第 7 章 特征理论 偏微分方程组

1. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.1.1 弱间断解与弱间断面

2. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 例子 考虑弦振动方程 则 不是古典解，但它是弱间断解。

3. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.1.2 特征方程与特征曲面 设光滑曲面是方程（7.1.1)的弱间断面。 可以推出它应满足的条件为下式在 上处处成立。

4. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 方程特征曲面的例子

5. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.2 方程组的特征理论

6. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.2.1 弱间断解与特征线

7. 第7章 特征理论 偏微分方程组

8. 第7章 特征理论 偏微分方程组

9. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.2.2 狭义双曲型方程组的标准型

10. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 将狭义双曲型方程化为标准型的方法： • 1. 求向量方程 的解。 2. 令， 用T 左乘（7.2.2）式得：

11. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 3.

12. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.3 双曲型方程组的Cauchy 问题 首先指出，并非对一切类型的方程组都可以Cauchy问题，有例子表明，当特征方程（7.2.6)有复根时，方程组（7.2.1)的Cauchy问题的解是不稳定的。所以我们仅限于讨论双曲型方程组的Cauchy问题。为便于理解和叙述，这里仅讨论两个自变量的对角型方程组的Cauchy问题。

13. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.3.1 解的存在性和唯一性

14. 第7章 特征理论 偏微分方程组

15. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.3.2 解的稳定性

16. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.4 定理

17. 第7章 特征理论 偏微分方程组

18. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.4.2 Cauchy 问题的化简 首先，把高阶非线性 C-K 型组 Cauchy 问题化为一个与其等价的一阶非线性 C-K 型组的 Cauchy 问题。 其次，我们可以把一个一阶非线性 C-K 型组 Cauchy 问题化为一个与其等价的一阶拟线性 C-K 型组的 Cauchy 问题。方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用已知方程式即得。 Cauchy问题(7.4.2)化为如下的一阶拟线性 C-K 型方程组的Cauchy问题:

19. 第7章 特征理论 偏微分方程组 于是，C-K 定理 7.4.1可等价地叙述为 C-K型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与所考虑的问题相比较，故须要介绍强函数的概念。

20. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.4.3 强函数

21. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.4.4 C-K 定理的证明 （1） 唯一性（幂级数解法）。 （2） 存在性（强函数方法）。 附注 1 该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。 附注 2 由证明知，若方程右端及Cauchy数据是各自变量的解析函数，则在初始平面 上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知，把这些解粘合在一起，就得到 的一个领域中的解析解。 附注 3 C-K 定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明本质上依赖与解析性假设。