間斷機率分配

間斷機率分配 隨機變數與機率分配間斷機率分配聯合機率分配期望值與變異數共變異數與相關係數間斷機率分配

隨機變數 • 在很多隨機實驗中，通常我們只對實驗的某些情況有興趣，而這些情況通常是與數字有關的。為了用數字表達這些情況，我們就引進了隨機變數的觀念。 • 例如： • 丟銅板2次的實驗，我們不會去注意結果是{HT}或是{TH}，我們只會注意這2次實驗當中，有幾次是正面（或反面）的。也就是說，我們只會注意丟2次銅板中出現正面的次數。（這與數字有關） • 如果令 X 表丟2次銅板中出現正面的次數，在統計上，我們稱 X 為一隨機變數。間斷機率分配

隨機變數 • 為什麼叫隨機變數？ • 因為每次實驗的結果不是可預期的，為隨機的情況。 • 每一次丟兩次銅板出現正面的次數，都不能預期。 • 因為實驗結果每次都不一定相同，故為一種變數。 • 這一次丟兩次銅板出現正面的次數，與下一次兩次銅板出現正面的次數，不一定相同。間斷機率分配

隨機變數 • 定義：隨機變數（random variable, r.v.） • 隨機變數為一函數 • 將樣本空間的樣本點對應至一實數 • X：S → R 間斷機率分配

隨機變數 • 例：投銅板兩次 X：表示出現正面的次數 S → R（變量）間斷機率分配

隨機變數 • 例：投銅板兩次 X：表示出現正面的次數 S → R（變量）（正，正） → 2 間斷機率分配

隨機變數 • 例：投銅板兩次 X：表示出現正面的次數 S → R（變量）（正，正） → 2 （正，反） ↘ （反，正） → 1 間斷機率分配

隨機變數 • 例：投銅板兩次 X：表示出現正面的次數 S → R（變量）（正，正） → 2 （正，反） ↘ （反，正） → 1 （反，反） → 0 間斷機率分配

隨機變數 • 例：投銅板兩次 X：表示出現正面的次數 S → R（變量）（正，正） → 2 （正，反） ↘ （反，正） → 1 （反，反） → 0 • 事件 [X=1] 相當於事件 [（正，反）,（反，正） ] • 通常大寫的X(Y)表隨機變數，小寫的x(y)表其變量間斷機率分配

隨機變數 • 例：投銅板四次 X：表示出現正面的次數 • 樣本空間？（以正反表示） • 變量有哪些？（以數字表示） • [X=1] 對應於樣本空間有幾個樣本點？ • P(X=1)=？ • [X=2] 對應於樣本空間有幾個樣本點？ • P(X=2)=？間斷機率分配

隨機變數 • 例：投銅板四次 X：表示出現正面的次數 • 樣本空間？（以正反表示） • （反反反反，反反反正，反反正反，反反正正，等等）共16點。 • 變量有哪些？（以數字表示） • 0,1,2,3,4 • [X=1] 對應於樣本空間有幾個樣本點？ • （反反反正，反反正反，反正反反，正反反反）共四點。 • P(X=1)=4/16=1/4。間斷機率分配

隨機變數 • [X=2] 對應於樣本空間有幾個樣本點？ • （反反正正，反正反正，反正正反，正反反正，正反正反，正正反反）共六點。 • P(X=2)=6/16=3/8 間斷機率分配

隨機變數 • 種類 • 間斷隨機變數(discrete r.v.) • 若一隨機變數的變量的個數有限，或無限但可數則稱此隨機變數為間斷隨機變數 • 骰子點數，高速公路車禍次數 • 連續隨機變數(continuous r.v.) • 若一隨機變數的變量的個數無限且不可數，則稱此隨機變數為連續隨機變數 • 身高，體重間斷機率分配

隨機變數的機率分配 • 例：投公正銅板兩次，X 表示出現正面的次數。間斷機率分配

隨機變數的機率分配 • 例：投公正銅板兩次，X 表示出現正面的次數。 • 這就稱為隨機變數 X 的機率分配(probability distribution)。 • 描述隨機變數之變量出現情況的一種機制。 • 底下我們針對間斷隨機變數的機率分配來做介紹。間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 • 間斷隨機變數的機率分配： • 若 f(x) 為一間斷 r.v. X 的機率分配，則 f(x) = P(X=x) • 描寫一間斷 r.v. X在 X= x 時的機率 • 丟銅板兩次的例子： • f(1)=P(X=1)=0.5 • 有著X的變量與其發生的機率。 • 表示的方式可以是圖、表或函數。間斷機率分配

1 0.5 0 1 2 間斷隨機變數的機率分配 • 表格表示法 • 圖形表示法：間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 • 函數表示法間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 • 累積機率分配(cumulative probability distribution) F(x) = P (X ≦ x) • 丟銅板兩次的例子間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 • 例：若 f(x) 為 r.v. X 的機率分配 • P(X=3)=？ • P(X≦3)=？ • P(1≦X≦3)=？ • P(1.5≦X≦3)=？間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 • 例：若 f(x) 為 r.v. X 的機率分配 • P(X=3)=f(3)=0.1 • P(X≦3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.95=F(3) =1-P(X>3)=1-P(X=4)=1-f(4) • P(1≦X≦3)=f(1)+f(2)+f(3)=0.45 • P(1.5≦X≦3)=f(2)+f(3)=0.25 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 • 性質： • 0≦f(x) ≦ 1 • Σf(x) = 1（因為全部的可能性為1） • P(a≦X≦b) = Σa≦x≦bP(X=x) = Σa≦x≦bf(x) • P(X≦a) = 1 – P(X>a) • F(x) = P(X ≦ x) =Σy≦xf(y) （累積機率函數） • F(b)-F(a) = P(a<X ≦ b) 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 • P(X≦a) =？ P(X<a) • 看 a 這一點的機率值, f(a), 而定。若 X 在 a 這點沒有機率值，f(a)=0，則等式成立。否則不成立。 • 例如例三中，P(X ≦ 2.5) = P(X < 2.5)。因為f(2.5)=P(X=2.5)=0。 • P(a≦X≦b) =? P(a < X ≦ b) • 同理。看 a 這一點的機率值而定。間斷機率分配

間斷機率分配的性質 • 例：若 r.v. X 的機率分配如下: • Y=X+3 的機率分配為何? • Z=4X的機率分配為何? • M=X2的機率分配為何? 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 • Y=X+3 的機率分配。間斷機率分配

間斷機率分配的性質 • Y=X+3 的機率分配。 • Z=4X的機率分配。間斷機率分配

間斷機率分配的性質 • Y=X+3 的機率分配。 • Z=4X的機率分配。 • M=X2的機率分配。間斷機率分配

間斷機率分配的性質 • 例：若 r.v. X 的機率分配如下: • M=X2的機率分配為何? 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 • M=X2的機率分配。間斷機率分配

間斷機率分配的含意 • 以前有資料時，不管是母體資料或樣本資料。當我們想要瞭解這群資料的一些特性時，我們可以去做一些統計圖表。 • 如今，我們想做理論的探討，引進了隨機變數的觀念。也有描述此隨機變數變量出現的可能性的機率分配。 • 隨機變數的機率分配與以前的統計圖表有沒有一些關係？間斷機率分配

間斷機率分配的含意 • 間斷隨機變數的機率分配就是母體資料的相對次數分配表。 • 例如某學校一年級學生有300位，二年級學生有300位，三年級學生有250位，四年級學生有150位。 • 在該校學生中隨機抽一人，令X表該生的年級數。則X為一間斷隨機變數。X的機率分配為間斷機率分配

間斷機率分配的含意 • 間斷隨機變數的機率分配就是母體資料的相對次數分配表。 • 例如某學校一年級學生有300位，二年級學生有300位，三年級學生有250位，四年級學生有150位。 • 在該校學生中隨機抽一人，令X表該生的年級數。則X為一間斷隨機變數。X的機率分配為 • 這也就是母體資料的相對次數分配表間斷機率分配

間斷機率分配的含意 • 間斷隨機變數的機率分配也可以想做是，當我們做實驗無數遍之後，所得到的那一群資料的相對次數分配表。 • 想了解每天賣出車子的情況 • 記錄了100天之後，我們可以做出其相對次數分配表。間斷機率分配

間斷機率分配的含意 • 令X表每天賣出的車子數目。 • X 的機率分配？ • 剛剛的相對次數分配表，就可以視為X的機率分配。間斷機率分配

間斷機率分配的含意 • 令X表每天賣出的車子數目。 • X 的機率分配？ • 剛剛的相對次數分配表，就可以視為X的機率分配。 • 因有抽樣誤差，不同天抽，不同人抽，抽不同天數，所做出的表格不一定一樣。所以上表只能當作是 X 近似的機率分配。間斷機率分配

間斷機率分配的含意 • 我們可以由機率分配模擬產生資料。 • 例：令Y表示某一投資的獲利情況，若Y的機率分配如下： • 投資一千次之後，這一千次的獲利情況為何？ • 獲利20單位大約有幾次？間斷機率分配

聯合機率分配 • 到目前為止，我們都只考慮一個隨機變數的情況。但有很多情況，可能需要同時考慮兩個或兩個以上的隨機變數。 • 例如剛剛的投資獲利的例子，我們可能同時考慮： • X：投資的獲利情況。 • Y：基金種類。 • 例如想瞭解某一產品銷售的市場情況，我們可能同時考慮： • X：年齡層。 • Y：性別。間斷機率分配

聯合機率分配 • 那如何同時形容這些隨機變數的變量組合發生的情況呢？ • 聯合機率分配(joint probability distribution)。間斷機率分配

聯合機率分配 • 例：丟兩公正骰子，令X表示第一個骰子出現的點數，Y表示第二個骰子出現的點數。如何表現出X與Y聯合出現情況的可能性。 • X，Y發生的情況共有36種組合。 • 每一種組合出現的機率為1/36。 • 這種描寫兩個或兩個以上隨機變數之變量組合發生的可能性的機制，叫做聯合的機率分配。間斷機率分配

聯合機率分配 間斷機率分配

聯合機率分配 • 聯合間斷機率分配： • 若 f(x,y) 為兩間斷 r.v. X，Y的聯合機率分配，則 f(x,y) = P(X=x,Y=y)。 • 描寫兩間斷 r.v.，在 (X,Y) = (x,y) 時的機率。間斷機率分配

聯合機率分配 • 邊際機率分配： • marginal probability distribution. • 若我們只考慮一個隨機變數的機率分配，為了與聯合機率分配有所區隔，我們把這個隨機變數的機率分配叫做邊際機率分配。 fx(x)=P(X=x)=Σyf(x,y) fy(y)=P(Y=y)=Σxf(x,y) 間斷機率分配

聯合機率分配 邊際機率分配，可由聯合機率分配得到。間斷機率分配

聯合機率分配 • 聯合機率分配與邊際機率分配都是機率分配。 • 聯合機率分配是針對兩個以上的隨機變數。 • 邊際機率分配是針對單一個隨機變數。 • 所以間斷機率分配的一些性質，聯合機率分配、邊際機率分配都有。間斷機率分配

聯合機率分配 • 獨立隨機變數： • 若兩隨機變數的聯合機率分配等於個別邊際機率分配相乘，則稱這兩個隨機變數獨立（independent）。 f(x,y)=fx(x)fy(y) for all x,y 間斷機率分配

間斷機率分配

間斷機率分配

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