第 5 章 实用线性模型

1. 第5章 实用线性模型 5.2 方差分析 5.2.1 单因子方差分析 在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。如产品质量是否受到配料、设备、人工等的差异的影响。要找出对产品质量有影响的因素，我们需要进行试验。方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各个有关因素对试验结果影响的有效方法。 在实验中我们称要考察的指标为试验指标。称影响指标的条件为因素。称因素所处的状态为水平。如果在一项试验中只有一个因素在改变称为单因子试验，如果多于一个因素在改变称为多因子试验。

5. 例1.对某农作物采取五种不同的施肥方案进行收获量试验。每种方案作四块田，结果如下表。试求不同施肥方案对农作物收获量有无显著性影响。

6. 方差分析表：

7. 在双因素试验中，如果不仅考虑因素 及 各自对试验结果的影响，而且还要考虑因素 与 的交互作用（记作 ，简记作 ）对试验结果的影响，则应该对于因素 与 的各个水平的每一种配合 分别进行 次重复试验，即共进行 次试验，假定各次试验都是独立的，得到样本观测值 如下表： 5.2.2 双因子等重复试验的方差分析

13. 397 98 100 105 94 471 说明：红色数字为和 120 130 116 105 353 75 84 102 92 293 314 323 291 1221 例2. 为比较三种松树在不同的地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机的选取五株，测量它们的胸径，得到如下的数据：

16. 5.3 线性回归 我们知道现实生活中的许多现象之间存在着相互依赖、相互制约的关系.一切事物都是相互联系着、发展变化着的。变量间的关系一般可以分为两大类。 1、确定性关系，即我们所熟悉的变量间的关系可以用函数关系来表达，如圆的半径R与圆的面积S之间就存在确定的函数关系。 2、非确定性关系，即变量之间虽有密切的关系，但这种关系无法用确定的函数关系表达，如人的年龄与血压之间有密切关系，但却找不到一个函数能准确地表示它们之间的关系，变量之间这种非确定性关系，称为相关关系。 即使是具有确定性关系的变量，由于测量误差的影响，其表现形式也具有某种程度的不确定性。 回归分析是分析变量间的不确定性关系的一种方法，有时也称为相关分析。

17. 1.回归分析的内容： （1）从一组数据出发，分析变量之间存在着什么关系，建立这些变量之间的关系式（回归方程）并对关系式的可信程度进行统计检验。 （2）利用回归方程式，根据一个或几个变量的值预测或控制另一个变量的取值。 （3）从影响某一变量的诸多变量中判断哪些变量对它的影响是显著的，哪些是不显著的从而建立起更实用的回归方程。 （4）根据预测和控制提出要求，选择试验点对试验进行设计。

18. 例3. 在硝酸纳（NaNO3）的溶解度试验中，测得在不同温度x下，溶解于100份水中的硝酸纳份数y的数据如下表： 这里 为自变量， 是随机变量，我们要求 对 的回归。 以温度 为横坐标，硝酸纳份数 为纵坐标将这些观察值 描在平面直角坐标系上.称为散点图。根据散点图可以作出经验直线：

19. 一元线性回归分析的主要任务是： (1) 用试验值（样本值）对 、 和 作点估计； (2) 对回归系数 、 作假设检验； (3) 在 处对 作预测，对 作区间估计.

20. 3.模型参数估计 (1)回归系数的最小二乘估计

21. ，

23. (1) 回归方程的显著性检验 4.检验、预测与控制　

26. (2)回归系数的置信区间

27. 1）预测 (3)预测与控制

28. 在实际问题中样本容量 常常很大，这时我们不但能得到较短的预测区间，还可以 简化式子 ,得到近似的预测区间. 在 很大时,上式中根式近似等于 1， 近似，于是 预测区间近似地为： 特别， 的 置信度为99.7%的预测区间近似地为： 置信度为99.%的预测区间近似地为：

29. 控制是预测的反问题，即要求观察值 在某区间 内取值时，应控制 在什么范围。亦即要求以 的置信 度求出相应的 使 所队应的观察值 落在 内。 这里我们只讨论 很大时的情形。利用前面的式子 2）控制 第5章结束

30. 全课程结束 再见