Congrès Dédra -MATH- isons Louvain-la-Neuve

1. CongrèsDédra-MATH-isonsLouvain-la-Neuve Présentation Laurent Annaert, François Rottenberg et Alexis Dubois pour le Collège Saint-Michel (Bruxelles) Sous la direction de M. Bolly

2. CONTENU • Introduction et présentation du problème • Premiers calculs et premières observations • Etude de la suite • Méthodes du point fixe • Preuve de la convergence de la suite • Conclusion

3. 1.Introduction et présentation du problème Avec la touche ^ et un nombre a, on peut fabriquer une suite de nombres de la forme ... Croyez-nous, en prenant différentes valeurs positives de a, on observe des choses étonnantes!

4. 2. Premiers calculs et premières observations • Essais avec quelques valeurs entières :

5. Essais avec valeurs décimales

6. Approximation d’une valeur de a limite :

7. Conjectures • Valeur pivot entre 1,4 et 1,5 • Si o < a < 1,44.. Convergence vers une constante • Si a > 1,44.. Divergence, suite tendant vers l’infini

8. 3.Etude de la suite : 3.1. première approche : • Ecriture générale de la suite : • Condition de convergence : • D’où, équation du type :

9. Etude graphique de l’équation : A) Cas trivial : a =1, une solution : x =1

10. B) Pour 0 < a < 1 : exponentielle décroissante, une solution

11. C) Pour 1 < a < 1,44 : exponentielle croissante, deux solutions

12. D)Pour a = 1,44 : exponentielle croissante tangente à x, une solution

13. E) Pour a > 1,44, exponentielle croissante, aucune solution

14. Premières conclusions • Si 0 < a < 1,44.., une solution à l’équation. • Si 1 < a < 1,44.., 2 solutions. • Si a =1,44…, une solution. • Si a > 1,44.., aucune solution. Donc, aucune convergence possible pour un a supérieur au point pivot. NB : 1 solution à l’équation est une condition nécessaire mais pas suffisante de la convergence

15. 3.2. Etudes périphériques

16. 1) Premier problème auxiliaire :

17. Conclusion de cette étude de fonction • Abscisse : solutions de l’équation. • Ordonnée : valeurs de a possibles pour qu’il y ait une ou plusieurs solutions. • Valeur du point pivot = maximum de la fonction = • Si 0 < a < , il y a toujours au moins une solution (soit une en bleu, soit deux en mauve soit 1 en rouge sur le graphe). • Si a est plus grand que le point pivot, aucune solution.

18. Vérification de la valeur du point pivot : • Lorsque a = , tangent au graphe de x

19. Nous avons donc une double équation :

20. 2) Second problème auxiliaire : Si 0 < a < 1 :

21. Si 1 < a < :

22. Si a = :

23. Si < a :

24. 4. Méthode du point fixe • Formule générale : • ex : racines de : • Simple factorisation ne peut fonctionner car • elle nécessite une racine. •  Méthode du point fixe :

25. On approxime la racine à 0,7 et on remplace dans l’équation : • Et on recommence l’opération avec le résultat obtenu : Différence entre chaque terme de la suite est de plus en plus petite :  On se rapproche de la racine

26. Ne fonctionne pas dans tous les cas de figure ! L’algorithme doit converger ! • Si l’algorithme diverge, la méthode nous éloignera de la racine. Ex : si l’équation était :  On s’éloigne de la racine, l’algorithme diverge.

27. ← Suite qui diverge. ← Suite qui piétine. En effectuant la méthode du point fixe, on tourne en rond.

28. Pour que la suite converge, il faut s’assurer qu’aux alentours de la racine : • Par ailleurs, la méthode du point fixe peut expliquer un autre phénomène de la suite : • Le fait que la suite oscille entre 0 et 1 et le fait que la suite est monotone entre 1 et .

31. 5.Preuve de convergence de la suite • Par la méthode du point fixe, convergence si : • Si , la convergenceest facile à prouver.

32. Si 0 < a < 1 : • toujours vérifié. • toujours vérifié ?

33. La suite ne converge donc pas si • Attention, cela ne signifie pas que pour ces valeurs de a, n’a pas de solutions • Cela signifie que la suite oscille puis piétine et donc ne se stabilise jamais vers une valeur. Ex: si a = 0,05 Divergence. Pourtant, 0,3502 vérifie l’équation :

34. 6)Conclusion : • Si , la suite diverge puis piétine. • Si , converge et est oscillante. • Si , la suite converge. • Si , la suite converge et est monotone. • Si , la suite diverge.

35. Sources • Calculus « A complete course », Robert A. Adams, sixthedition; • NUMERICAL METHODS WITH FORTRAN IV CASE STUDIES, William S.Dorn, Daniel D.McCracken; • Syllabi de M. Bolly, professeur à Saint-Michel; • Cours de Mme Lambotte, professeur à Saint-Michel.