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邏輯閘層次的最小化

邏輯閘層次的最小化. Chapter 3. 3-1 簡介. 邏輯閘層次的最小化 (gate-level minimization) 可歸類為求取描述數位電路之布林函數的最佳化閘 - 層次執行電路的設計工作。. 3-2 圖示法. 結構十分複雜的數位邏輯閘電路 複雜的布林函數表示式 邏輯化簡方法 代數的化簡 : 缺少特定的原則來預知化簡的下一步驟 卡諾圖法 簡單直接的方法 可以視為是真值表的圖解 applicable if the # of variables < 7 卡諾圖是由許多正方形構成的圖 每一方格代表所欲化簡函數的一個全及項. 布林函數

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邏輯閘層次的最小化

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  1. 邏輯閘層次的最小化 Chapter 3

  2. 3-1簡介 • 邏輯閘層次的最小化 (gate-level minimization)可歸類為求取描述數位電路之布林函數的最佳化閘-層次執行電路的設計工作。

  3. 3-2 圖示法 • 結構十分複雜的數位邏輯閘電路 • 複雜的布林函數表示式 • 邏輯化簡方法 • 代數的化簡:缺少特定的原則來預知化簡的下一步驟 • 卡諾圖法 • 簡單直接的方法 • 可以視為是真值表的圖解 • applicable if the # of variables < 7 • 卡諾圖是由許多正方形構成的圖 • 每一方格代表所欲化簡函數的一個全及項

  4. 布林函數 • 全及項之和 • 以最簡形式表示成積項和或是和項積 • 項數最少 • 且每一項的文字變數最少 • 最簡表示式並不是唯一的

  5. 二變數卡諾圖 • 二變數卡諾圖 • 四個全及項 • x' = 0那一列; x = 1那一列y' = 0那一行; y = 1那一行 • a truth table in square diagram • xy = m3 • x+y = x‘y+xy‘+xy=m1+m2+m3

  6. 三變數卡諾圖 • 三個變數共有8個全及項，圖中包含8個方格 • 葛雷碼的順序排列 • 相鄰的行只有一個位元變化 • 有撇號與沒有撇號相鄰方格即可化簡 • 例如：m5 與m7便可化簡 • m5+ m7 = xy'z + xyz = xz (y'+y) = xz

  7. 例題 3-1 • F(x, y, z) = ∑(2, 3, 4, 5) • F = x'y + xy'

  8. m0與m2(m4與m6)相鄰 • m0+ m2= x'y'z' + x'yz' = x'z' (y'+y) = x'z' • m4+ m6= xy'z' + xyz' = xz' (y'+y) = xz'

  9. 例題 3-2 • F(x, y, z) = ∑(3, 4, 6, 7) = yz+ xz'

  10. 任何4個相鄰的方格 • 方格0, 2, 4與6 或者方格1, 3, 5與7 • m0+m2+m4+m6 = x'y'z'+x'yz'+xy'z'+xyz' = x'z'(y'+y) +xz'(y'+y) = x'z' + xz‘ = z' • m1+m3+m5+m7 = x'y'z+x'yz+xy'z+xyz =x'z(y'+y) + xz(y'+y) =x'z + xz = z

  11. 例題 3-3 • F(x,y,z) = ∑(0,2,4,5,6) • F = z'+ xy'

  12. 例題 3-4 • 已知布林函數 F = A'C + A'B + AB'C + BC (a)將函數表示成全及項的和。 (b)求出函數之最簡積項和表示式。 • 函數表示成全及項之和的形式為F(A, B, C) = ∑(1, 2, 3, 5, 7)F=C+A’B

  13. 3-3 四變數卡諾圖 • 圖3-8所示為四變數的布林函數卡諾圖。 • 圖(a) 部分有16個方格，每一個方格分別代表16個全及項中的一個。 • 圖(b) 部分畫出各方格與四變數間的關係，行與列均以葛雷碼的順序標明。 • 每兩個相鄰的行或列之間，只有一個變數的值改變。 • 每一個方格所對應的全及項可以由行數與列數的配合而得。

  14. 相鄰方格的合併  簡化過程  由四變數卡諾圖即可很容易地直接觀察得到： • 圖(a) 部分有16個方格，每一個方格分別代表16個全及項中的一個。

  15. 例題 3-5 • F(w,x,y,z) =S (0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) • F = y'+w'z'+xz'

  16. 化簡布林函數 F = ABC + BCD + ABCD + ABC F= B’D’ + B’C’ + A’CD’ • 例題 3-6

  17. 質含項 • 在卡諾圖中選擇相鄰的方格時，我們必須確認： (1) 在合併方格時函數所有的全及項全都包含到； (2) 表示式中的項數必須為最少； (3) 沒任何多餘的項 (亦即全及項均已由其他項所包含)。 • 所謂質含項 (prime implicant) 就是在卡諾圖中可以合併的最大可能相鄰的方格所得到的積項。 • 假如在一個方格的一個全及項只被一個質含項所包含，則此質含項即稱為基本質含項 (essential prime implicant)。

  18. 考慮 • 簡化的表示式可能並非為唯一 • F = BD+B'D'+CD+AD = BD+B'D'+CD+AB = BD+B'D'+B'C+AD = BD+B'D'+B'C+AB'

  19. 3-4 和項積的化簡 • 方法 #1 • 以積項之和的形式化簡F' • 應用迪摩根定理：F = (F')' • F'：項積和 => F：和項積 • 方法#2：對偶性 • 全或項之組合 (原為全及項) • M0M1 = (A+B+C+D)(A+B+C+D') = (A+B+C)+(DD') = A+B+C

  20. 例題 3-7 • F = S(0,1,2,5,8,9,10) • F' = AB+CD+BD' • 應用迪摩根定理; F=(A'+B')(C'+D')(B'+D) • 或者將之看成全或項

  21. 例題3-7化簡後之布林函數的電路圖：

  22. 考慮表3-1所定義的真值表的函數 以全及項和的形式： 以全或項積的形式： 取 F的補數

  23. 考慮在表3-1所定義的真值表的函數 以全及項和的形式(合併所有1的方格)此函數則可表示為： 全或項積的形式(合併所有0的方格)此函數則可表示為:

  24. 3-5 不理會條件 • 有些應用對於函數的某些變數的組合是沒有指定的： • BCD碼 1010-1111：不理會條件 • 不理會條件可以使用在卡諾圖上，以提供布林表示式更進一步的化簡。 • 不理會條件在卡諾圖中最初是標示為 X。 • 不理會條件可以假設為0或是1。 • 例題 3-8 • F (w,x,y,z) = S (1,3,7,11,15) • d (w,x,y,z) = S (0,2,5)

  25. F = yz + w'x'; F = yz + w'z • F = S(0,1,2,3,7,11,15) ; F = S(1,3,5,7,11,15) • 上述兩種表示式都滿足這個例題所要的條件。 • 對於圖3-15的函數同樣也可以得到簡化的和項積表示式。

  26. 3-6 NAND及NOR閘的應用 • NAND閘又稱為萬用閘 (universal gate) • 任何布林函數均可以利用NAND閘實現

  27. 兩個NAND閘等效的圖示符號如圖3-17所示。 • AND-反相符號先前已經定義過，其中包含一個AND閘後面跟著一個小圓的否定指示就像是一個小氣泡。 • 也可以將NAND閘表示成在其每個輸入之前都具有小圓的OR圖示符號。 • 反向-OR符號對應於NAND閘可以由迪摩根定理以及否定指示象徵補數的方法而來。

  28. 二階電路 • 二階電路：如果要用NAND閘來完成布林函數，則須先將函數簡化為積項和的形式。 • NAND-NAND = 積項和 • 例題： F = AB+CD • F = ((AB)' (CD)' )' =AB+CD

  29. 例題 3-9

  30. 從布林函數推導出NAND邏輯圖的步驟如下： 1. 將函數簡化成積項和的形式。 2. 將表示式中至少含有2個字元的每一個積項用一個NAND閘來表示。每個NAND閘的輸入為每一項中的變數。此步驟構成邏輯電路圖的第一階邏輯閘。 3. 在第二階的部分使用單一個AND-反相或反相-OR閘的圖示符號來表示，而其輸入來自第一階閘的輸出。 4. 若函數中有任一項只含一個文字 (變數)，則在第一階需要一個反相器。然而，若將單一個字元取補數，則可以直接將它連接到第二階NAND閘的一個輸入。

  31. 多階NAND電路 • 布林函數的實現 • AND-OR邏輯 => NAND-NAND邏輯 • AND => NAND + 反相器 • OR：反相器 + OR = NAND • 使用混合表示法將一個多階AND-OR電路圖轉換成一個全部是NAND閘電路圖的一般步驟，如下列所示： 1. 將所有的AND閘使用AND-反相圖形符號的NAND閘來取代。 2. 將所有的OR閘使用反相-OR圖形符號的NAND閘來取代。 3. 檢查圖中所有的小圓泡，在沿著同一條線上的每一個小圓泡若不是用來補償其他小圓泡的話，則插入一個反相器 (一個輸入的NAND閘) 或是將輸入字元取補數。

  32. NAND閘電路的實現

  33. NOR閘電路的實現 • NOR 函數為 NAND函數之對偶 • NOR閘亦為萬用閘 (universal gate)

  34. 兩個NOR 閘等效的圖示符號如圖3-23所示。 例題：F = (A + B)(C + D)E

  35. 例題：F = (AB + AB)(C + D)

  36. 3-8 互斥-OR函數 • 互斥-OR函數[Exclusive-OR (XOR)] • x Å y = xy'+x'y • 互斥-NOR (XNOR) • (xÅy)' = xy + x'y' • 一些恆等式 • xÅ0 = x • xÅ1 = x' • xÅx = 0 • xÅx' = 1 • xÅy' = (xÅy)' • x'Åy = (xÅy)' • 交換性與結合性 • AÅB = BÅA • (AÅB) ÅC = AÅ (BÅC) = AÅBÅC

  37. 電路實現 • (x'+y')x + (x'+y')y = xy'+x'y = xy

  38. 奇函數 • ABC = (AB'+A'B)C' +(AB+A'B')C = AB'C'+A'BC'+ABC+A'B'C = S (1,2,4,7) • 奇數個變數等於1

  39. 奇函數與偶函數的邏輯圖

  40. 四變數的互斥-OR函數(運算) • AÅBÅCÅD = (AB’+A’B)Å(CD’+C’D) = (AB’+A’B)(CD+C’D’)+(AB+A’B’)(CD’+C’D)

  41. 同位產生器與檢查 • 同位產生器與檢查 • 偶同位位元： P = xÅyÅz • 同位檢查器： C = xÅyÅzÅP • C =1：奇數個資料位元錯誤發生 • C = 0：資料正確或偶數個資料位元錯誤發生

  42. 同位產生器與檢查

  43. 同位產生器與檢查

  44. Lab 1 設計 F(w,x,y,z)=∑m(0,1,2,3,6,7,8,10,12,14,15) 的電路

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