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塩山幾何学を用いた ボロノイ図の解析

塩山幾何学を用いた ボロノイ図の解析. 立命館高等学校 三村　知洋 宮崎　航輔 村田　航大. ■　研究概要　 ■. 平面上の任意の図形を切り抜いた板上に塩を振りかけるときにできる塩山の稜線 この稜線は平面幾何における様々な性質を表現 塩山による幾何学を用いて、生物モデルのボロノイ図に応用 ボロノイ図を塩山で再現できることがわかった. ■　塩山を用いた幾何学とは？　■. 「塩が教える幾何学」（黒田俊郎）によって提案 様々な図形、ボロノイ図に発展 ある形の板を作ってその上に塩をかけると、どのような形の山ができるか 私たちはこれを「塩山幾何学」と呼んでいる.

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塩山幾何学を用いた ボロノイ図の解析

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Presentation Transcript

  1. 塩山幾何学を用いた ボロノイ図の解析 立命館高等学校 三村　知洋 宮崎　航輔 村田　航大

  2. ■　研究概要　 ■ • 平面上の任意の図形を切り抜いた板上に塩を振りかけるときにできる塩山の稜線 • この稜線は平面幾何における様々な性質を表現 • 塩山による幾何学を用いて、生物モデルのボロノイ図に応用 • ボロノイ図を塩山で再現できることがわかった

  3. ■　塩山を用いた幾何学とは？　■ • 「塩が教える幾何学」（黒田俊郎）によって提案 • 様々な図形、ボロノイ図に発展 • ある形の板を作ってその上に塩をかけると、どのような形の山ができるか • 私たちはこれを「塩山幾何学」と呼んでいる

  4. ■　オリジナリティ　 ■ • 様々な図形における性質を塩山で再現 • 穴を開けることでボロノイ図を再現 • 違う穴の半径を開けることで加法的ボロノイ図を再現 • 実験道具を工夫する事で時間的変化を伴う加法的ボロノイ図を再現

  5. ■　塩山を用いた幾何学とは？　■

  6. ■　ボロノイ図とは？　■ • 平面上に、いくつかの点が配置 • このとき最も距離の近い点がどこになるかによって分割してできる図をボロノイ (Voronoi) 図

  7. 塩山幾何学を用いた初等幾何の解析（1）

  8. ■　三角形　■ 角の二等分線 角の二等分線

  9. ■　四角形　■

  10. ■　五角形　■

  11. ■　凹のある多角形　■

  12. ■　凹のある多角形　■ 焦点 準線 放物線

  13. 焦点 準線 ■　凹のある多角形　■

  14. 塩山幾何学を用いた初等幾何の解析（2）

  15. ■　半円　■ 放物線

  16. ■　放物線　■

  17. ■　放物線　■ GRAPESDATA

  18. ■　楕円　■

  19. 塩山幾何学を用いた初等幾何の解析（3）

  20. ■　穴を1つ　■

  21. ■　同じ大きさの穴を2つ　■ 線分の垂直２等分線

  22. ■　円の真ん中に穴　■ 円

  23. ■　円の中心からずらす　■ CE＋BE ＝CE＋EA＋AB ＝CE＋ED＋AB ＝CD＋AB ＝（大きな円の半径） ＋（小さな円の半径） ＝一定 焦点 焦点 楕円

  24. 塩山のボロノイ図への応用

  25. ■　フローチャート　■ L(i)=SQR((X-AX(i))^2 +(Y-AY(i))^2-r(i)

  26. ■　穴の半径を同じにした場合　■ di (x) = d (x, p(i)) x = (x, y)，p(i) = (ai, bi) di (x) = 塩山での再現 di (x) = d (x, p(i)) – R

  27. ■　穴の半径を同じにした場合　■ GRAPHICDATA

  28. ■　加法的重み付きボロノイ図　■ di (x) = d (x, p(i)) – w(i) 焦点 d (x, p(i)) – w(i) = d (x, p(j)) – w(j) d (x, p(i)) – d (x, p(j)) = w(i) – w(j) = 一定 焦点 双曲線

  29. ■　加法的重み付きボロノイ図　■ GRAPHICDATA

  30. ■　距離的関数　■

  31. ■　距離的関数　■ di (x)= d (x, p(i)) – w(i, t) 距離的関数を伴う 加法的重み付きボロノイ図 y = axb（0 < b < 1）？

  32. ボロノイ図の応用例

  33. ■　学区分けとボロノイ図　■

  34. ■　細胞とボロノイ図　■ ユキノシタの表皮細胞（本校の顕微鏡で撮影）

  35. ■　分子の結晶構造　■

  36. 本研究で得られた成果と課題

  37. ■　これまでの成果　■ • 塩山の稜線のでき方は最短距離が等しい値のところにできる。 • 半径の大きさが等しい場合は、ボロノイ領域は直線で分けられボロノイ図と一致する。 • 半径の大きさを変えてそれを重みに見立てると曲線の稜線ができて、加法的重みつきボロノイ図と一致する。 • 数式的に解析した図形と実験で実際に出てきた稜線はぴったりと一致した。 • ボロノイ領域は生物や化学分野における、多くの現象を再現することができる。

  38. ■　これからの課題　■ • もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 • 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 • 加法的重み付きボロノイ図はできたので、乗法的重み付きボロノイ図も塩山で再現できないか。 • 距離的関数を伴う加法的重み付きボロノイ図の理論的裏付け。 • 任意の稜線を決め、それに合わせたように半径を自由に決定出来るようにする。

  39. ■　乗法的重みつきボロノイ図　■ 加法的重み付きボロノイ図 乗法的重み付きボロノイ図

  40. ■　これからの課題　■ • もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 • 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 • 加法的重み付きボロノイ図はできたので、乗法的重み付きボロノイ図も塩山で再現できないか。 • 距離的関数を伴う加法的重み付きボロノイ図の理論的裏付け。 • 任意の稜線を決め、それに合わせたように半径を自由に決定出来るようにする。

  41. ■　参考文献・HP　■ • 「塩が教える幾何学」　　黒田俊郎　（2000年11月25日） • 「折り紙で学ぶなわばりの幾何学」　　加藤渾一http://izumi-math.jp/K_Katou/nawabari/nawabari.htm • 「数学のいずみ」数学のいずみ編集委員会　（2001年4月25日） • (仮称)十進BASICのホームページ　　白石和夫http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/ • 「関数グラフソフト GRAPES」　　友田勝久http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

  42. Thank you for listening !

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