离散数学 DISCRETE MATHEMATICS

1. 离散数学 DISCRETE MATHEMATICS 教师:石兵 Email:shibing@cs.scu.edu.cn 二零一三

2. 重点掌握 谓词的合适公式 上次课重点:

3. 本次课重点 • 公式的等价 • 公式的范式表达 • 公式的蕴涵

4. 第三节 谓词WFF的等价 一、定义：设A和B是论域  上的两个 WFF，如果对论域上的任何解释， A 和 B都取相同的值， 就说A和B 在论域上是等价的。 如果论域是全总个体域，就说A和 B是等价的。 A和B等价记为A  B。

5. 二、定理： A B当且仅当A B 是永真式。 证明要点：同命题公式等价情形证明相似， 对于任何论域，当A B时，在任何 解释下A和 B取值相同，因而A  B恒取值 1 ，即为永真式。反之也对。

6. 三、基本等价式 • 命题逻辑中的等价式在谓词逻辑中依然有效。 1、量词的否定 1)  ( x) A(x) ( x)[ A(x)] 证明要点：当左端取值 1时，( x) A(x)取值 0，因而存在客体 c使A(c) =0，于是右端 必 取值 1。

7. 当左端取值 0时，( x) A(x)取值1，因而 对论域中所有客体 x使A(x) =1，于是右端 必取值 0。 2) ( x)A(x)  ( x)[  A(x)] 这个等价式可类似地证明。 • 可见，对量词的否定包括量词互换和辖 域的否定两个方面。

8. 量词的转换可以推广到含多个量词的谓词公式。量词的转换可以推广到含多个量词的谓词公式。 ～（x）（y）（z）P(x,y,z) （x）～（y）（z）P(x,y,z) （x）（y）～（z）P(x,y,z) （x）（y）（z）～P(x,y,z)

9. 2、量词辖域的扩充与收缩(一) 设A(x) 和B都是WFF，且B不含变元 x，则 1) ( x) [A(x)  B] ( x) A(x)  B 2) ( x) [A(x)  B] ( x) A(x)  B 3) ( x) [A(x)  B] ( x) A(x)  B 4) ( x) [A(x)  B] ( x) A(x)  B 证明要点：因为 B不含变元 x，不受量词的约 束，其取值独立于指导变元。(举例:所有的同学选离散,学校明年校庆)

10. 3、量词辖域的扩充与收缩(二) • ( x) [A(x)  B(x)] ( x) A(x)  ( x) B(x) 证明要点：当左端取值 1时，对论域中任何客体x，A(x)和 B(x)必须取值 1，从而右端取值1。当左端取值 0时，必存在客体 c使A(c) =0或者B(c)=0，于是右端必取值 0。

11. ( x) [A(x)  B(x)] ( x) A(x)  ( x) B(x) 证明要点：将前式两端同时否定后得: ( x) [ A(x)   B(x)]  ( x)[A(x)]  ( x)[B(x)] 它和要证明的等价式只是在解释的顺序上 有所不同，因而本质上是同一等价式。

12. (x) (y)[A(x)  B(y)] (x) A(x)  (x) B(x) • (x) (y) [A(x)  B(y)] (x) A(x)  (x) B(x) 证明要点：这两个式子左端的B(y)不含指导变元 x，因而可以随其量词移出或移进另一量词的辖域。另外，注意指导变元和约束变元换名后不影响公式的值。

13. 4、双量词情形 • ( x) (y) A(x，y)  (y) (x) A(x，y) • ( x) ( y) A(x，y)  ( y) ( x) A(x，y) 证明要点：当第一式左端取值 1时，则对论域 中的任何客体x，y， A(x，y)的值都是 1 ，因 而右端也取值 1；当左端取值 0时。 必有客体 a，b使A(a，b)的值为 0 ，因而右端也取值 0。 同样可以证明第二式。

14. 四、前束范式 1、定义：如果公式G能等价地表示成 (Q1x1)(Q2x2)... (Qnxn)A 的形式，其中每个Q ix i 或者是x i， 或者是 x i ，而公式A中不再含有任 何量词，则称之为G的前束范式。称 A为范式的母式。

15. 例如：(x) (y)[A(x)  B(y)]是前束范式， 而(x)A(x)  (y)B(y)则不是前束范式。 2、定义：如果前束范式的母式A是析取范式， 则称该前束范式为前束析取范式；如果母 式A是合取范式，则称该前束范式为前束 合取范式。

16. 例如：(x)(y)[A(x)  B(y)]是前束析取 范式， (x)(y)[A(x,y)  (B(x)  C(y))] 是前束合取范式。 3、定理：每个谓词合适公式都存在前束合 取范式和前束析取范式。

17. 例：求公式 (x)[A(x)(y)B(y)](y)[B(y)C(y)] 的前束合取范式。 解： (x)[A(x)(y)B(y)](y)[B(y)C(y)]  (x)[(A(x)(y)B(y))  (B(x)C(x))]  (x)(y)[(A(x)B(y))(B(x)C(x))] 由此很容易得到它的前束析取范式 (对母式利用分配律即可)。

18. 将公式(（x）P(x)∨（y）R(y))（x）F(x) • 化规为前束范式。 • 解： • (（x）P(x)∨（y）R(y))（x）F(x) • ～(（x）P(x)∨（y）R(y))∨（x）F(x) •  (（x）～P(x)∧（y）～R(y))∨（x）F(x) • （（x）～P(x)∧（y）～R(y)）∨（z）F(z) • （x）（y）（z）((～P(x)∧～R(y))∨F(z)) • （x）（y）（z）((～P(x)∨F(z))∧(～R(y)∧F(z)) 作业：习题二 9（1），10，11（4) 习题2.3 1(1), 2, 3(4)

19. SKOLEM 范式 • 设谓词公式A的等价前束合取范式为： (Q1X1)(Q2X2)...(QnXn)G • 从左到右扫描量词，做如下处理： • 1）如果Qi为遇到的处于第一位的存在量词，则选择一个在G中未使用过的常量标识符号代替xi • 2）如果 Qi左边全是全称量词，则选择一个在G中未使用过的函数g，并用g(x1,x2....xi-1)替换G中的xi • 按上述方式把全部的存在量词替换后得到的公式称为skolem范式

20. SKOLEM 范式 • 例如： • ( x)(y)(z)[P(x,y) ∧~Q(y,z) ∧~R(x,y)] • 使用a替换x： • (y)(z)[P(a,y) ∧~Q(y,z) ∧~R(a,y)] • 然后，使用f(y)替换z： • (y)[P(a,y) ∧~Q(y,f(y)) ∧~R(a,y)]

21. SKOLEM 范式理解 • 例如： • (y)(z)P(z,y) ：P表示 z比y身材矮，假设z的论域为某班女生（f1,f2)，y的论域为某班男生（m1,m2)‏ • 使用f(y)替换z： • (y)P(f(y),y)‏ • 实质含义为： • P（f(m1),m1) ∧P（f(m2),m2) • 但和原式还是不等值的，因为原式为： • (P(f1,m1) P(f2,m1)) ∧ (P(f1,m2) P(f2,m2))

22. SKOLEM 范式理解 设谓词公式G的Skolem范式为S,则G为矛盾式当且仅当 S为矛盾式。 注意：只有当A是矛盾式时，S才与它同为矛盾式。一般情况下，A与S并不一定等价。

23. 第四节 谓词公式的蕴含 一、定义：设A(x)和B(x)是论域 上的两个 WFF，如果对论域上的任何解释，A(x) 取值 1 时，B(x)也取值 1， 就说A(x)在 论域上蕴含B(x)。 • 如果论域是全总个体域，就说A(x)蕴含B(x)。 • A(x)蕴含B(x)记为A(x)  B(x)。

24. 二、定理： A(x) B(x)当且仅当A(x)B(x) 是永真式。 证明要点：同命题公式蕴含情形相似， 对于任何论域，当A(x)  B(x)时，在任 何解释下A(x)取值 1时, B(x) 必取值 1， 因而A(x) B(x)恒取值 1 ，即为永真式。 反之也对。

25. 三、基本蕴含式 • 在命题逻辑中导出的蕴含式依然有效。 • (x)A(x)  (x)B(x) (x)[A(x)  B(x)] 证明要点：当左端取值 1时，则A(x)或 B(x)对任何客体 x都取值 1，从而右端 也取值 1。 • (x)[A(x)  B(x)]  (x)A(x) (x) B(x)

26. 证明要点：当左端取值 1时，则至少存在 一个客体 c 使A(c)和 B(c)都取值 1，从而 右端也取值 1。 • (x)(y)A(x, y)  ( y) (x)A(x, y) • (y)(x) A(x, y)  (x) (y)A(x, y) • (x)(y) A(x, y)  ( x) ( y) A(x, y) 以上三式可以同样类似证明。

27. E (x)(y) (y)(x) I I (x)(y) (y)(x) I I (y)(x) (x)(y) I I I I E (y)(x) (x)(y) 作业：习题二 13（1）（2），15 习题2.4 1(1)(2), 3

28. 第五节 谓词逻辑的推理 一、命题逻辑的推理规则（P、T、CP）、 推理方法（直接法、反证法、CP法） 以及基本蕴含式在谓词逻辑推理中同 样适用。

29. 二、在谓词逻辑中，除了使用命题 逻辑中的P规则、T规则和CP规 则外，还有专用于处理量词的 如下四条规则。 1、US规则：(x)A(x) A(x) 2、ES规则： ( x)A(x) A(c) 3、UG规则：A(x)  (x)A(x) 4、EG规则： A(c)  ( x)A(x)

30. 例：证明 (x)[P(x)Q(x)](x)P(x)(x)Q(x) 证明:因为右端是条件式，可采用CP法。 序号 公 式 规 则 ⑴ (x)P(x) P(附加) ⑵ ( x) [P(x)] TE ⑴ ⑶ P(c) ES ⑵

31. ⑷ (x)[P(x)Q(x)] P ⑸ P(c) Q(c) US ⑷ ⑹ Q(c) TI ⑶⑸ ⑺ (x)Q(x) EG ⑹ ⑻ (x)P(x)(x)Q(x) CP⑴⑺

32. 一、规则US的正确使用 (x)G(x)G(y) ① (x)G(x)G(c) ② ①,②成立的条件是： • x是G(x)中自由出现的客体变量。 • 当G(x)中出现量词和变元时，需限制ｙ为不在Ｇ(x)中约束出现过的客体变元。 • 在②中，c为任意的不在Ｇ(x)中出现过的客体常量。

33. 设实数集中，语句“不存在最大的实数”可符号化为：(x)(y)G(x,y)。设实数集中，语句“不存在最大的实数”可符号化为：(x)(y)G(x,y)。 其中：G(x,y)：y>x。 请看下述推导： (1).(x)(y)G(x,y)P (2).(y)G(y,y)US,⑴ 正确地推导为： (1).(x)(y)G(x,y)P (2).(y)G(z,y)US,⑴

34. 二、规则ES的正确使用 (x)G(x)G(c)③ ③成立的条件是： • x是G(x)中自由出现的个体变量。 • 在G(x)中，变元x的每一次自由出现都用相同的个体常量c代入。 • c是使G(x)为真的特定的个体常量。 • c为不在Ｇ(x)中出现过的个体常量。 • G(x)中除x以外，若还有其它自由出现的个体变量时，则必须用函数符号来取代。

35. 在上例中，接着第(2)步进行如下推导： (1).(x)(y)G(x,y)P (2).(y)G(z,y)US,(1) (3).G(z,f(z)) ES,⑵ (此时f(z)是随自由变元z的变化而变化) 但下述推导则是错误的： (1).(x)(y)G(x,y)P (2).(y)G(z,y)US,(1) (3).G(z,c)ES,(2)

36. 三、规则UG的正确使用 G(y)(x)G(x) ④ ④成立的条件和限制是： • y是G(y)中自由出现的个体变量。且y取遍整个个体域时，都有G(y)为真。 • 此时仍需限制x不能在G(y)中约束出现。

37. 请看如下推导： (1).(y)G(x,y)P (2).(y)(y)G(y,y)（y＞y）UG,(1) 结论(2)是错误的。 正确的推导为： (1).(y)G(x,y)P (2).(x)(y)G(x,y) UG,(1) 设在实数域中，令G(x)：x>0,则请看下述推导：(1).G(x)P(2).(x)G(x)UG,(1)此时结论(2)是错误的。

38. 四、规则EG的正确使用 该规则有两种形式： G(c)(x)G(x)⑤ G(y)(x)G(x)⑥ ⑤,⑥成立的条件和限制是： • c是使G(c)为真的特定的个体常量。 • 需要限制x不在G(c)中出现过。 例：请看下述推导 (1) G(x,c) P (2) (x)G(x,x) EG,(1) 错误

39. 继续使用例4.2，请看如下推导： (1).(x)(y)G(x,y)P (2).(y)G(z,y) US,(1) (3).G(z,c) ES,⑵ (4).(x)G(x,c) UG,(3) (5).(y)(x)G(x,y)EG,⑶ 显然，结论(5)是错误的。

40. G(x,y)：xy＝0，其中：x,y为实数。则句子： “存在一个y,使得对任何x,都有xy＝0” 可符号化为： (y)(x)G(x,y)。 请看下面推导： (1) (y)(x)G(x,y)P (2) (x)G(x,c)ES,⑴ (3) (x)(x)G(x,x)EG,⑵ (4) (x)G(x,x)Ｔ,⑶,E 结论(4)是错误的。 作业：习题二 16(2) 习题2.5 1(2)