ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

1. ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น บทนิยาม จำนวนเต็ม n ที่ไม่เท่ากับศูนย์จะหารจำนวนเต็ม m ลงตัวก็ต่อเมื่อ มี จำนวนเต็ม c ซึ่ง m = nc ใช้ n | m แทน n หาร m ลงตัว เช่น 4 | 8 ใช้ n | m แทน n หาร m ไม่ลงตัว เช่น 4 | 9

2. ตัวอย่าง 2 | 8ทั้งนี้เพราะมีจำนวนเต็ม 4 ซึ่ง 8 = (2)(4) -3 | 15ทั้งนี้เพราะมีจำนวนเต็ม -5 ซึ่ง 15 = (-3)(-5) 5 | 18ทั้งนี้เพราะไม่มีจำนวนเต็ม c ซึ่ง 18 = (5)(c)

3. ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนด a เป็นจำนวนเต็ม และ a 0 แล้ว (1) a | 0 (2) 1 | a (3) a | a พิสูจน์ ผลหาร ตัวตั้ง ตัวหาร (1) เนื่องจากมี 0 ซึ่งทำให้ 0 = (a)(0) ดังนั้น a | 0 a = (1)(a) ดังนั้น 1 | a (2) เนื่องจากมี a ซึ่งทำให้ (3) เนื่องจากมี 1 ซึ่งทำให้ a = (a)(1) ดังนั้น a | a

4. ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า a | b และ b | c แล้ว a | c พิสูจน์ เพราะว่า a | bโดยบทนิยาม จะมีจำนวนเต็ม dซึ่ง b = ad…………(1) เพราะว่า b | cโดยบทนิยาม จะมีจำนวนเต็ม eซึ่ง c = be ………….(2) จากสมการ (1) และ (2) จะได้ว่า c = (ad)e = a(de) ……(3) เนื่องจาก d , eเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น deเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น จาก (3) และ โดยบทนิยาม จะได้ว่า a | c

5. ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง a | bจะได้ พิสูจน์ (ต้องแสดงให้ได้ว่า ) เพราะว่า a | b โดยบทนิยาม จะมีจำนวนเต็ม c ซึ่งb = ac b - a = ac - a = a (c -1) ( เนื่องจาก a , b , c เป็นจำนวนเต็มบวก ) ดังนั้น จะได้ ดังนั้น

6. ทฤษฎีบทที่ 4 ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนเต็มซึ่ง a | b และ a | c จะได้ a | (bx + cy) โดยที่ x และ y เป็นจำนวนเต็มใดๆ พิสูจน์ เพราะว่าa | b ดังนั้น จะมีจำนวนเต็ม m ซึ่ง b = am เพราะว่า a | c ดังนั้น จะมีจำนวนเต็ม n ซึ่ง c = an ดังนั้น bx = (am)x = a(mx) cy = (an)y = a(ny) เพราะฉะนั้น bx + cy = a(mx) + a(ny) bx + cy = a(mx + ny) และ (mx + ny)เป็นจำนวนเต็ม จะได้ a | (bx + cy)

7. ตัวอย่าง จงแสดงว่า ถ้า n เป็นจำนวนคี่ แล้ว 4 หาร n2- 1 ลงตัว พิสูจน์ เนื่องจาก n เป็นจำนวนคี่ จะได้ n = 2k - 1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม (2k - 1)2 - 1 ดังนั้น n2 - 1 = = 4k2 - 4k + 1 - 1 = 4 (k2 - k) , k2 - k เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 4 | n2 - 1

8. ตัวอย่าง ถ้า d เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง d | (15k + 27) และd | (5k + 2) จงหาค่า d วิธีทำ d | [(15k +27) - 3(5k + 2)] ( จากทบ. ที่ 4) จะได้ว่า d | 15k + 27 - 15k -10 d | 17 17 ดังนั้น d = 1 หรือ ตรวจสอบ ถ้า k = 3 จะได้ 17 | 102 และ 17 | 17 ซึ่งเป็นจริง

9. ตัวอย่าง ถ้า a | (2p - 3q) และ a | (4p - 5q) จงแสดงว่า a | q วิธีทำ เนื่องจาก a | (2p -3q) 2p - 3q = a x จะได้ว่า , x เป็นจำนวนเต็ม …. (1) …. (2) 4p - 5q = a y และ , y เป็นจำนวนเต็ม ….(3) 4p - 6q = 2ax นำ 2 คูณสมการ (1) จะได้ q = ay - 2ax (2) - (3) จะได้ = a (y - 2x) , y - 2x เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น a | q จำนวนเต็ม จำไว้ จะแสดงว่า a | qต้องทำให้ได้ว่า q = a ( )

10. จำนวนเฉพาะ (prime numbers) จำนวนเต็ม p 0 จะเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ p 1 , -1และจำนวนเต็ม x หาร p ลงตัว จะได้ x {1, -1, p , -p} เรียกจำนวนเต็ม x ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะและไม่ใช่ 0 , 1 , -1 ว่า จำนวนประกอบ

11. ทฤษฎีบทที่ 5 (หลักการมีตัวประกอบชุดเดียว) จำนวนเต็ม n ที่มากกว่า 1 สามารถแยกตัวประกอบเฉพาะดังต่อไปนี้ ได้รูปแบบเดียว ซึ่ง ทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ เช่น 4725 เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะบวกได้

12. ทฤษฎีบท ถ้า n เป็นจำนวนเต็มโดยที่ n > 1 และ n เป็นจำนวนประกอบ แล้วจะมีจำนวนเฉพาะ p ซึ่ง และ p | n หรืออาจกล่าวได้ว่า ถ้า n เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ n > 1 และ จำนวนเฉพาะบวก ทุกจำนวนที่น้อยกว่า หรือเท่ากับ หาร n ไม่ลงตัวแล้ว n เป็นจำนวนเฉพาะ

13. ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า 221 เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ วิธีทำ 14 15 ดังนั้น จำนวนเฉพาะที่ น้อยกว่าหรือเท่ากับ คือ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 และเมื่อนำจำนวนเฉพาะเหล่านี้ไปหาร 221 พบว่า 13 | 221 และ 221 = 13 (17) ดังนั้น 221 เป็นจำนวนประกอบ

14. ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า 211 เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ วิธีทำ 14 15 ดังนั้น จำนวนเฉพาะที่ น้อยกว่าหรือเท่ากับ คือ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 และเมื่อนำจำนวนเฉพาะเหล่านี้ไปหาร 211 พบว่า ไม่มี จำนวนเฉพาะใดหาร 211 ลงตัว ดังนั้น 211 เป็นจำนวนเฉพาะ

15. ทฤษฎีบทที่ 6 ขั้นวิธีการหาร (Division algorith) ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็ม n 0 จะมีจำนวนเต็ม q และ rชุดเดียวซึ่ง m = nq + r โดย เรียก q ว่าผลหาร และเรียก r ว่าเศษ ผลหาร เศษ เช่น 5 หาร -28 จะได้ - 28 = 5(-6) + 2 45 = (-2)(-22) + 1 -2 หาร 45 จะได้ เศษ ผลหาร

16. บทนิยาม จำนวนเต็ม a จะเป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อสามารถเขียน a = 2m เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม 6 เป็นจำนวนคู่ เพราะ 6 = 2(3) จำนวนเต็ม a จะเป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อสามารถเขียน a = 2m + 1 เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม 9 เป็นจำนวนคี่ เพราะ 9 = 2(4) + 1

17. บทนิยาม กำหนดจำนวนเต็ม a , b ซึ่ง a2 + b2จำนวนเต็มบวก dจะเป็นตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของ a , b ก็ต่อเมื่อ 1. d | a และ d | b 2. ถ้า c เป็นจำนวนเต็มซึ่ง c | a และ c | b จะได้ว่า c | d ห.ร.ม. ที่เป็นบวกของ a , b ใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย ( a , b) จาก d = (a,b) เราสามารถเขียน d ในรูปเชิงเส้นของa และ b ได้ดังนี้ d = ax + by เมื่อ x , y เป็นจำนวนเต็ม

18. ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ -24 และ 56 โดยใช้ขั้นตอนยูคลิด วิธีทำ จะหา (-24 , 56) โดยใช้ขั้นตอนยูคลิดได้ดังนี้ 24(2) + 56 = 8 0 8(3) + 24 = จำนวนที่หารลงตัว หรือเศษเป็น 0 8 แสดงว่า (-24 , 56) = สามารถเขียน ห.ร.ม. ในรูปผลรวมเชิงเส้นได้ดังนี้ 8 = 56(1) - 24(2) = 56(1) + (-24)(2)

19. ตัวอย่าง จงหา (56,72) วิธีทำ หา ห.ร.ม. โดยเขียนในรูปตาราง 3 72 56 1 48 56 2 8 16 16 0 2 ดังนั้น ( 56 , 72) =

20. ตัวอย่าง 1. จงหา (56 ,72) 2. จงหา จำนวน m และ n ซึ่ง (56 ,72) = 56m + 72n 1. หา ห.ร.ม. โดยขั้นตอนยูคลิด จะได้ วิธีทำ 2. โดยการย้อนกลับ 72 = 56(1) + 16 8 = 56 - 16(3) : จาก (2) ….(1) = 56 - [ 72 - 56(1) ](3) : จาก (1) 56 = 16(3) + 8 ….(2) = 56 - 72(3) + 56(3) 16 = 8(2) + 0 = 56(4) - 72(3) ดังนั้น ( 56 , 72 ) = 8 = 56(4) + 72(-3) 3 แสดงว่า m = 4 , n =

21. ทฤษฎีบทที่ 7กำหนดจำนวนเต็ม m , n และจำนวนเฉพาะ p ถ้า p | mn จะได้ p | m หรือ p | n เช่น 7 | 28 7 | 4(7) จะได้ว่า 7 | 7 7 | 14 หรือ 7 | 2(14) จะได้ว่า จำนวนเฉพาะ เช่น 3 | 24 3 | 12(2) จะได้ว่า 3 | 12

22. ทฤษฎีบทที่ 8 ถ้า d = ( m , n ) และ m = Md , n = Nd จะได้ 1 = ( M , N ) พิสูจน์ จาก d = (m ., n) จะได้ d = mx + ny , จะได้ d = Mdx + Ndy ดังนั้น 1 = Mx + Ny 1 = (M , N) 2 = ( 6 , 8 ) และ 6 = 3(2) , 8 = 4(2) จะได้ 1 = (3 , 4) เช่น

23. บทนิยาม ให้ m , n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ c เป็นตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ m และ n ก็ต่อเมื่อ 1. m | c และ n | c2. ถ้า a เป็นจำนวนเต็มซึ่ง m | a และ n | a แล้ว c | a ค.ร.น. ที่เป็นจำนวนบวกของ m และ n ใช้สัญลักษณ์ [m , n] ตัวอย่าง การหา ค.ร.น. ของ 6 และ 8 30 , 36 , 42 , 48 , 54 , . . . 12 , พหุคูณของ 6 ได้แก่ 6 , 18 , 24, พหุคูณของ 8 ได้แก่ 8 , 16 , 32 , 40 , 48 , 56 , 64 , ... 24 , ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของ 6 และ 8 คือ 24 หรือ [ 6 , 8 ] = 24

24. ตัวอย่าง จงหา ค.ร.น. ของ 6 และ 8 นำ 2 หาร 6 และ 8 วิธีทำ 2 6 8 ไม่มีจำนวนใดหารลงตัวทั้ง 2 หยุดแค่นี้ 3 4 ดังนั้น ค. ร. น. คือ หรือ ห.ร.ม. คือ 2

25. ตัวอย่างจงหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 12 และ 20 วิธีทำ 12 20 2 6 2 10 3 5 ดังนั้น ห.ร.ม. คือ ค.ร.น. คือ

26. ทฤษฎีบทที่ 9 ถ้า d และ c เป็น ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ที่เป็นบวกของ จำนวนเต็ม m และ nตามลำดับ จะได้ว่า dc = mn เช่น 4 = (12 , 20 ) และ 60= (12 , 20) จะได้ 4 (60) = 12 (20) ตัวอย่าง ให้ a เป็นจำนวนเต็มโดยที่ (a , 6 ) = 2 และ [a , 6] = 24 จงหาค่า a วิธีทำ โดยทฤษฎีบทที่ 9 จะได้ a (6) = 2 (24) a = 8

27. สมภาค (Congruent , คอนกรูเอ็นซ์) บทนิยาม กำหนด a , b , m เป็นจำนวนเต็มและ m > 0 จะได้ว่า a สมภาคกับ b มอดุโล m เขียนแทนด้วย ก็ต่อเมื่อ 2 | 5 3 (mod 2) (5 - 3) เช่น เนื่องจาก 2 | (3 -5 ) 3 5 (mod 2) เนื่องจาก 6 | (27 - 4) 27 4 (mod 6) เนื่องจาก

28. ตัวอย่าง พิจารณาว่าต่อไปนี้ถูกหรือผิด 1. 12 2 (mod 5) ถูก เพราะว่า 5 | (12 - 2) 6 | (27 - 4) เพราะว่า 2. 27 4 (mod 6) ผิด 5 | (-3 - (-23)) เพราะว่า ถูก 3. - 3 - 23 (mod 5) 79 - 9 (mod 11) 11 | (79 - (-9) ) 4. ผิด เพราะว่า เพราะว่า 8 | (25 - 4) ถูก 5. 25 4 (mod 8)

29. ทฤษฎีบท ให้ a , b , c , m เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ m > 0 a a (mod m) 1. คุณสมบัติการสะท้อนบน I a b (mod m) ถ้า 2. คุณสมบัติการสมมาตรบน I แล้ว b a (mod m) 3. คุณสมบัติการถ่ายทอดบน I a b (mod m) b c (mod m) ถ้า และ a c (mod m) แล้ว

30. ข้อสังเกต จาก a b (mod m) m | (a - b) m | (a - b) จาก a - b = n m , n เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า เศษ ดังนั้น a = n m + b แสดงว่า a หารด้วย m แล้ว เหลือเศษ b 30 2 (mod 7) เช่น มีความหมายได้เป็น 1. 7 หาร ( 30 - 2) ลงตัว 2. 7 หาร 30 แล้วเหลือเศษ 2 ( a b (mod m) ใช้ได้กรณีที่ b เป็นจำนวนเต็มบวกและ b < m )