La proportionnalité

1. La proportionnalité Les proportions directes et inverses

2. Les notions de base Dans la vie courante, il arrive souvent qu'on ait affaire à des rapports, des taux et des proportions. Allons voir les informations nécessaires pour comprendre ces notions...

3. Le taux unitaire • Il arrive souvent qu’on puisse résoudre un problème grâce au taux unitaire. Le taux unitaire s’applique à un élément seulement. • Par exemple, Sam travaille dans un garage 25 heures par semaine et gagne alors 625$. Si son patron l’emploie 35 heures, quel sera son salaire?

4. Le taux unitaire • Je peux d’abord trouver le taux unitaire. Ici, on l’appelle le taux horaire puisqu’on veut connaître le salaire pour une seule heure de travail. Je représente cette situation par le modèle algébrique suivant : taux horaire = salaire / nombre d’heures de travail T = S / H Je remplace les variables par les valeurs connues et je calcule : T = 625 / 25 Donc, Sam gagne 25$/h.

5. Le taux unitaire • Je reprends le résultat précédent ainsi que la formule pour connaître le nouveau salaire pour 35 heures. Je remplace les variables connues et je calcule le salaire : T = S / H 25 = S / 35 S = 35 x 25 = 875 • Ainsi, j’ai appris que Sam gagne 25$/h et 875$ pour 35 heures d’ouvrage. • Vous verrez plus loin qu’il est possible de résoudre ce genre de problèmes plus rapidement par les proportions.

6. Les rapports • Un rapport, c'est la comparaison entre deux quantités de même nature. • Par exemple, une offre intéressante est affichée à l'épicerie du coin : 5 pommes pour à peine 2,50$. Je désire acquérir 8 pommes. Alors le rapport entre la quantité de pommes offertes et la quantité de pommes désirées est de 5/8. • Comme vous le voyez, les rapports sont souvent présentés sous forme de fraction.

7. Proportion • On parle de proportion lorsqu'on établie une relation d'égalité entre deux rapports. • On peut le faire de manière directe ou inverse selon la situation vécue.

8. Proportion directe • Par exemple, je compare le prix de ma facture selon la quantité de chandails achetés. Si chacun des chandails ont le même prix, la situation est une proportionnalité directe. En effet, si je paie le double, j'aurai deux fois plus de chandails ou si la quantité de chandails diminue de moitié, la facture diminue d'autant. • Attention! Certaines situations ne sont pas proportionnelles même si elles sont directes : à l’adolescence, si mon âge augmente, ma taille augmente. Par contre, si mon âge double, ma taille ne doublera pas pour autant!

9. Proportion directe • Afin de représenter une situation proportionnelle directe, je dois établir les deux rapports que je peux comparer. • Dans l’exemple précédent, on parlait de coût de la facture (C) et le nombre de chandails achetés (N). On peut alors représenter cette situation par la proportion suivante : N1 = C1 N2 C2

10. Proportion directe • Les indices 1 et 2 se rapportent à deux situations différentes. On peut donner n’importe quelle valeur à ces indices, en autant que le prix et la quantité qui sont associés dans une situation aient le même indice. N1 = C1 N2 C2 • Par exemple, l’indice 1 pourrait identifier les données de l’offre en magasin • 2 chandails pour 55$ • où N1 = 2 et C1 = 55 • Alors l’indice 2 identifie ce que je cherche • combien coûterait 5 chandails? • où N2 = 5 et C2 est inconnu

11. Proportion directe • Je remplace les variables connues dans la proportion: 2 = 55 5 C2 • J’effectue le produit croisé : 2 C2 = 5 • 55 • J’isole ma variable : C2 = 5 • 55 2 • Je calcule le tout et j’inscris ma réponse : C2 = 137,50$

12. Proportion inverse • Prenons un autre exemple différent. Je dois repeindre ma maison. Pour effectuer le travail, on devait être 5 personnes. Si l'un des peintres ne peut plus venir, est-ce que ça prendra plus de temps ou moins de temps pour effectuer le même travail à 4 personnes? • En réalité, moins on est de peintres, plus de temps devra être mis pour terminer la tâche. Donc, si le nombre de peintres diminue de moitié, le temps de travail doublera. Et à l'inverse, plus on est de personnes, moins cela prend de temps à faire. Ainsi, si le nombre de peintres double, le temps de travail diminue de moitié. On parle alors de proportionnalité inverse (indirecte). • Attention! Certaines situations ne sont pas proportionnelles même si elles sont inverses : l’heure de la journée avance et la température diminue. Si l’heure double, la température ne baissera pas nécessairement de moitié.

13. Proportion inverse • Afin de représenter une situation proportionnelle inverse, je dois établir les deux rapports que je peux comparer. • Dans l’exemple précédent, on parle de nombre de peintres (N) et de temps de travail (T). On peut alors représenter cette situation par la proportion suivante : N1 = T2 N2 T1 • Remarquez qu’il faut inverser le deuxième rapport puisqu’on est dans une proportion inverse.

14. Proportion inverse • Les indices 1 et 2 se rapportent à deux situations différentes. On peut donner n’importe quelle valeur à ces indices, en autant que le prix et la quantité qui sont associés dans une situation aient le même indice. N1 = T2 N2 T1 • Par exemple, l’indice 1 pourrait identifier les données liées aux prévisions • Je calcule que si on est 2 personnes, il nous faudra 50 heures • où N1 = 2 et T1 = 50 • Alors l’indice 2 identifie ce que je cherche • combien de temps cela prendrait-il si on est 5 peintres? • où N2 = 5 et T2 est inconnu

15. Proportion inverse • Je remplace les variables connues dans la proportion: 2 = T2 5 50 • J’effectue le produit croisé : 5 T2 = 2 • 50 • J’isole ma variable : T2 = 2 • 50 5 • Je calcule le tout et j’inscris ma réponse : T2 = 20 heures

16. Des situations qui ne sont pas proportionnelles! • Attention! Eh oui, malgré qu’on parle de proportionnalité depuis le début, il faut savoir distinguer une situation de proportionnalité et une situation autre. • Par exemple, le salaire n’est pas proportionnel au nombre d’années d’expérience d’un employé. En effet, même si le travailleur possède six fois plus d’expérience qu’un collègue, il ne gagnera probablement pas six fois plus d’argent pour un même boulot. Ce n’est pas logique! • Alors, dans ces situations, je ne peux pas me baser sur le principe de proportionnalité pour résoudre s’il y a le problème posé.

17. Résoudre un problème proportionnel • D’abord, il faut bien lire le problème. On peut même souligner les informations qu’on juge importantes. • Il faut ensuite identifier les données mises en relation : a-t-on affaire à une situation de proportionnalité directe, inverse ou non proportionnelle? Il faut alors se demander : • Si la première variable double, qu’arrive-t-il à la deuxième? • Si la première variable diminue de moitié, qu’arrive-t-il à la deuxième variable? • J’identifie la variable inconnue. • Je note les variables connues et leurs valeurs. • Il arrive parfois dans certaines situations, je doive effectuer des calculs préalables pour trouver ces valeurs. • Je dois aussi m’assurer que les valeurs de même nature aient le même unité de mesure.

18. Résoudre un problème proportionnel • J’écris la proportion s’il y a lieu en tenant compte de la relation directe ou inverse. • Je remplace les variables par les valeurs connues dans la proportion. • J’effectue le produit croisé. • J’isole l’inconnue. • J’effectue les calculs nécessaires. • J’indique ma réponse clairement avec l’unité de mesure approprié.

19. Résoudre un problème proportionnel • Mira organise une fête pour ses amis. Elle attend 55 convives et elle prévoit deux verres (portions) de cocktail par personne. Voici la recette qui convient pour 8 portions : • 750 mL de jus d’ananas • 1,25 L de jus d’orange • 250 mL de rhum blanc • 750 mL de boisson gazeuse • zeste de deux citrons Quelle quantité de cocktail devra-t-elle préparé?

20. Résoudre un problème proportionnel • Ici, les données mises en relation sont le nombre de portions (N) et la quantité de cocktail (Q) nécessaire. C’est une relation de proportionnalité directe puisque si je double le nombre de portions, je double la quantité de cocktail. • La variable inconnue est la quantité de cocktail nécessaire (Q2) pour recevoir les convives de Mira. • Les variables connues sont : Recette: N1 = 8 portions Q1 = somme des ingrédients (attention aux unités de mesure) = 750 mL + 1,25 L + 250 mL + 750 mL = 0,75 L + 1,25 L + 0,25 L + 0,75 L = 3 L Désiré: N2 = 2 x 55 = 110 portions

21. Résoudre un problème proportionnel • La proportion directe est : N1 = Q1 N2 Q2 • Je remplace les variables connues : 8 = 3 • Q2 • Je fais le produit croisé : 8 Q2 = 3 • 110 • J’isole la variable : Q2 = 3 • 110 8 • Je calcule le tout : Q2 = 41,25 • Réponse : Mira devra préparer 41,25 litres de cocktail pour recevoir ses amis.