5.1 运输模型 Mathematical Model of Transportation Problems 5.2 运输单纯形法

1. 5.1 运输模型 • Mathematical Model of Transportation Problems • 5.2 运输单纯形法 • Transportation Simplex Method • 5.3 运输模型的应用 • Aplication of Transportation Model • 5.4 指派问题 • Assignment problem 1

2. 销地 产地 3 A1 10 5 4 2 3 A2 8 1 6 8 B3 8 B2 7 B1 5 A3 5 2 3 2 B4 3 9 图5.1 5.1 运输问题的数学模型 5.1.1 数学模型 人们在从事生产活动中，不可避免地要进行物资调运工作。如某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别运到需要这些物资的地区，根据各地的生产量和需要量及各地之间的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。这样的问题称为运输问题。

3. 5.1.1 数 学 模 型 【例5-1】现有A1，A2，A3三个产粮区，可供应粮食分别为10，8，5（万吨），现将粮食运往B1，B2，B3，B4四个地区，其需要量分别为5，7，8，3（万吨）。产粮地到需求地的运价（元/吨）如表5-1所示，问如何安排一个运输计划，使总的运输费用最少。 表5-1 运价表（元/T）

4. 供应约束 需求约束 5.1.1 数 学 模 型 【解】设xij (i=1,2,3；j=1,2,3,4)（单位：万吨）为第i个产粮地运往第 j 个需求地的运量，得到下列运输问题的数学模型：

5. 5.1.1 数 学 模 型 【例5-2】有三台机床加工三种零件，计划第 i 台的生产任务为ai (i=1,2,3)个零件，第 j 种零件的需要量为bj (j=1,2,3)，第 i 台机床加工第 j 种零件需要的时间为cij ，如表5－2所示。问如何安排生产任务使总的加工时间最少？ 表5－2

6. 5.1.1 数 学 模 型 【解】设 xi j (i=1,2,3；j=1,2,3,)为第i台机床加工第j种零件的数量，则此问题的数学模型为

7. 5.1.1 数 学 模 型 运输问题的一般数学模型 • 设有m个产地A1，A2，…,Am，其产量分别为a1, a2, …，am • 有n个销地B1，B2，…，Bn，其需求量分别为b1, b2, …，bn • 从第 i 个产地到 j 个销地的单位运价为cij

8. 5.1.1 数 学 模 型 供求平衡

9. 5.1.1 数 学 模 型 • 供过于求 供不应求

10. 5.1.2 模 型 特 征 1. 存在可行解，也一定存在最优解。 2. 当供应量和需求量都是整数时，则一定存在整数最优解。 3. 有m+n个约束，m×n个变量。 4. 有m+n－1个基变量（定理5.1）。

11. 5.1.2 模 型 特 征 【定理5.1】设m有个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为m+n-1。 【定理5.3】m+n－1个变量组构成基变量的充要条件是它不包含任何闭回路。

12. B1 B2 B3 B4 B5 A1 A2 A3 x35 A4 x43 x12 x11 x25 x23 x31 x42 5.1.2 模 型 特 征 为一个闭回路 ，集合中的变量称为闭回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。 表5－3 变量集合{x11, x12, x42, x43, x23, x25, x35, x31}组成一个闭回路。共有8个顶点。 一条回路中的顶点数一定是偶数。

13. B1 B2 B3 A1 A2 A3 x11 x12 A4 x32 x33 x41 x43 表5－4中闭回路是 5.1.2 模 型 特 征 表5－4

14. 5.1 运输问题的数学模型 本节学习要点 本节介绍了具有m个产地n个销地的平衡运输问题 1. 具有m+n－1个基变量 2. 闭回路的概念 3. 怎样判断m+n－1个变量是否构成一组基变量

15. 5.2 运输问题的表上作业法 平衡运输问题的数学模型为：

16. 5.2 运输问题的表上作业法 表上作业法的步骤 第一步：求初始基本可行解（初始调运方案）。 常用的方法有最小元素法、元素差额法（Vogel近似法）、左上角法。 第二步：求检验数并判断是否得到最优解。常用求检验数的方法有闭回路法和位势法，当全部非基变量的检验数λij≥0时得到最优解，若存在检验数λlk<0，说明还没有达到最优，转第三步。 第三步：调整运量（即换基迭代）。选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基本可行解，转入第二步。

17. 1. 最小元素法：最小元素法的思想是就近优先运送，即最小运价cij对应的变量xij优先赋值 然后再在剩下的运价中取最小运价对应的变量赋值并满足约束，依次下去，直到最后得到一个初始基可行解。 5.2.1 求初始基本可行解 可以证明： 用最小元素法得到的一组xij构成基本可行解。

18. 5.2.1 求初始基本可行解 【例5-3】求表5－6所示的运输问题的初始基本可行解。 表5－6

19. 5.2.1 求初始基本可行解 【解】 表5－7～5－9 × 60 10 × × × 20 30 10 × 10 ×

20. 5.2.1 求初始基本可行解 基可行解可用矩阵 表示。矩阵X 中空白处对应的变量是非基变量，运量等于零，这组解就是初始调运方案。 总运费为Z=3×60+8×10+5×20+1×30+2×10+9×10=500

21. 5.2.1 求初始基本可行解 【例5-4】求表5-10给出的运输问题的初始基本可行解。 表5-10

22. 5.2.1 求初始基本可行解 【解】 表5-11 × 0 × 10 10 15 × × × 10 × × 5

23. X= 5.2.1 求初始基本可行解 初始基本可行解可用下列矩阵表示 基变量恰好是3+4－1=6个，且不包含闭回路。

24. 5.2.2 求 检 验 数 求最小值的运输问题的最优判别准则： 当λij≥0 时运输方案最优 求检验数的方法有两种，闭回路法和位势法。 1．闭回路法 在基本可行解矩阵中，以非基变量为起点，以基变量为其它顶点，找一条闭回路，由起点开始，分别在顶点上交替标上代数符号+、-、+、-、…，以这些符号分别乘以相应的运价，其代数和就是这个非基变量的检验数。

25. 5.2.2 求 检 验 数 【例5-7】用闭回路法求例5-3表5-9的检验数。 【解】用最小元素法求得初始调运方案 × 60 10 × × × 20 30 10 × 10 ×

26. 求λ11: 先找出x11的闭回路 ， 对应的运价为 5.2.2 求 检 验 数 表中打“×”的位置是非基变量，其余是基变量，这里只求非基变量的检验数。 - + - +

27. 这里λ34<0，说明这组基本可行解不是最优解。

28. 5.2.2 求 检 验 数 只要求得的基变量是正确的, 且数目为m+n－1，则每个非基变量的闭回路存在且唯一，因而检验数唯一。

29. 5.2.2 求 检 验 数 2．位势法 位势法求检验数是根据对偶理论推导出来的一种方法。 • （1）列位势方程组：（基变量格）cij=ui+vj • ui代表产地Ai的位势量（行位势），vj代表销地Bj • 的位势量（列位势）。 • 令u1=0，计算各行各列的位势量。 • （2）计算非基变量检验数（基变量的检验数为0） • （空格）λij= cij–(ui+vj)

30. 5.2.2 求 检 验 数 【例5-8】用位势法求例5-3表5-9给出的初始基本可行解的检验数。 表5-9 60 10 × × 20 30 × × 10 10 × ×

31. 令 u1=0 第二步由公式 求出检验数。 5.2.2 求 检 验 数 【解】第一步求位势量

32. 表5-9 × 60 10 × × × 20 30 10 × 10 ×

33. 第一步：确定进基变量 5.2.3 调 整 运 量 当某个检验数λlk<0时，基可行解不是最优解，总运费还可以下降，这时需调整运输量，改进原运输方案，使总运费减少，改进运输方案的步骤是： 第二步：确定出基变量 在进基变量xik的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量θ，θ对应的基变量为出基变量，并打上“×”以示作为非基变量。 第三步：调整运量 在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量θ，标有负号的变量减去调整量θ，其余变量不变，得到一组新的基可行解。

34. 5.2.3 调 整 运 量 • 【例5-9】求例5-3的最优解 • 【解】1、初始调运方案为 × 60 10 × × × 20 30 10 × 10 ×

35. 5.2.3 调 整 运 量 • 2、检验：λ34=-3<0，这组基本可行解不是最优解。 • 3、调整： 调整量θ=10 × 60 10 × + - × × 20 30 - + 10 × 10 ×

36. 最优解为 最优值Z=470 5.2.3 调 整 运 量 × 60 10 × × × 30 20 10 × × 10 4、再检验：λ11=5,λ14=0,λ21=6,λ22=6,λ32=9,λ33=3

37. 5.2.3 调 整 运 量 【例5-10】求下列运输问题的最优解 【解】（1）用最小元素法求初始基本可行解 表5-17

38. （2）检验：求非基变量的检验数

39. 非基变量x11进基. （3）调整运量 - x11的 闭回路 - - x33最小，x33是出基量，即：x11进基, x33出基。

40. 5.2.3 调 整 运 量 Z2=1105=Z1-60=1165-60

41. （4）再检验：求所有非基变量的检验数 λ13=3，λ22=0，λ24=7，λ31=1，λ33=4，λ34=－1 λ34=－1<0, 说明还没有得到最优解，x34进基。 （5）再调整：

42. 5.2.3 调 整 运 量 调整运量得到： 再求非基变量的检验数： λ13=3，λ14=1，λ22=0，λ24=8，λ31=1，λ33=4

43. 5.2.3 调 整 运 量 所有检验数λij ≥0, 因而得到最优解 最小运费 注意： 还可选取λ22=0为主元素再调整，得另一最优方案。 一般地，若某个非基变量的检验数=0，表明该运输问题有多个最优解。

44. 【例5-11】有四项工作指派给甲、乙两人完成，每人完成两项工作。两人完成各项工作的时间（小时）见表5-18，怎样安排工作使总时间最少。【例5-11】有四项工作指派给甲、乙两人完成，每人完成两项工作。两人完成各项工作的时间（小时）见表5-18，怎样安排工作使总时间最少。 【解】设xij(i=1,2；j=1,2,3,4)为第i人完成第j项工作的状态 表5-18

45. 5.2.3 调 整 运 量 表5-20 表5-19 最优的工作分配方案是： 甲完成工作C和D，乙完成工作A和B 总时间Z＝47（小时）

46. 5.2.4 最大值问题 设数学模型为

47. 5.2.4 最大值问题 第一种方法：将极大化问题转化为极小化问题。 设极大化问题的运价表为C=（cij）m×n，用一个较大的数M（M≥max{cij}）去减每一个cij得到矩阵C′=(c′ij)m×n，其中c/ij=M－cij≥0, 将C/作为极小化问题的运价矩阵，用表上作业法求出最优解，目标函数值为 第二种方法: 求初始运输方案可采用最大元素法，所有非基变量的检验数λij≤0 时最优。

48. 【补充例】作物布局问题 • 某农场有土地900亩。这些土地因土壤的肥沃程度和水源条件不同，可以分成三类。现在农场要在这三类土地上计划种植三种作物；各类土地亩数、计划播种面积，以及各种作物在各类土地上的亩产量（单位：公斤）如下表。如何因地制宜安排作物布局，才能使作物总产量最多？

49. 5.2.4 最大值问题 • 【解法1】用最大元素法作初始方案 × × 100 × 100 300 × × 0 400

50. 最优解判别准则 • 若检验数λij≤0，则方案为最优方案。 • 调整一次，得最优布局方案 最大总产量 Z=580000(公斤)