نمونه ‌ گیری و برآوردها

1. نمونه‌گیری و برآوردها موسوی ندوشنی بهار 1384 دانشگاه صنعت آب و برق

2. نمونه‌گیری • برای برآورد پارامترهای جامعه، از نمونه جامعه استفاده می‌کنیم (چون جامعه نامتناهی است) نمونه باید معرف جامعه باشد. • تعریف: هر تابعی از عنصرهای نمونه تصادفی که شامل پارامترهای مجهول نباشد را یک آماره گویند. • مثال: اگر X1,X2,...,Xn یک نمونه تصادفی از متغیر تصادفی X باشند، توابع آماره هستند. دانشگاه صنعت آب و برق

3. بررسی چند آماره مفید • تعریف: اگر X1,X2,...,Xnیک نمونه تصادفی از متغیر X باشد، r امین گشتاور نمونه حول مبدا به صورت زیر تعریف می‌شود. • اگر r=1 باشد، میانگین نمونه بدست می‌آید. • همچنین r امین گشتاور نمونه حول میانگین بوسیله Mr نشان داده می‌شود. • اگر r=2 باشد. واریانس نمونه بدست می‌آید. دانشگاه صنعت آب و برق

4. امید ریاضی و واریانس میانگین نمونه • امید ریاضی • واریانس دانشگاه صنعت آب و برق

5. یک برآوردگر خوب • برای خوب بودن یک برآوردگر شرایط زیر باید در نظر گرفته شود. • نااریب باشد. • کاراترین باشد • توزیع آن شناخته شده باشد • برآوردگر نااریب unbiased estimator • برآوردگر ^را برآوردگر نااریبی برای  گوییم، اگر داشته باشیم که: • مثال: در مورد واریانس شرط نااریبی وقتی برقرار است که مخرج آن n-1 باشد. دانشگاه صنعت آب و برق

6. کاراترین برآوردگر • باید توجه داشت که برآوردگر نااریب منحصر بفرد نیست. مانند: • یا اینکه در توزیع نرمال میانگین، میانه و نما برآوردگر نااریب برای  می‌باشند. • تعریف: بین برآوردگرهای نااریب یک پارامتر مانند ، برآوردگری که کمترین واریانس را داشته باشد، کاراترین برآوردگر است. دانشگاه صنعت آب و برق

7. تابع چگالی احتمال میانگین نمونه‌ها • چون نمونه‌ها خود متغیر تصادفی هستند، لذا میانگین آنها نیز یک متغیر تصادفی است. • برای این متغیر تصادفی باید یک تابع چگالی احتمال جستحو نمود. برای این کار به قضیه زیر توجه کنید. • قضیه حد مرکزی: اگر تمام نمونه‌های تصادفی با حجم n از یک جامعه متناهی با میانگین  و 2 (با جایگذاری) انتخاب شوند، توزیع میانگین تقریبا دارای توزیع نرمال با میانگین  و واریانس 2/n می‌باشد. به عبارت دیگر دانشگاه صنعت آب و برق

8. 0 Distribution of 200 digits from Social Security Numbers (Last 4 digits from 50 students) 20 Frequency 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Distribution of 200 digits Figure 5-19 دانشگاه صنعت آب و برق

9. 1 5 9 5 9 4 7 9 5 7 8 3 8 1 3 2 7 1 3 6 3 8 2 3 6 1 5 3 4 6 4 6 8 5 5 2 6 4 9 4.75 4.25 8.25 3.25 5.00 3.50 5.25 4.75 5.00 2 6 2 2 5 0 2 7 8 5 3 7 7 3 4 4 4 5 1 3 6 7 3 7 3 3 8 3 7 6 2 6 1 9 5 7 8 6 4 0 7 4.00 5.25 4.25 4.50 4.75 3.75 5.25 3.75 4.50 6.00 Table 5-2 SSN digits x دانشگاه صنعت آب و برق

10. Distribution of 50 Sample Means for 50 Students 0 15 Frequency 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Figure 5-20 دانشگاه صنعت آب و برق

11. مثال قضیه حد مرکزی • یک نمونه 30تایی از تابع چگالی احتمال زیر انتخاب شده است. مطلوبست P(45<Xi<49.5) دانشگاه صنعت آب و برق

12. دنباله مثال قضیه حد مرکزی • طرفین بر عدد 30 تقسیم میشود و مطابق قضیه حد مرکزی متغیر مورد نظر نرمال است. دانشگاه صنعت آب و برق

13. تابع چگالی احتمال واریانس نمونه‌ها • اگر نمونه‌ای با حجم (n<30) از یک جامعه نرمال با میانگین  و واریانس 2انتخاب و مقادیر S2را محاسبه کنید. این مقادیر، مقادیری از آماره S2هستند، توزیع آماره S2مشخص نیست اما توزیع آماره (n-1)S2/ 2مشخص است و این آماره دارای توزیع توان دوم کای با v=n-1 درجه آزادی است. • قضیه: اگر S2واریانس یک نمونه تصادفی با حجم n از یک جامعه نرمال با واریانس 2باشد، آنگاه توزیع آماره دانشگاه صنعت آب و برق

14. اثبات • ابتدا می‌توان نوشت • طرفین را بر 2تقسیم می‌کنیم و جایگذاری را انجام می‌دهیم. دانشگاه صنعت آب و برق

15. برآورد • بطور کلی برآوردها به دو دسته تقسیم می‌شوند. • برآورد نقطه‌ای • برآورد فاصله‌ای • برآورد نقطه‌ای همانطور که از اسمش پیداست، نشان از یک نقطه دارد. مانند: • در این نوع برآورد، اثر تغییر نمونه‌ها در میزان برآورد مشهود نیست. • این نوع برآورد دارای احتمال متناظر نیست. دانشگاه صنعت آب و برق

16. برآورد فاصله‌ای • برای این برآورد یک نوع فاصله در نظر گرفته می‌شود. • احتمال متناظر این فاصله برابر با 1- است. Lower # < population parameter < Upper # As an example P(Lower # <  < Upper #)=1-  • usually 90%, 95%, or 99% • ( = 10%), ( = 5%), ( = 1%) دانشگاه صنعت آب و برق

17. Confidence Intervals from 20 Different Samples دانشگاه صنعت آب و برق

18. 2 2 z2 -z2 z=0 مقادیر بحرانی (1) • مثلا اگر مقدار 1-=0.95 باشد، مقدار =0.05 است و مقدار با استفاده از جدول نرمال برابر Z/2=1.96 است. دانشگاه صنعت آب و برق

19. مقادیر بحرانی (2) 95%  = 5% 2 = 2.5% = .025 .95 .025 .025 z2=1.96 -z2=-1.96 دانشگاه صنعت آب و برق

20. µ x + E x - E حاشیه خطا • میزان خطا میانگین نمونه از میانگین جامعه  را می‌توان با E نشان داد. حد پایین حد بالا دانشگاه صنعت آب و برق

21. اگر مقدار  معلوم باشد • اما اگر n<30 باشد، برای اینکه شرط نرمال بودن حفظ شود، باید مقدار  معلوم باشد. • در این حالت اگر n30 (تعداد نمونه) باشد بجای  میتوان از برآورد آن یعنی S استفاده نمود. دانشگاه صنعت آب و برق

22. مثال • متوسط دمای بدن 106 انسان سالم برابر 98.2 درجه فارنهایت است و انحراف معیار آنها 0.62 می‌باشد. یک فاصله اطمینان برای میانگین جامعه حساب کنید. n = 106 x = 98.20o s = 0.62o  = 0.05 /2 = 0.025 z/ 2= 1.96 x - E <  < x + E 98.20o - 0.12 <<98.20o + 0.12 98.08o << 98.32o دانشگاه صنعت آب و برق

23. فاصله اطمینان با  نامعلوم • اگر تعداد نمونه‌ها کوچک و  نامعلوم باشد، آنگاه از توزیع t استودنت استفاده می‌شود. • فاصله اطمینان بصورت قبل می‌باشد ولی از t/2استفاده می‌شود و حاشیه خطا برابر است با: دانشگاه صنعت آب و برق

24. فاصله اطمینان برای واریانس و انحراف معیار • همانطور که قبلا ملاحظه شد، آماره زیر از توزیع مربع کای پیروی می‌کند. • برآورد فاصله‌ای یا فاصله اطمینان برای واریانس به شرح زیر است. دانشگاه صنعت آب و برق

25. شکل توزیع مربع کای از حیث توزیع مساحت‌ها دانشگاه صنعت آب و برق

26. برآوردگر برای 1- 2 • نشان داده می‌شود که: • یک برآوردگر خوب می‌باشد. دانشگاه صنعت آب و برق

27. برآورد فاصله‌ای برای 1- 2 (1) • بازه اطمینان %(1-) برای 1- 2عبارت است از: • مورد فوق با توجه به شرایط زیر برقرار است. دانشگاه صنعت آب و برق

28. برآورد فاصله‌ای برای 1- 2 (2) • اگر حجم نمونه‌ها کوچکتر از 30 و دو جامعه نرمال و واریانس‌ها با هم برابر باشند، خواهیم داشت. دانشگاه صنعت آب و برق

29. برآورد فاصله‌ای برای 1- 2 (3) دانشگاه صنعت آب و برق

30. برآورد فاصله‌ای برای 1- 2 (4) دانشگاه صنعت آب و برق

31. مثال از دو جامعه نرمال با واریانس‌های مساوی، دو نمونه تصادفی مستقل n1=9 و n2=16 انتخاب کرده‌ایم و نتایج زیر بدست آمده است. 95% فاصله اطمینان را برای 1- 2 به‌دست آورید. حل: برای t0.975,16+9-2 مقدار 2.07 به‌دست می‌آید. بنابراین دانشگاه صنعت آب و برق