(H.W. and Exam. 2009) 가우스정리 를 그림을 이용하여 설명하라 .

1. (H.W. and Exam. 2009) 가우스정리를 그림을 이용하여 설명하라. 분기하학은 가우스-본네정리(Gauss-Bonnet theorem)으로 알려져 있는데 곡면의 국소적 성질을 대변하는 가우스곡률(Gaussian curvature)과 측지곡률(Geodesic curvature) 그리고 위상적 성질인 오일러수(Euler characteristic) 등이 서로 밀접한 관련이 있음을 알려주는 정리이다.

2. (위 정리에서는 삼각형 내각의 합이 180도가 될려면 조건이 필요하다. 가우스 곡률은 0이여야 하고, 측지선은 직선으로 주어져야 한다. 즉, 평면이어야 한다.) 곡면의 성질을 알려주는 2가지 기본형식이 존재한다.(1st/2nd fundamental form) 곡면의 제1기본형식은 ds^2 = E(du^2) + 2F(dudv) + G(dv)^2 이라 하고 이는 쉽게 설명하자면 곡면 위상의 임의의 곡선의 길이의 변화량이다. 제2기본형식은 L,M,N으로 나타내어 지는데 곡면 여러 곳에 곡선을 따라 길이가 일정한 나무를 심었을 때 그 나무의 끝점의 변화량을 나타낸 것이다. 결국 어떠한 곡면상에 점의 접평면에 거주하는 사람은 곡면 전체를 여행해보지 않는 한 절대 2기본형식 값들을 알지 못한다. 실제 가우스 곡률을 구하려면 제1기본량 뿐만이 아니라 제2기본량을 아는 게 굉장히 중요하다.