于BC段（ l1, l2）

  20.  梁位移通用方程 适用于任一梁段 , 仅包括两个积分常数 , 由边界条件确定

  21. 例4-1 用奇异函数法计算qA ，EI 为常数  例 题 解：1. 建立梁位移通用方程

  22. 2. 确定积分常数 3. 计算转角 （）

  23. 例4-2 用奇异函数法计算wA，EI为常数 解： （）

  24. 例4-3 建立通用挠曲轴微分方程，写出位移边界条件 解：

  25. §5计算梁位移的叠加法 叠加法 逐段分析求和法  例题

  26. 求位移之和 分别计算位移   方法 分解载荷  叠加法  当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和

  27. 理论依据 （小变形） （小变形,比例极限内） 上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合 叠加法适用条件：小变形 ，比例极限内

  28.  分解梁  分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移  逐段分析求和法 在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体  求总位移

  29. 例5-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求 wB=?  例 题 解： () ()

  30. 例5-2 解： () () ()

  31. 例5-3 图示组合梁，EI=常数，求wB 与qA 解： () ()

  32. 例5-4 图示刚架，求截面C 的铅垂位移 解：

  33. 例5-5 求自由端位移d 解： 一般情况下 挠曲轴与外力作用面不重合

  34. §6简单静不定梁 静不定度与多余约束  简单静不定梁分析方法  例题

  35. 4-3=1 度 静不定  静不定度与多余约束 静不定梁支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁 静不定度＝未知支反力（力偶）数－有效平衡方程数 5-3=2 度 静不定 多余约束凡是多于维持平衡所必须的约束 静不定度＝多余约束数 多余反力与多余约束相应的支反力或支反力偶矩

  36. 算例 求梁的支反力, EI=常数  简单静不定梁分析方法 1 度静不定 选FBy为多余力 －变形协调条件 －物理方程 －补充方程 －平衡方程 综合考虑三方面

  37. 相当系统 相当系统 分析方法与步骤  判断梁的静不定度  用多余力代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－相当系统 注意: 相当系统有多种选择  计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程  由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力  通过相当系统计算内力、位移与应力等 关键－确定多余支反力 依据－综合考虑三方面

  38. 例 6-1 求支反力 解：1.问题分析 水平反力忽略不计,2多余未知力  例 题 2.解静不定

  39. 例6-2 悬臂梁AB，用短梁DG加固，试分析加固效果 解：1. 静不定分析

  40. 2. 加固效果分析（刚度） 减少39.9% 3. 加固效果分析（强度） 减少50%

  41. 例 6-3 图示杆梁结构，试求杆BC的轴力 梁截面形心的轴向位移一般忽略不计 解：

  42. 例5-4 直径为d 的圆截面梁,支座B下沉d，smax=? 解：

  43. §7梁的刚度条件与合理设计 梁的刚度条件 梁的合理刚度设计 例题

  44. 最大位移控制  梁的刚度条件 指定截面的位移控制 例如滑动轴承处:

  45.  横截面形状的合理选择 使用较小的截面面积A，获得较大惯性矩I的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面  梁的合理刚度设计  材料的合理选择 影响梁刚度的力学性能是E，为提高刚度，宜选用E较高的材料 注意：各种钢材（或各种铝合金）的E基本相同

  46. 梁跨度的合理选取 例如l 缩短20％，dmax将减少48.8% 跨度微小改变，将导致挠度显著改变

  47. q=F/l  合理安排约束与加载方式 增加约束，制作成静不定梁

  48. 例7-1 已知F=35kN，l=4m，[s] =160MPa ，[d] = l /500，E=200GPa，试选择工字钢型号。  例 题 解： 选№22a

  49. 本章结束 ！

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