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DISTRIBUCIÓN NORMAL

Tema 13. DISTRIBUCIÓN NORMAL. MATEMÁTICAS A. CS II. PARÁMETROS. TEMA 13.2 * 2º B CS. El área que nos interese se calculará: Por el cálculo integral. Ocasionalmente por métodos geométricos elementales . O mediante tablas ya elaboradas para este fin. EJERCICIO_1 Sea la función:

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Presentation Transcript

  1. Tema 13 DISTRIBUCIÓN NORMAL MATEMÁTICAS A. CS II Matemáticas 2º Bachillerato CS

  2. PARÁMETROS TEMA 13.2 * 2º B CS Matemáticas 2º Bachillerato CS

  3. El área que nos interese se calculará: • Por el cálculo integral. • Ocasionalmente por métodos geométricos elementales. • O mediante tablas ya elaboradas para este fin. Matemáticas 2º Bachillerato CS

  4. EJERCICIO_1 • Sea la función: • f(x) = 1 / 4 , si x є[0, 4] • 0 , si x є [0, 4] • Comprueba que es una función de densidad. • Calcula P(1,6 ≤ x ≤ 5,2) • Área del rectángulo: • A=b.h = 4. ¼ = 1 • P(1,6 ≤ x ≤ 5,2) = (4 – 1,6). ¼ = • = 2,4. ¼ = 0,6 Pi 0,25 0 1 2 3 4 1,6 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  5. Pi 2 • EJERCICIO_2 • Sea la función: • f(x) = 2.x , si x є[0, 1] • 0 , si x є [0, 1] • Comprueba que es una función de densidad. • Calcula P(0,6 ≤ x ≤ 0,9) • Área del rectángulo: • A=b.h / 2 = 1 . 2 / 2 = 1 • Área del trapecio = P • P(0,6 ≤ x ≤ 0,9) = • = [(1,8 + 1,2) / 2 ] .(0,9 – 0,6) = • = 1,5.0,3 = 0,45 0 1 x • Calculamos las ordenadas: • f(1) = 2.1 = 2 • f(0) = 2.0 = 0 • f(0,6) = 2.0,6 = 1,2 • f(0,9) = 2.0,9 = 1,8 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  6. Calculamos las ordenadas: • f(a) = 0,33.a - 1 • f(0) = 0,33.0 – 1 = - 1 • f(3,1) = 0,33.3,1 – 1 = 0,033 • f(4,2) = 0,33.4,2 – 1 = 0,4 • Ejercicio_3 • Sea la función: • f(x) = (1/3).x - 1 , si x є[3, a] • 0 , si x є [3, a] • Hallar el valor de a para que f(x) sea una función de densidad. • Calcula P(3,1 ≤ x ≤ 4,2) • Área del triángulo = 1 • (a – 3).(a / 3 – 1) / 2 = 1 • (a – 3)2 = 6  a – 3 = 2,45  • a = 5,45 • P(3,1 ≤ x ≤ 4,2) = • [(0,4+0,033) / 2].(4,2 – 3,1)= 0,2383 Pi f(a) 0 3 6 x 3,1 4,3 5,45 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  7. Calculamos las ordenadas: • f(a) = 0,5.a - 3 • f(0) = 0,5.0 – 3 = - 3 • f(6,1) = 0,5.6,1 – 3 = 0,05 • f(6,2) = 0,5.6,2 – 3 = 0,10 • Ejercicio_4 • Sea la función: • f(x) = (1/2).x - 3 , si x є[6, a] • 0 , si x є [6, a] • Hallar el valor de a para que f(x) sea una función de densidad. • Calcula P(6,1 ≤ x ≤ 6,2) • Área del triángulo = 1 • (a – 6).(a / 2 – 3) / 2 = 1 • (a – 6)2 = 4  a – 6 = 2  a = 8 • P=Área del trapecio. • P(6,1 ≤ x ≤ 6,2) = • [(0,10+0,05) / 2].(6,2 – 6,1)= 0,0075 Pi f(a) 6 8 9 10 x 6,1 6,2 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  8. PARÁMETROS • Si X es una variable aleatoria que toma valores en el intervalo [a , b], y f(x) es su función de densidad: • MEDIA O ESPERANZA MATEMÁTICA, μ, de la variable X • b • μ = ∫ x.f(x) dx • a • Que es una medida de centralización. • LA DESVIACIÓN TÍPICA, σ, de la variable X • Que será la raíz cuadrada positiva de la varianza. • b • σ = + √ [ ∫ (x – μ)2 .f(x) dx ] • a • Que es una medida de dispersión. Matemáticas 2º Bachillerato CS

  9. Cálculo de los parámetros • EJERCICIO_1 • Sea la función de densidad: f(x) = 1 / 4 , si x є[0, 4] • 0 , si x є [0, 4] • Hallar la media y la desviación típica. • b 4 4 • μ = ∫ x.f(x) dx = ∫ x.1/4 dx = [x2 / 8] = (16 / 8) – 0 = 2 • a 0 0 • b 4 • σ = + √ [ ∫ (x – μ)2 .f(x) dx ] = √ [ ∫ (x – 2)2 .1/4 dx ] = • a 0 • 4 4 • = √ [ (1/4).∫ (x2 – 4.x + 4 ) dx ] = (1/2).√ [x3 / 3 – 4. x2 / 2 + 4.x ] = • = (1/2). √ [64/3 – 32 + 16 ] = (1/2). √ 16/3 = (4/2)/ √3 = 2√3 / 3 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  10. Cálculo de los parámetros • EJERCICIO_2 • Sea la función de densidad: f(x) = 2.x , si x є[0, 1] • 0 , si x є [0, 1] • Hallar la media y la desviación típica. • b 1 1 • μ = ∫ x.f(x) dx = ∫ x.2x dx = 2.[x3 / 3] = (2 / 3) – 0 = 2 / 3 • a 0 0 • b 1 • σ = + √ [ ∫ (x – μ)2 .f(x) dx ] = √ [ ∫ (x – 2/3)2 .2x dx ] = • a 0 • 1 1 • = √ [ 2.∫ (x2 – (4/3).x + 4/9).x dx ] = √ 2.[x4 / 4 – (4/9). x3 + (2/9). x2] = • = √ 2.[1/4 – 4/9 + 2/9] = √ 2.[9/36 – 16/36 + 8/36] = √2.(1/36)= √2 / 6 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  11. Cálculo de los parámetros • EJERCICIO_3 • Sea la función de densidad: f(x) = 2.x – 2 , si x є[1, 2] • 0 , si x є [1, 2] • Hallar la media y la desviación típica. • Media • b 2 2 • μ = ∫ x.f(x) dx = ∫ x.(2x – 2) dx = 2. ∫ (x2 – x) dx = • a 1 1 • 2 • = 2. [x3 / 3 – x2 /2 ] = 2.[(8/3 – 4/2) – (1/3 – ½)] = • 1 • = 2.[4/6 – (– 1/6)] = 2.5/6 = 10/6 = 5/3 • Desviación típica … Matemáticas 2º Bachillerato CS

  12. … EJERCICIO_3 • Sea la función de densidad: f(x) = 2.x – 2 , si x є[1, 2] • 0 , si x є [1, 2] • Hallar la media y la desviación típica. • Desviación típica • b 2 • σ = + √ [ ∫ (x – μ)2 .f(x) dx ] = √ [ ∫ (x – 5/3)2 .(2x – 2) dx ] = • a 0 • 2 • = √ [ ∫ (x2 – (10/3).x + 25/9).(2x – 2) dx ] = • 1 • 2 • = √ [2. ∫ (x3 – (10/3). x2 + (25/9).x – x2 + (10/3).x – 25/9) dx ] = • 1 • 2 • = √ [2. ∫ (x3 – (13/3). x2 + (55/9).x – 25/9) dx ] = • 1 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  13. … EJERCICIO_3 • 2 • = √ (2. [ (x4 / 4 – (13/3). x3 / 3 + (55/9).x2 / 2 – (25/9).x ] = • 1 • = √ (2. { [ (16/ 4 – (13/3). 8 / 3 + (55/9). 4 / 2 – (25/9). 2 ] – • – [ (1/ 4 – (13/3). 1/ 3 + (55/9). 1 / 2 – (25/9) ] = • = √ (2. [ 16/ 4 – 104/9 + 110/9 – 50/9 ] – • – [ 1/ 4 – 13/9 + 55/18 – 25/9 ] ) = • = √ (2. [16/ 4 – 44 / 9] – [1/ 4 – 21/18] ) = • = √ (2. [144/ 36 – 176 / 36] – [9/ 36 – 42/36] ) = • = √ (2. [ – 32 / 36] – [– 33/36] ) = • = √ (2. [ – 32 / 36 + 33/36] ) = √ (2. [ 1 / 36] ) = √2 / 6 Matemáticas 2º Bachillerato CS

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