FIFEI-06 Gravitační a elektrostatické působení II

1. FIFEI-06 Gravitační a elektrostatické působení II http://stein.upce.cz/msfei14.html http://stein.upce.cz/fei/fIfei_06.html Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029

2. Hlavní body • Obecné analogie gravitačního a elektrického pole • Souvislost potenciální energie a síly a potenciálu a intenzity • Gradient • Ukázky řešení typických problémů • Gravitační a tíhová zrychlení, tíha • Pohyb hmotných těles v gravitačním poli • Použití potenciální energie

3. Konzervativní pole • Řada vlastností gravitačního a elektrostatického pole je analogická, ale gravitační pole se nedá odstínit. • Gravitační pole pro hmotné částice, podobně jako elektrostatické pole pro částice nabité, jsou příkladem konzervativních polí. Jsou definovány tak, že je nich celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolnéuzavřené křivce rovna nule.

4. Existence potenciální energie • Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli (nebo hmotné částice v poli gravitačním) z bodu A do bodu B, nezávisínacestě, ale pouze na jisté skalárnívlastnosti částice v těchto dvou bodech. • Tato vlastnost se nazývá potenciální energie Ep.

5. Existence potenciálu • Potenciální energii lze dále napsat jako součin vlastnosti částice, náboje nebo hmotnosti a jisté skalárnívlastnostipole v těchto dvou bodech. • Tato vlastnost se nazývá elektrický potenciál enebo gravitačnípotenciál g.

6. Práce v gravitačním poli • Přesune-li například nějaký vnější činitel částici s hmotností m v gravitačním poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :

7. Práce v elektrickém poli • Přesune-li například nějaký vnější činitel částici s nábojem q v elektrostatickém poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :

8. Potenciál shrnutí I • Pro potenciálníenergii částice obecně platí : • Vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci,zvýší tím její potenciálníenergiiEpdefinovanou podle druhu pole :

9. Potenciál shrnutí II • Ve většině praktických případů nás zajímá rozdílpotenciálů dvou míst. U elektrického pole o něm hovoříme jako o napětíU : UAB (B)-(A) • Pomocí napětí je vykonaná práce : W(A->B)=q UAB

10. Potenciál shrnutí III • Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité částici tedy platí : W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUAB • Je důležité si uvědomit principiální rozdíly : • Mezi potenciálem, což je vlastnost pole, potenciálníenergií částice v poli a napětím. • Mezi prací vykonanou vnějšímčinitelem nebo polem

11. Důsledky existence potenciálu • Díky existenci potenciálu je možné přejít od popisu příslušného pole pomocí vektorů intenzit kpopisupomocí skalárních potenciálů • Stačí nám jen třetina informací • Superpozice vede na prostý aritmetický součet • Některé výrazy lépe konvergují

12. Elektrické jednotky • Jednotkou potenciálui napětí Uje1 Volt. • [ ] = [Ep/q] => V = J/C • [E] = [/d] = V/m • [] = [k q/r] = V => [k] = Vm/C => [0]=CV-1m-1

13. Obecný vztah • Obecný vztah je analogický u elektrického i gravitačního pole: • Gradientskalární funkcefv určitém bodě je vektor : • Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu funkce f. • Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f, kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovouvzdálenost.

14. Gravitační pole v blízkosti Země I • Gravitační pole v těsné blízkosti Země lze pro zjednodušení charakterizovat intenzitou. Její velikost nazýváme gravitačnímzrychlením : • Po korekcích gravitačního zrychlení ag = 9.83 ms-2 na rotaciZemě, dostáváme měřitelné tíhovézrychlení. Jeho střední hodnota je g = 9.81 ms-2. • Na nízkých drahách družic ~100 km je gpodobné.

15. Gravitační pole v blízkosti Země II • Ve vztahu vystupuje součinM. Gravitační konstanta  se musí určit z nezávislého měření v laboratoři. • Dostatečně jednoduše a citlivě měřit lze například na torzníchvahách. Díky tomu se v laboratoři ‘váží‘ nebeská tělesa. • Tíhové zrychlení vykazuje drobné odchylky hlavně v důsledku lokálních nehomogenit hmotnosti povrchu Země. Toho se využívá při geologickém průzkumu.

16. Gravitační pole v blízkosti Země III • Je-li již známá lze vesmírná tělesa vážit z pohybu jejich oběžnic. Zemi tedy z z pohybu Měsíce, ale též z gravitačního zrychlení. • Příklad : Určete M a M z  a g.

17. Potenciál I • Potenciál v jistém bodě centrosymetrického gravitačního pole získáme rozdělením potenciální energie na vlastnost pole a vlastnost částice : • Potenciál v kalibraci C =0 :

18. Potenciál II • Obecně je pohodlnější popisovat gravitační pole pomocí potenciálu, ale na jeho základě je nutné umět vypočítat intenzitu a sílu : • V centrosymetrickém případě tedy :

19. Zákon zachování energie I • Prácedodaná do systému se rovná přírůstku jeho celkové energie, který je roven součtu přírůstku kinetické a přírůstku potenciální energie. • Jak se přírůstky konkrétně rozdělí závisí na dalších podmínkách problému. Je-li prácekladná může se kinetická energie i snížit, ale její pokles musí být vykompenzován odpovídajícím vzrůstemenergiepotenciální

20. Zákon zachování energie II • Je-li práce dodaná do systému nulovázachovává se celková energie, tedy součet energie kinetické a potenciální. (Zatím uvažujeme jen tyto dva druhy energie). • Jeden druh energie se ale může měnit v druhý. • V těsné blízkosti Země :

21. Pohyb satelitů I • Obecně se tělesa otáčejí kolem společnéhotěžiště. • Je-li satelit podstatnělehčí než centrální těleso lze společné těžiště ztotožnit s těžištěm centrálního tělesa. • Uvažujme pro jednoduchost kruhovou dráhu. V prvním přiblížení je dostředivá síla realizována silou gravitační a platí :

22. Pohyb satelitů II • Můžeme například vyjádřit rychlost oběhu : • Nyní chápeme 3. Keplerův zákon pro satelity obíhající stejné centrální těleso:

23. Pohyb satelitů III • Jsou-li hmotnosti obíhajícího a obíhaného tělesa srovnatelné, musí se uvažovat pohyb kolem jejich společného těžiště. Čili dochází i k pohybu ‘centrálního’ tělesa. • Takto lze vysvětlit příliv a odliv nebo odhalit exoplanety u vzdálených hvězd. • Používá se přímého pozorování a moderněji spektroskopických metod (1780, 818 letos!). • http://en.wikipedia.org/wiki/Discoveries_of_exoplanets

24. 1. Kosmická rychlost • 1. Kosmická rychlost je rychlost oběhu po kruhové dráze těsně u povrchu vesmírného tělesa. • Tedy zakřivení dráhy vodorovného vrhu akorát kopíruje povrch tělesa. • Takový pohyb je možný pouze, když těleso nemá atmosféru, třeba u Měsíce. • V případě Země se jedná o hodnotu fiktivní, těleso by bylo atmosférou zbržděno a shořelo by:

25. 2. Kosmická rychlost • 2. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo z dosahu Země do nekonečna • Opět nesmí dojít ke ztrátám průletem atmosférou • Rozdíl od rychlosti potřebné k dosažení např. Měsíce je ale nepatrný.

26. 3. Kosmická rychlost • 3. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo ze Země z dosahu Slunce do nekonečna • Úniková rychlost z oběžné dráhy Země je • Ms je hmotnost Slunce, rsz je poloměr dráhy Země. • Při vypuštění sondy ve směru obíhání Země lze ale odečíst obvodovou rychlost Země, tedy cca30 km/s.

27. Proč shořela Columbie I • Celkováenergie satelitu : • Kde jsme použili dříve odvozený vztah pro rychlost satelitu:

28. Proč shořela Columbie II • Podle předchozího se celková energie satelitu musí zvětšit dodáme-li práci. Přitom : • se zvětší její vzdálenost od Země • její rychlost se zmenší (!) • Když naopak satelit vstupuje do atmosféry a je bržděn atmosférou nebo svými motory, klesá jeho výška, ale rosterychlost. Musí tedy (v určité fázi letu, například než může letět jako letadlo nebo být bržděno padáky) vydržet obrovskéteploty.

29. Moderní teorie gravitace • Albert Einstein se zabýval ekvivalencí gravitační a setrvačnéhmotnosti na ní a na předpokladu, že fyzikální zákony musí v každé (i neinerciální) soustavě být stejné vybudoval obecnouteoriirelativity. • Podle ní hmotnostzakřivuječasoprostor ve svém okolí. • Experimentálními potvrzeními této teorie jsou například ohyb elektromagnetických vln v blízkosti velkých těles (Slunce, Jupiter) a stáčeníroviny oběhu Merkura.

30. Skalární součin Ať DefiniceI (ve složkách) • Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

31. Příklad - potenciál I • Spočítejme práci, kteroumusíme(jako vnější činitel)dodatpro přemístění hmotnosti m z rA do rB vcentrálnímpolijisté hmotnosti M. • Závisí jen na vzdálenostech od tělesa a práci musímedodávatjen přizvětšovánír, protožepůsobímeprotipřitažlivésíle.

32. Příklad - potenciál II Tuto práci chápeme jako přírůstekpotenciálníenergie srovnáním

33. Příklad - potenciál III • Práce dodanátělesu vnějším činitelemzvýšíjehopotenciální energii.Tu obecně definujeme včetně integrační konstanty C, danékalibrací: • Často předpokládáme, žepotenciálníenergievnekonečnujenulová, což odpovídá C=0 : ^

34. Gradient I Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce fve směrech jednotlivých souřadných os . Je používán k odhaduzměny funkce fprovedeme-li elementární posun .

35. Gradient II Změna je druhý člen. Je to skalárnísoučin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu. Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f ! ^

36. První kosmická rychlost pro Měsíc Takové rychlosti může dosáhnout speciální střela a rozhodně také molekuly plynu, který by tvořil atmosféru Měsíce. Proto Měsíc atmosféru nemá a ani by se ji tam nepodařilo vytvořit. ^

37. Relativistické efekty při urychlování elektronu • Relativistické efekty se začínají výrazněji projevovat, dosáhne-li rychlost c/10= 3 107 ms-2. • Jaké urychlovací napětí je potřebné k dosažení této rychlosti ? • Ze zachování energie : mv2/2 = q U U=mv2/2e=9 1014/4 1011= 2.5 kV ! ^

38. Dvě1g Fe kuličky, 1 mod sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj? Přebytečný náboj : Celkový a přebytečný /celkový náboj : ^

39. Korekce g na rotaci Země I Srovnejme tíhu tělesa na pólu a na rovníku : ^

40. Korekce g na rotaci Země II Přesný výpočet vyžaduje vzít v úvahu zploštění Země, na rovníku cca 21 km. V zeměpisných šířkách mezi rovníkem a pólem je nutno vzít v úvahu i fakt, že odstředivé zrychlení působí kolmo k ose otáčení, takže výsledné tíhové zrychlení nesměřuje přesně do středu Země. ^

41. Gravitační zrychlení ve výšce 200 km Poměr gravitačního zrychlení ve výšce 200 km, kde již létají některé družice je : (Rz/(Rz+200))2= 94 % Je tedy téměř stejné jako na Zemi, takže například raketa, která vynáší družici na nízkou oběžnou dráhu se ze zemského gravitačního pole nijak výrazně nevymaní. ^