Kongruencje

3. Kongruencje i ich zastosowania

4. Spis treści • Pojęcie kongruencji • Podzielność liczb całkowitych • Największy wspólny dzielnik • Największa wspólna wielokrotność • Algorytm Euklidesa • Kongruencja • Własności kongruencji • Zastosowanie kongruencji – znajdowanie dni tygodnia określonych dat z przeszłości • Zastosowanie kongruencji – równania diofantyczne • Zastosowanie kongruencji – znajdywanie reszt z dzielenia przez liczby całkowite • Zastosowanie kongruencji – wyznaczenie cech podzielności przez liczby całkowite • Zastosowanie kongruencji – wielomiany • Kilka zadań

5. Pojęcie kongruencji • Kongruencja to relacja określona w zbiorze liczb całkowitych. Kongruencja modulo n nazywana jest też przystawaniem liczb "modulo n". Spis treści

6. Kongruencja to relacja, która dzieli zbiór na klasy abstrakcji o tej samej reszcie przy dzieleniu przez określoną liczbę. Kongruencja określona jest w zbiorze liczb całkowitych i nazywana jest też przystawaniem liczb modulo n. Liczby całkowite a i b przystają modulo n, co zapisujemy: a ≡ b (mod n), jeżeli ich różnica a – b dzieli się bez reszty przez n. Równoważnie: jeśli liczby a i b dają w dzieleniu przez n taką samą resztę. Kongruencje o tym samym module można dodawać, odejmować lub mnożyć stronami. Można przenosić wyrazy z jednej strony kongruencji na drugą, zmieniając ich znaki. Obie strony kongruencji można podnosić do tej samej potęgi (o naturalnym wykładniku). Nie można natomiast dzielić stronami kongruencji. cofnij Spis treści

7. Własności kongruencji: • zwrotność: dla dowolnej liczby całkowitej a: a ≡ a (mod n). • symetryczność: jeżeli dla liczb całkowitych a i b: a ≡ b (mod n), to: b ≡ a (mod n). • przechodniość: jeśli dla liczb całkowitych a, b i c: a ≡ b (mod n) i b ≡ c (mod n), to: a ≡ c (mod n). • kongruencja sumy: jeżeli a ≡ p (mod n) i b ≡ q (mod n), to (a+b) ≡ (p+q) (mod n) • kongruencja iloczynu: jeżeli a ≡ p (mod n) i b ≡ q (mod n), to a · b ≡ p · q (mod n) cofnij Spis treści

8. PODZIELNOŚĆ LICZB CAŁKOWITYCH Liczba m jest podzielna przez n, jeżeli iloraz m/n jest liczbą całkowitą. Liczbę n nazywamy w taki przypadku dzielnikiem liczby m. cofnij Spis treści

9. Liczby podzielne przez 2 nazywamy liczbami parzystymi, natomiast liczby niepodzielne przez 2 nazywamy liczbami nieparzystymi. Jeżeli liczba n dzieli się bez reszty przez m, to liczbę n nazywamy wielokrotnością liczby m. Wielokrotnościami liczby 12 są: 12,24,36,48,60, ... ponieważ są podzielne przez 12. Utwórz zbiór wszystkich podzielników liczby 342 z zakresu od 1 do 9. Ponieważ każda liczba dzieli się przez 1, więc pierwszym elementem zbioru będzie liczba 1. Ostatnią cyfrą liczby 342 jest 2, a więc 342 dzieli się przez 2. Suma cyfr 3 + 4 + 2 = 9, więc liczba ta dzieli się przez 3 i 9. Liczba 42 nie dzieli się przez 4, a więc 4 nie jest dzielnikiem liczby 342. Liczba 342 nie dzieli się przez 5, ponieważ ostatnią cyfrą nie jest 0 ani 5. Ponieważ liczba 342 dzieli się przez 2 i 3, dzieli się także przez 6. Aby sprawdzić podzielność przez 7, należy wykonać dzielenie pisemne. Przekonujemy się w ten sposób, że 7 nie jest podzielnikiem liczby 342. Aby sprawdzić podzielność przez 8 można podzielić 342 przez 2 i otrzymamy wówczas liczbę 171 i sprawdzić podzielność 171 przez 4.Ponieważ 71 nie dzieli się przez 4, liczba 242 nie dzieli się przez 8.Odpowiedź:{1,2,3,6,9} cofnij Spis treści

10. Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb jest to największa spośród takich liczb, które są jednocześnie dzielnikami obu liczb. Podzielnikami liczb 12 i 18 są liczby: 1,2,3 oraz 6. Największą z tych liczb jest 6, a więc jest to największy wspólny dzielnik. Zapisujemy to w następujący sposób: NWD(12,18)=6. NWD dwóch liczb naturalnych znajdujemy wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. NWD jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych wspólnych dla obu liczb. cofnij Spis treści

11. A oto inny : Znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 999 i 3108: NWD(999,3108)=3x37=11 Zatem największy dzielnik liczb 999 i 3108 to 111. Można sprawdzić, że 999:111=9 i 3108:111=28 cofnij Spis treści

12. Największa wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb jest to najmniejsza spośród takich liczb, które są jednocześnie wielokrotnościami obu liczb. Wielokrotnościami liczby 4 są liczby: 8,12,16,20,24,28,... Wielokrotnościami liczby 3 są liczby: 6,9,12,15,18,21,24,... Liczba 12,24,... są wspólnymi wielokrotnościami liczb 3 i 4, a 12 jest z nich wielokrotnością najmniejszą.Zapisujemy to w następujący sposób: NWW(3,4) = 12. NWW dwóch liczb naturalnych znajdujemy wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. NWW jest równe iloczynowi jednej z danych liczb i wszystkich czynników pierwszych rozkładu drugiej liczby, które nie występowały w rozkładzie na czynniki pierwszej liczby. Ilustruje to poniższa animacja: cofnij Spis treści

13. A oto inny : Znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 999 i 3108: NWW(999,3108)= 999x2x2x7 = 3108x3x3 = 27972 cofnij Spis treści

14. Algorytm Euklidesa Euklides opracował prosty i efektywny algorytm wyznaczania NWD (największy wspólny dzielnik). Dla danych dwóch liczb a i b polega on na odejmowaniu od większej mniejszej. Gdy liczby są równe otrzymamy NWD. max{a,b}:=max{a,b}-min{a,b} gdzie max{a,b}, min{a,b} oznaczają odpowiednio największy i najmniejszą liczbę ze zbioru {a,b}. Najlepiej zrozumieć to na przykładach: cofnij Spis treści

15. cofnij Spis treści

16. Liczby całkowite – intuicyjnie definiując są to: liczby naturalne dodatnie oraz liczby przeciwne do nich a także liczba zero. Liczby całkowite są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych i tym samym liczb rzeczywistych, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne. Kongruencja a. przystawanie – relacja równoważności określona w danym systemie algebraicznym. Jedną z najbardziej znanych kongruencji jest przystawanie liczb całkowitych. kongruencja [łac.] (przystawanie liczb), mat. pojęcie z zakresu teorii liczb: liczby całkowite a i b pozostają w k. (przystają) modulo m, jeżeli ich różnica a – b dzieli się przez m, co zapisuje się a ≡ b (mod m). Przystawanie liczb całkowitych

17. Zastosowanie kongruencji Znajdowanie dni tygodnia określonych dat z przeszłości – Maciej Bryński Określenie: a b(mod m) () m|(a − b). To jest relacja równoważności w Z. Kongruencje o tym samym module można dodawać stronami, odejmować stronami i mnożyć stronami. Jeżeli d jest wspólnym dzielnikiem liczb a, b, m oraz a ≡ b(mod m), to Zajmiemy sie odpowiedzią na pytanie, w jakim dniu tygodnia miało miejsce pewne wydarzenie. Ponumerujmy dni tygodnia: 1 – poniedziałek 2 – wtorek 3 – środa 4 – czwartek 5 – piątek 6 – sobota 0 _ 7 – niedziela Po upływie n dni od danej daty wypada dzień tygodnia, którego numer przystaje do d + n modulo 7. cofnij Spis treści

18. Znajdowanie dni tygodnia określonych dat z przeszłości Cd O tym, co powiedzieć w tym wystąpieniu, zacząłem myśleć w czwartek 17 września br. Tego dnia przypadała 70-ta rocznica wkroczenia wojsk sowieckich do Polski. W jakim dniu tygodnia miało miejsce to wydarzenie ? Rok zwykły ma 365 dni, przy czym 365 = 350 + 14 + 1, wiec 365 _ 1 (mod 7). Wynika stad, ze po upływie roku zwykłego wypada dzień tygodnia o 1 (modulo 7) dalszy, niż przed rokiem. Rok przestępny ma o jeden dzień więcej, niż rok zwykły, wiec po upływie roku przestępnego numer dnia tygodnia wzrasta o 2 (modulo 7). Od tragicznej daty 17 września 1939 do czwartku 17 września 2009 r. minęło 70 lat, w tym 18 lat przestępnych (przed 10 laty była 60 - ta rocznica, 60 : 4 = 15, wiec do 1999 minęło 15 lat przestępnych, a potem jeszcze były lata przestępne 2000, 2004, 2008). Zatem numer n interesującego nas dnia spełnia kongruencję Stad n −14 (mod 7). Ta tragiczna data wypadała w niedzielę. Przy sięganiu do dat znacznie wcześniejszych trzeba uwzględnić fakt, ze w roku 1582 obowiązujący wcześniej kalendarz juliański został zastąpiony przez papieża Grzegorza XIII kalendarzem, który od jego imienia nosi nazwę gregoriańskiego. W kalendarzu juliańskim każdy rok o numerze podzielnym przez 4 był przestępny i miał 366 dni, pozostałe lata były zwykłe i miały po 365 dni. Kalendarz gregoriański wprowadził następujące wyjątki od tej zasady: rok o numerze podzielnym przez 100, ale nie przez 400 jest rokiem zwykłym. Dotychczas spośród lat o numerach podzielnych przez 4 latami zwykłymi były następujące trzy: 1700, 1800, 1900. Ponadto pominięto w kalendarzu 10 dat od 5 do 14 października 1582 r. cofnij Spis treści

19. Znajdowanie dni tygodnia określonych dat z przeszłości Cd W jakim dniu tygodnia odbyła sie bitwa pod Grunwaldem? Było to 15 lipca 1410 r. Można sprawdzić w kalendarzu, że 15 lipca 2009 r. wypadł w środę. W przyszłym roku dzień ten wypadnie więc w czwartek i Bedzie to okrągła 600 -tna rocznica bitwy. Gdyby nie poprawki gregoriańskie, moglibyśmy napisać kongruencję Po uwzględnieniu 10 usuniętych dat i istnieniu trzech numerów 1700, 1800, 1900 lat, które nie są przestępne, mamy jednak tj.n − 733 (mod 7). Ponieważ −733 = −700 − 35 + 2, wiec n 2 (mod 7), a zatem bitwa pod Grunwaldem rozpoczęła się we wtorek. n 4 − 600 − 150 (mod 7). n 4 − 600 − 150 + 10 + 3 (mod 7) cofnij Spis treści

20. Znajdowanie dni tygodnia określonych dat z przeszłości Cd W każdym roku 13-ty dzień pewnego miesiąca (co najmniej jednego) wypada w piątek (dzień feralny). Oczywiście to, w jakim dniu tygodnia wypadnie 13-ty dzień miesiąca zależy od tego, w jakim dniu był początek tego miesiąca. Wystarczy więc stwierdzić, ze numery dni tygodnia pierwszych dni kolejnych miesięcy wyczerpują wszystkie liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Przyjmijmy dla uproszczenia, ze 1 stycznia wypadł w poniedziałek. Jeśli rozważamy rok zwykły, to 1 + 31 4 (mod 7), wiec 1 lutego jest w czwartek, 4 + 28 4 (mod 7), wiec 1 marca jest w czwartek, 4 + 31 7 (mod 7), wiec 1 kwietnia jest w niedziele, 7 + 30 2 (mod 7), wiec 1 maja jest we wtorek, 2 + 31 5 (mod 7), wiec 1 czerwca jest w piątek, 5 + 30 7 (mod 7), wiec 1 lipca jest w niedziele, 7 + 31 3 (mod 7), wiec 1 sierpnia jest w środę, 3 + 31 6 (mod 7), wiec 1 września jest w sobotę, 6 + 30 1 (mod 7), wiec 1 października jest w poniedziałek i w ten sposób poszczególne miesiące zaczynają sie od każdego z dni tygodnia. Jeśli natomiast rok jest przestępny, to przyjmując, ze 1 stycznia jest w poniedziałek, mamy podobnie: 1 + 31 4 (mod 7), wiec 1 lutego jest w czwartek, 4 + 29 5 (mod 7), wiec 1 marca jest w piątek, 5 + 31 1 (mod 7), wiec 1 kwietnia jest w poniedziałek, 1 + 30 3 (mod 7), wiec 1 maja jest w środę, 3 + 31 6 (mod 7), wiec 1 czerwca jest w sobotę, 6 + 30 1 (mod 7), wiec 1 lipca jest w poniedziałek, 1 + 31 4 (mod 7), wiec 1 sierpnia jest w czwartek, 4 + 31 7 (mod 7), wiec 1 września jest w niedziele, 7 + 30 2 (mod 7), wiec 1 października jest we wtorek i znów otrzymaliśmy wszystkie dni tygodnia. cofnij Spis treści

21. Zastosowanie kongruencji Równania diofantyczne Jednym z podstawowym problemów teorii równań diofantycznychjest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni. Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele? Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussateoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb "modulo n": liczby a i b przystają modulo n, jeżeli ich różnica a-b dzieli się bez reszty przez n, co zapisuje się: a ≡ b (mod n). cofnij Spis treści

22. Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa interesowały rozwiązania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: x2 + y2 = z2. Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),.... Rozwiązania nie będące wielokrotnościami innych rozwiązań to tzw. "rozwiązania właściwe" lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa. Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych (x, y, z) można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa: x = k2 − l2, y = 2kl, z = k2 + l2; gdzie k, l to liczby naturalne, przy czym k > l. Jeśli k i l są względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe. Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako Re(z), Im(z), |z|, gdzie z jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej, i o całkowitym module |z|. Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne. Równania diofantyczne - cd cofnij

23. Zastosowanie kongruencji Znajdywanie reszt z dzielenia przez liczby całkowite • Chińskie twierdzenie o resztachmówi, że układ kongruencji: • ... • (gdzie są dowolnymi liczbami całkowitymi, a to liczby parami względnie • pierwsze) spełnia dokładnie jedna liczba . . Algorytm rozwiązywania układu kongruencji Istnieje algorytm wyliczania x na podstawie takiego układu równań. Mianowicie, niech oraz , wtedy na podstawie założenia ni oraz Mi są względnie pierwsze, tzn. korzystając z rozszerzonego algorytmu Euklidesa istnieją takie , że fini + giMi = 1. Niech ei = giMi. Wówczas oraz dla . Wtedy x zdefiniowany wzorem spełnia powyższy układ kongruencji, jest to jedno z rozwiązań - pozostałe różnią się o wielokrotność M. cofnij Spis treści

24. Znajdywanie reszt z dzielenia przez liczby całkowite • Mamy układ: • Używając metody generowania kolejnych wielokrotności (która jest mało wydajnym algorytmem, aczkolwiek prawdopodobnie najlepszym do liczenia na kartce): • Ogólne rozwiązanie pierwszego równania to 3 + 4i • Znajdujemy najmniejsze i, takie że x = 3 + 4i spełnia drugie równanie: • 3 (0), 7 (1), 11 (2), 15 (3), 19 (4) • Najmniejsze takie i to 4 • Z dwóch pierwszych równań otrzymujemy zatem • Ogólne rozwiązanie dwóch pierwszych równań to • Znajdujemy najmniejsze j, takie że x = 19 + 20j spełnia trzecie równanie: • 19 (0), 39 (1), 59 (2), 79 (3), 99 (4) • Czyli najmniejsze rozwiązanie to 99, a ogólne cofnij Spis treści

25. Zastosowanie kongruencji Cechy podzielności cofnij Spis treści

26. Wielomian – w matematyce wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym. Wielomiany, ze względu na swoją prostotę i dobrze poznane własności, są używane w wielu działach matematyki. Przykładowo w analizie matematycznej pomocne jest przedstawienie funkcji danego rodzaju w postaci ciągu wielomianów (bądź szeregu), w algebrze są one centralnym punktem zainteresowań w teorii Galois, a stąd służą w geometrii jako środek dowodowy przy wykazywaniu konstruowalności różnych obiektów; służą też kodowaniu własności rozmaitych obiektów (np. wielomian charakterystyczny przekształcenia liniowego). Wielomiany Zastosowanie kongruencji

27. Zad. 1: Wielomian W(x) = x3 – (p + q)x2 – (p – q)x + 3 jest podzielny przez wielomian P(x) = x2 – 4x + 3. Znajdź p i q oraz oblicz pierwiastki wielomianu W(x). Odp.: p = 2, q = 1. Pierwiastkami wielomianu W(x) są liczby –1, 1 i 3. Zad. 2: (profil matematyczno-fizyczny) Dwa różne pierwiastki wielomianu Q(x) = x2 + ax + b są również pierwiastkami wielomianu W(x) = x4 + ax3 + 5x2 – 5x – b. a) Znajdź współczynniki a i b, a następnie rozwiąż nierówność W(x) > 0. *b) Wykaż, Se dla każdej liczby naturalnej n liczba W(n) jest podzielna przez 6. Odp.: a) a = –1, b = 0, xÎ(–Y;0) E (1;+Y) lub a = 5, b = 6, xÎ(–Y;–3) E (–2;–1) E (1;+Y). Przykładowezadania z badaniem własności wielomianów spis treści cofnij

28. Zad. 3: (profil matematyczno-fizyczny) • Dany jest wielomian W(x) = x3 + (m – 6)x2 + (m – 7)x. • a) Dla jakich wartości parametru m pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny? • *b) Niech m będzie najmniejszą liczbą spełniającą warunek podany w punkcie a). Rozwiąż • równanie W(x) – 2 = x3 – x2 – x + [x], gdzie [x] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą • od x. • Odp.: a) m = 6, m = 15 • 2 lub m = 9; b) x = –1, x = 3 lub x = 2.

29. 1. Udowodnić, że liczba 106 - 1 jest podzielna przez 13. 2. Udowodnić, że liczba 108 + 1 jest podzielna przez 17. 3. Udowodnić, że liczba 109 + 1 jest podzielna przez 19. 4. Udowodnić, że jeśli 3 - n, to 3 | n4 + n2 + 1. 5. Udowodnić, że 3 | 22n - 1 dla każdej liczby naturalnej n. Zadania z wykorzystaniem kongruencji

30. 6. Rozwiązać następujące kongruencje. (a) 3x 4 (mod 7) (b) 27x 25 (mod 256) (c) 2x 37 (mod 21) (d) 10x 15 (mod 35) (e) 3x 7 (mod 18) 7. Rozwiązać następujące układy kongruencji. (a) x 3 (mod 4), x 2 (mod 7), x 1 (mod 9) (b) x 2 (mod 3), x 3 (mod 5), x 1 (mod 8), x 9 (mod 11) (c) 2x 1 (mod 3), 3x 1 (mod 4), 5x 4 (mod 7) 8. W koszu znajduje sie n jajek. Jeśli wyjmujemy z kosza po 2 (3, 4, 5, 6 odpowiednio) jajka, to na koniec zostaje w koszu 1 (2, 3, 4, 5 odpowiednio) jajko. Jeśli wyjmujemy z kosza po 7 jajek, to na koniec nie zostanie nam ani jedno jako. Jaka jest najmniejsza możliwa wartość n? cofnij spis treści

31. BIBLIOGRAFIA RÓŻNE STRONY WWW DZIĘKUJEMY