第一章数字逻辑基础

第一章数字逻辑基础 • 学习要点 • 码制和数制及数制间的相互转换 • 基本逻辑运算 • 逻辑代数的公式定理和规则 • 逻辑函数的表示方法 • 逻辑函数的化简方法

1.1 数字电路简介 ●数字电路的特点电子电路所处理的电信号可以分为两大类:一类是在时间和数值上都是连续变化的信号,称为模拟信号例如电流、电压等；另一类是在时间和数值上都是离散的信号，为数字信号。传送和处理数字信号的电路，称为数字电路。

1.2 数制和码制 ５×１０３＝５０００ 103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。５×１０２＝　５００５×１０１＝　　５０任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。５×１００＝　　　５＝５５５５ 1.2.1、数制 1.十进制(Decimal):基数是10。十进制数的权展开式：５５５５同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。即：(5555)10＝5×103＋5×102＋5×101＋5×100

各数位的权是２的幂 各数位的权是8的幂 2、二进制: 数码为：0、1；基数是2。二进制数的权展开式： (101.01)2＝ 1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1 ×2－2 ＝(5.25)10 3、八进制: 数码为：0～7；基数是8。八进制数的权展开式： (207.04)10＝ 2×82＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4 ×8－2 ＝(135.0625)10

5.数制间转换 (1)二进制转换成十进制例1.2.1 将二进制数10011.101转换成十进制数。解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得 (10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3 ＝（19.625)D 4.十六进制数码为：0～15；基数是16。十六进制数的权展开式：((D8.A)2＝ 13×161＋8×160＋10 ×16－1＝(216.625)10 各数位的权是16的幂

b 0 b 1 读取 b 2 次 b 3 序 b 4 (2).十进制转换成二进制例1.2.2 将十进制数23转换成二进制数。解：用“除2取余”法转换: 2 23 ………余1 2 11 2 5 ………余1 2 2 ………余1 ………余0 2 1 ………余1 0 则（23)D =（10111)B

(374.26)8 = 011 111 100 . 010 110 （3）二进制数转换为八进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。 0 0 1 1 0 1 0 1 0 . 0 1 0 ＝ (152.2)8 （4）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。

1.2.2、码制 BCD码——用二进制代码来表示十进制的0～9十个数。要用二进制代码来表示十进制的0～9十个数，至少要用4位二进制数。4位二进制数有16种组合，可从这16种组合中选择10种组合分别来表示十进制的0～9十个数。选哪10种组合，有多种方案，这就形成了不同的BCD码。

1.3 基本逻辑运算 1.3.1、基本逻辑运算 1)与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。设:1表示开关闭合或灯亮； 0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表。记作：

2)或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以2)或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。可写为：L＝A+B

L＝Ａ 3)非运算——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。若用逻辑表达式来描述，则可写为：

2)或非 ——由或运算和非运算组合而成。 1.3.2、其他常用逻辑运算 1)与非 ——由与运算和非运算组合而成。

3)异或

 逻辑代数的公理有：  (1) 1 =0 ; 0 =1 (2) 1·1=1 ; 0+0=0 (3) 1·0=0·1=0 ; 1+0=0+1=1 (4) 0·0=0 ; 1+1=1 (5) 如果A≠0, 则A=1 ; 如果A≠1, 则A=0。 4)运算定理

逻辑代数的基本定理有：  （1）交换律： A·B=B·A； A+B=B+A （2）结合律：A(BC)=(AB)C； A+(B+C)=(A+B)+C （3）分配律： A(B+C)=AB+AC； A+BC=(A+B)(A+C) （4） 01 律： 1·A=A； 0+A=A 0·A=0； 1+A=1 （5）互补律： A· =0； A+ =1 （6）重叠律： A·A=A； A+A=A （7）反演律——德·摩根定律：；（8）还原律：

例如,在等式B(A+C)=BA+BC中,将所有A用函数(A+D)代替,则：例如,在等式B(A+C)=BA+BC中,将所有A用函数(A+D)代替,则：左边为B［(A+D)+C］=B(A+D)+BC=BA+BD+BC 右边为B(A+D)+BC=BA+BD+BC 显然，等式仍然成立。  1.4 逻辑代数的基本定理及常用公式 1）代入规则在任何一个含有变量A的逻辑代数等式中，如果将出现A的所有地方都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。

2）反演规则 已知逻辑函数F，将其中所有的与“·”换成或“+”，所有的或“+”换成与“·”； “0”换成“1”， “1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得F的反函数。这个规则称为反演规则。  利用反演规则，可以较容易地求出一个函数的反函数。但变换时要注意两点，一点是要保持原式中逻辑运算的优先顺序；另一点是，不是一个变量上的反号应保持不变。

解:第一步：设置自变量和因变量。 第二步：状态赋值。对于自变量A、B、C设：同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。对于因变量L设：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。 1.5 逻辑函数及其表示方法 1.5.1、逻辑函数例1.5.1 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。

一般地说，若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的逻辑函数，写作：一般地说，若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的逻辑函数，写作： L=f（A，B，C…）逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。（2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。

1.5.2、逻辑函数的常用表示方法 1．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。 2．函数表达式——由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。

一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。 3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。

函数的卡诺图表示法 卡诺图就是将逻辑函数的最小项按一定规则排列而构成的正方形或矩形的方格图。图中分成若干个小方格，每个小方格填入一个最小项，按一定的规则把小方格中所有的最小项进行合并处理，就可得到最简的逻辑函数表达式。 1.5.3、逻辑函数的卡诺图三变量卡诺图两变量卡诺图

四变量卡诺图 五变量卡诺图

卡诺图的小方格中的数字代表相应最小项的编号。由逻辑函数的最小项表达式， 就可以得到该逻辑函数相应的卡诺图。 例 1.5.2 画出逻辑函数 F(A, B, C, D)=∑m(0, 1, 2, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 15)卡诺图 

例1.5.3 如图所示逻辑图 解： 1.5.4.各种表示方法之间的转换 !!!同学将其转化成卡诺图,并画出真值表

（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。 3个变量A、B、C可组成8个最小项：（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。 3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：

（3）最小项的性质： ①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。 ②任意两个不同的最小项的乘积必为0。 ③全部最小项的和必为1。

对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1 和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式. （4）最小项表达式

m1＝ABC m5＝ABC m1＝ABC m3＝ABC 如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。

在各种逻辑函数表达式中，最常用的是与或表达式，在各种逻辑函数表达式中，最常用的是与或表达式，由它很容易推导出其他形式的表达式。与或表达式就是用逻辑函数的原变量和反变量组合成多个逻辑乘积项，再将这些逻辑乘积项逻辑相加而成的表达式。例如， F=AB+AC 就是与或表达式。所谓化简，一般就是指化为最简的与或表达式。  判断与或表达式是否最简的条件是：  （1）逻辑乘积项最少； （2）每个乘积项中变量最少。 1.6 逻辑函数的公式化简法 1.6.1、化简的意义

●其他最简形式最简与非-与非表达式: 非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。

最简与非-与非表达式 非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。最简或与表达式表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。

最简或非-或非表达式 非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。最简与或非表达式　非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。

1. 并项法 利用公式A+ =1，将两项合并为一项。 2. 吸收法 利用公式A+AB=A，吸收掉多余的项。 3. 消去法 利用公式 A+ =A+B ，消去多余的因子。 4. 配项法 利用公式A=A+ A 5. 消去冗余项法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ 1.6.2、代数化简法

例 1.6.1 用公式法化简： F=AB+ 解：

 利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为逻辑函数的卡诺图化简法。基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，消去不同的因子。 1.6.3、卡诺图化简法

　（1）任何两个（2n个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量　（1）任何两个（2n个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量

（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。

　ＢＤＢＤＡＤＢＤ

Ｂ（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。小结：相邻最小项的数目必须为个才能合并为一项，并消去个变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。Ｄ

●用卡诺图化简法求最简与或表达式的步骤是：  (1) 画出函数的卡诺图；  (2)合并相邻最小项；  (3) 写出最简与或表达式。例 1.6.2 用卡诺图化简法求逻辑函数 F(A, B, C)=∑（1, 2, 3, 6, 7)最简与或表达式。  解： 1. 画出该函数的卡诺图。 2.得到最简与或表达式：

例 1.7.3 用卡诺图化简函数 F(A, B, C, D)= F=？

在用卡诺图化简时最关键的是画圈这一步。 化简时应注意以下几个问题:  (1) 列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量的个数，并画出最小项表达式对应的卡诺图。  (2) 按照2k个方格来组合即圈内的1格数必须为1，2，4，8等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多，与项中的变量就越少。  (3) 每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。 (4)卡诺图化简得到的最简与或式不一定是惟一的。 

1.6.4、具有无关项的逻辑函数极其化简 ●约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项实际应用中经常会遇到这样的问题，对于变量的某些取值，根本不会出现。例如，某逻辑电路的输入为8421BCD码，显然信息中有 6个变量组合（1010～1111）是不使用的，这些变量取值所对应的最小项称为约束项。电路正常工作，这些约束项决不会出现，那么与这些约束项对应的输出是什么，也就无所谓了，可以假定为1，也可以假定为0称之为任意项。 约束项、任意项统称为无关项。

化简具有无关项的逻辑函数时，无关项在逻辑函数表达式中用 d(…)表示。无关项在真值表或卡诺图中用×表示。  例 1 用卡诺图化简逻辑函数 F(A, B, C, D)=∑m(1, 3, 7, 11, 15)+∑d(0, 2, 9)。解：该逻辑函数的卡诺图如图所示。（1）

（2） （3）作业：１.１，１.３，１.９，１.１５，１.２０，１.２５

本章小结 1 .数字信号在时间上和数值上均是离散的。 2 .数字电路中用高电平和低电平分别来表示逻辑1和逻辑0，它和二进制数中的0和1正好对应。因此，数字系统中常用二进制数来表示数据。 3 .常用BCD码有8421码、242l码、542l码、余3码等，其中842l码使用最广泛。 4 .逻辑运算中的三种基本运算是与、或、非运算。 5 .常用的逻辑函数表示方法有真值表、函数表达式、逻辑图等，它们之间可以任意地相互转换。 6 .逻辑函数的化简方法。

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