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第二章

第二章. 函数. 第 15 讲. 函数与方程. 函数零点的存在性判断与求解. 点评. 函数零点的存在性问题常用的办法有三种： 一是 零点存在的性质定理，即考察变号零点所在区间端点值的符号； 二是 直接解方程，求出方程的根或讨论方程根的存在性； 三是 构造函数，利用函数图象的交点判断函数零点的存在性．本题 (1) 是转化为方程求零点；本题 (2) 是构造函数，利用函数图象的性质研究函数零点的存在性．. 【 变式练习 1】 (1) 求函数 y ＝ x 3 － 3 x 的零点；

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Presentation Transcript

  1. 第二章 函数

  2. 第15讲 函数与方程

  3. 函数零点的存在性判断与求解

  4. 点评 函数零点的存在性问题常用的办法有三种： 一是零点存在的性质定理，即考察变号零点所在区间端点值的符号； 二是直接解方程，求出方程的根或讨论方程根的存在性； 三是构造函数，利用函数图象的交点判断函数零点的存在性．本题(1)是转化为方程求零点；本题(2)是构造函数，利用函数图象的性质研究函数零点的存在性．

  5. 【变式练习1】 (1)求函数y＝x3－3x的零点； (2)已知函数f(x)＝x2－2x＋lg(2m－1)有两个异号零点，求实数m的取值范围．

  6. 用二分法求方程的近似解 【例2】 求方程x3－x－1＝0在区间[0,2]上的实数根(精确度为0.1)．

  7. 点评 在用二分法求解方程时，初始区间的选定往往需要通过分析函数的性质(了解函数的大致图象)或者试验估值，并逐步将零点值的区间范围缩小．初始区间的端点不一定选在两个相邻整数之间，初始区间选取不同，不影响最终的计算结果．

  8. 【变式练习2】 求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间是_______________ 【解析】设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(2.5)＝5.625>0，f(3)＝16>0，故下一个有根区间是[2,2.5]． [2,2.5]

  9. 函数零点的综合应用

  10. 点评

  11. 【变式练习3】 已知关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实数根，求实数a的取值范围．

  12. 1.如图所示的函数图象与x轴都有交点，则不能用二分法求函数零点的是_________(写出所有符合条件的序号)． (3)(5)(6)

  13. 2.已知关于x的方程ax＋2a＋1＝0在(－1,1)上有一个实数根，则实数a的取值范围是_____________2.已知关于x的方程ax＋2a＋1＝0在(－1,1)上有一个实数根，则实数a的取值范围是_____________ (－∞，1]

  14. 4.函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为_________ 【解析】在同一坐标系中作出函数y＝sinx，y＝lgx的图象如图，即可知道交点个数是3，即原函数的零点个数是3. 3

  15. 5.设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，求证：方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．5.设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，求证：方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．

  16. 1．函数的零点 函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以零点是一个实数，一个使函数值为0的实数．函数的零点分变号零点和不变号零点两种．变号零点可以用二分法求解，不变号零点一般通过函数图象判断，如函数y＝|x－1|有一个零点x＝1，它是不变号零点．所以f(a)·f(b)<0是函数f(x)在区间[a，b]上存在零点的必要非充分条件．

  17. 2．方程根的分布 求方程的根或根的近似值，就是求函数的零点值或其近似值．将方程根的问题转化为函数的零点问题，不仅直观展现了方程根的几何意义，重要的是能够简化运算程序，提高解决问题的效率． 3．函数与方程的综合应用 数形结合是这种转化的重要基础，把数量关系和空间形式结合起来是函数综合应用借以考查数学综合能力的重要题型．

  18. 1．(2010·海门期末卷)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是________．1．(2010·海门期末卷)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是________． 答案：a<c<b 选题感悟：函数的零点是新课标中的新增内容，本题主要考查数形结合的思想方法．

  19. 2．(2010·南京市二模卷)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1，其中a∈[－2,2]，则函数f(x)有零点的概率是________．2．(2010·南京市二模卷)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1，其中a∈[－2,2]，则函数f(x)有零点的概率是________． 【解析】函数f(x)有零点，即方程x2＋2ax＋1＝0有解，则4a2－4≥0，即a≥1或a≤－1，根据几何概型的概率公式可知函数f(x)有零点的概率是 1/2

  20. 选题感悟：二次函数有零点即为二次方程有解，关于“二次”的问题，一直是高考重点和热点，一定要熟练掌握．选题感悟：二次函数有零点即为二次方程有解，关于“二次”的问题，一直是高考重点和热点，一定要熟练掌握．

  21. 3．(2010·扬州市第一学期期末联考卷)若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝________.3．(2010·扬州市第一学期期末联考卷)若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝________.

  22. 选题感悟：本题通过换元转化为二次方程解的个数，但要注意“新元”与“旧元”之间的关系，这是换元法解题时的易错点，一定要注意．选题感悟：本题通过换元转化为二次方程解的个数，但要注意“新元”与“旧元”之间的关系，这是换元法解题时的易错点，一定要注意．

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