7.4 差分方程的解法

1. 7.4 差分方程的解法 • 迭代法 • 可以利用手算或计算机递推法算，方法简便，概念清楚，但对于复杂问题直接得到一个解析式(或称闭式)解答较为困难。 • 经典法 • 和连续系统的时域分析法相似，先求齐次解和特解，再根据边界条件求待定系数，时域法求解过程比较烦，但各响应分量的物理概念比较清楚。 • 卷积和法 • 利用卷积和法求系统的零状态响应，再由齐次解求零输入响应，零状态响应与零输入响应之和即为系统的完全响应。 • Z变换法 第七章第2讲

2. 迭代法 • 令 式的 ， • 则常系数线性差分方程为 • 令上式中 ，有 • 即 是差分方程的系数与 ， ， 和 的线性组合。 第七章第2讲

3. 迭代法 • 令上式中 ，有 • 所以， 是差分方程的系数与 ， ， 和 的线性组合。 • 以此类推，通过反复迭代，就可以求出任意时刻的响应值。这种迭代方法最适合用计算机计算，下面我们用Matlab来实现这种计算。 第七章第2讲

4. 迭代法 上式中的第一项为 第二项求和与上式类似 第七章第2讲

5. 迭代法 • function y=recur(a,b,n,f,f0,y0); • % recur 是用迭代法计算差分方程的解 • % 其中 a 是差分方程左边除第一项外的系数 • % b 是差分方程右边的系数,n 计算的点数 • % f 输入信号,f0 输入信号的初始值 • % y0 系统的初始值 • % • N=length(a);y=[y0 zeros(1,length(n))]; • M=length(b)-1;f=[f0 f]; • a1=a(N:-1:1); % a 的元素反转 • b1=b(M+1:-1:1); % b 的元素反转 • for i=N+1:N+length(n), • y(i)=-a1*y(i-N:i-1)'+b1*f(i-N:i-N+M)'; • end • y=y(N+1:N+length(n)); 第七章第2讲

6. 例7.5 • 求下述差分方程的解 其中输入信号 ，初始条件 ， 。 解 Matlab程序如下： • % 计算例7.5的程序 LT7_5.m • a=[-1.5 1];b=[0 0 2]; • y0=[2 1];f0=[0 0]; • n=0:30; • f=ones(1,length(k)); • y=recur(a,b,n,f,f0,y0); • stem(n,y,'.'), • xlabel(‘k’),ylabel(‘y(k)’) 第七章第2讲

7. 差分方程的经典解法 • 全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应) • 齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）： • 特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。 • 用初始值确定系数Ci。一般情况下，n 阶方程有n个常数，可用n个初始值确定。 第七章第2讲

8. 解：(1)求齐次解，特征根为： (2)求特解：设特解为： 解得： 例 7.6 描述某线性非移变系统的差分方程为 试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应。 将yp(k)代入原差分方程，得： 第七章第2讲

9. 强迫响应 自由响应 例 7.6 (3)用初始值求常数： 差分方程的经典解法与 微分方程的经典解法类似！ 全响应为： 将初始条件代入上式，得： 解得： 故，全响应为： 第七章第2讲

10. 全响应＝零输入响应＋零状态响应 • 零输入响应的求法与齐次解一样。 i---特征根，Ci由初始值确定。 • 零状态响应的求法与解非齐次方程一样。 第七章第2讲

11. 零输入响应的一般形式 返回 • 若无重根： • 若有 d阶重根，即 • 特征根为复根： 第七章第2讲

12. 已知 例 7.7 描述某线性非移变系统的差分方程为 试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½ 时，求全响应。 解：(1)零输入响应： 代入原方程可求得：C1=1，C2=-2 第七章第2讲

13. 已知　 ，代入原方程可求得： 例 7.7 (2)零状态响应：已求出特解 (3)全响应： 零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应 第七章第2讲

14. 例 7.8 查公式 求差分方程 所描述的离散时间系统的零输入响应。 解：特征根为： 故 代入初始值： 代入初始值：解得： C1=0，C2=1 第七章第2讲

15. 离散系统的初始状态 • 离散系统初始状态的概念 • 正如连续系统中0+和0-初始值不同一样，离散系统的初始值也有两个，即零输入初始值 yzi(0)和系统的初始值 y(0) 。 • yzi(0)表示激励信号作用之前（零输入）系统的初始条件，它与系统的激励信号无关。是系统的初始储能、历史的记忆。是系统真正的初始状态。 • y(0)表示系统在有了激励信号之后系统的初始条件，它既有零输入时初始状态（初始储能），又有激励信号的贡献。 • 在离散系统中，几个初始值的关系为： y(0) = yzi(0) + yzs(0), yzs(0)表示零状态的初始值，它仅由激励信号产生。 第七章第2讲

16. 而 而 后向差分方程的初始状态 对于后向差分方程，如 当 f(k)在k = 0时刻作用于系统时，系统的初始状态为 k = -1, -2时激励为零， 两个初始值相同。 k = 0 时激励已加入系统， 两个初始值显然不相同。 当 f(k)在k = -1时刻作用于系统时，系统的初始状态为 第七章第2讲

17. 而 而 前向差分方程的初始状态 对于前向差分方程，如 当 f(k)在k = 0时刻作用于系统时，令k = -1, 0, 则分别有 这说明y(1), y(0), y(-1)与激励无关。系统的初始状态为 当 f(k)在k = -1时刻作用于系统时，令k = -2, -1, 则分别有 这说明y(0), y(-1), y(-2)与激励无关。系统的初始状态为 第七章第2讲

18. 初始状态的应用 • 在求零输入响应时，应采用零输入初始值 yzi(0)。若系统给出的初始值是 y(0)，要判断并找出 yzi(0)。 • 在求零状态响应时，所谓零状态是指系统的初始储能为零，即 yzi(0)=0，而不是y(0)=0。 • 在求全响应时，用初始条件确定常数，采用y(0)。若系统给出的初始值是yzi(0)，要先求出yzs(0)，再根据 y(0) = yzi(0) + yzs(0) 计算。 第七章第2讲

19. 解：特征根为： 故 例 7.9 查公式 求差分方程 所描述的离散时间系统的零输入响应。 题中所给的f(k)是在k = 2时刻作用于系统， 故系统的初始状态应为 y(0), y(1)， 即初始值为 yzi(0)=y(0)＝15，yzi(1)=y(1)＝9 代入初始值：C1+C2=15 ½C1+C2/3=9 解得：C1=24,C2=-9 第七章第2讲

20. 解：特征根为： 故 例 7.10 查公式 求差分方程 所描述的离散系统的零输入响应。 题中所给的f(k)是在k = 0时刻作用于系统， 故系统的初始状态应为 y(-1), y(-2)， 令原方程的k = 1: y(1)+3y(0)+2y(-1)=f(1)+f(0), 故有：y(-1)=-½ 令原方程的k = 0: y(0)+3y(-1)+2y(-2)=f(0)+f(-1), 故有：y(-2)=5/4 即初始值为 yzi(-1)=y(-1)＝-1/2，yzi(-2)=y(-2)＝5/4 代入初始值：-C1-C2/2=-1/2 C1+C2/4=5/4 解得：C1=2,C2=-3 第七章第2讲

21. 课堂练习题 求下列差分方程的零输入响应、零状态响应和全响应。 (1) (2) 第七章第2讲