Matematyka Architektura i Urbanistyka Semestr 1

MatematykaArchitektura i UrbanistykaSemestr 1

Algebra liniowaII. Analiza matematyczna1. Rachunek różniczkowy 2. Rachunek całkowyIV. Geometria analitycznaV. Logika matematyczna

II. Analiza matematyczna • Rachunek różniczkowy • Rachunek całkowy

II. Analiza matematycznaJest to dział matematyki poświęcony badaniu funkcji.II.1. Rachunek różniczkowy Oznaczenia: y=f(x) – funkcja jednej zmiennej x – zmienna niezależna y – wartość funkcji f(x) Δx – przyrost zmiennej niezależnej (Δx<0 lub Δx>0, ale Δx ≠ 0 Δy= Δf – przyrost wartości funkcji Def. II.1 (ilorazu różnicowego) Iloraz różnicowy funkcji f(x) dla przyrostu Δx: II.1.1 Pochodna funkcji

Przykład: y=f(x) =x2 Iloraz różnicowy to tangens kąta nachylenia siecznej do wykresu funkcji f(x) Znaczenie praktyczne: Niech zmienną niezależną x jest czas t, a funkcją f(x) – droga s(t). Iloraz różnicowy funkcji s(t) dla przyrostu Δt to prędkość średnia w odcinku czasu Δt

Def. II.2 (pochodnej funkcji) Pochodna f’(x) funkcji f(x) to granica ilorazu różnicowego przy Δx dążącym do 0 Pochodna funkcji f(x) to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f(x)

Przykład poprzedni: y=f(x) =x2 Znaczenie praktyczne: Niech zmienną niezależną x jest czas t, a funkcją f(x) – droga s(t). Pochodna funkcji s(t) dla przyrostu Δt to prędkość chwilowa w chwili t. Oznaczenia pochodnej funkcji y=f(x)

II.1.2 Obliczanie pochodnych funkcji W najprostszych przypadkach można pochodną obliczać wprost z definicji 39. Przykład: funkcja stała f(x)=c Podobnie można obliczyć z definicji pochodne innych funkcji: funkcja pochodna Takie proste funkcje trafiają się rzadko. Na ogół trzeba korzystać z twierdzeń

Tw. II.1 (o pochodnej operacji arytmetycznych) Jeżeli funkcje f(x) i g(x) posiadają pochodne f’(x) i g’(x), to: [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x) [f(x) g(x)]’ = f’(x)g’(x) [f(x)g(x)]’ = f’(x) g(x)+f(x) g’(x) Jeżeli g(x)≠0, to Przykłady: funkcja pochodna

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej można obliczyć pochodne kolejnych funkcji: funkcja pochodna warunki

Tw. II.2 (o pochodnej funkcji złożonej y=f(x)) Jeżeli funkcje u=h(x) i y=f(u) posiadają pochodne h’(x) i f’(u), to:funkcja złożonay=f[h(x)] ma pochodną y’=f’(u) h’(x), gdzie w miejsce u trzeba podstawić h(x). Przykłady: y = sin 10x y = = sin u, u=10 x y’ = cos u * 10 = 10 cos 10x Tw. 24 można stosować do funkcji wielokrotnie złożonej Przykład:

II.1.3 Pochodne wyższych rzędów • Def. II.3 (pochodnych wyższych rzędów) • Druga pochodna f’’(x) funkcji f(x) to pochodna pierwszej pochodnej • f’’(x)=[f’(x)]’ • Pochodna n-tego rzędu do pochodna pochodnej o jeden rząd niższej • f(n)(x)=[f(n-1)(x)]’ • Przykłady: • f(x)=xex Obliczyć f’’(x) • f’(x)=ex +xex =(x+1)ex ; f’’(x)= ex + (x+1)ex =(x+2)ex • f(x)=3x3+7x2-4x+8 Obliczyć f(4)(x) • f’(x)=9x2+7x-4; f’’(x)=18x+7; f’’’(x)=18; f(4)(x) =0

II.1.4 Analiza funkcji w oparciu o pochodne II. 1. 4. 1 Przyrost lub malenie funkcji – znak pierwszej pochodnej f’(x)>0 - funkcja rośnie f’(x)<0 - funkcja maleje f’(x)=0 - funkcja jest stała albo funkcja ma w tym punkcie maksimum albo funkcja ma w tym punkcie minimum

II. 1. 4. 2 Ekstremum funkcji (lokalne) Ekstremum to wspólna nazwa dla minimum i maksimum. Tw. II.3 (Fermata) – warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli funkcja y=f(x) ma w pewnym punkcie x0 ekstremum, to f’(x0)=0 Ale niekoniecznie odwrotnie: jeżeli f’(x0)=0, to funkcja może w tym miejscu mieć ekstremum, ale nie musi (np. funkcja stała na pewnym odcinku) Tw. II.4 (pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli f’(x0)=0 i pochodna zmienia znak w x0 , to funkcja ma ekstremum w x0 . Dokładniej: Jeżeli dla x< x0f’(x)<0, f’(x0)=0, a dla x> x0f’(x)>0, to funkcja ma minimum w x0 Jeżeli dla x< x0f’(x)>0, f’(x0)=0, a dla x> x0f’(x)<0, to funkcja ma maksimum w x0 Twierdzenie oczywiste, ale na ogół niewygodne do stosowania

Tw. II.5 (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum) postać uproszczona Jeżeli f’(x0)=0 i f’’(x0)≠0 , to funkcja ma ekstremum w x0 . Dokładniej: Jeżeli f’(x0)=0 i f’’(x0)>0 , to funkcja ma minimum w x0 Jeżeli f’(x0)=0 i f’’(x0)<0 , to funkcja ma maksimum w x0 Twierdzenie nieoczywiste, ale bardzo wygodne do stosowania Przykład: f(x)=x2-3x+4 f’(x)= 2x-3 f’(x)=0 dla 2x=3 czyli x0= 1,5 f’’(x0)=2>0 Funkcja ma minimum w punkcie x0= 1,5

II. 1. 4. 3 Wklęsłość i wypukłość funkcji Def. II.4 (pochodnych wyższych rzędów) Gdy druga pochodna f’’(x)>0 dla a<x<b, to mówimy, żefunkcja f(x) jest wypukła na odcinku (a,b) Gdy druga pochodna f’’(x)<0 dla a<x<b, to mówimy, żefunkcja f(x) jest wklęsła na odcinku (a,b)

II.2. Rachunek całkowy II.2.1 Całka nieoznaczona II.2.1.1 Funkcja pierwotna i całkowanie Poszukiwanie funkcji, której pochodną znamy nazywamy całkowaniem Inaczej Całkowanie to operacja odwrotna do różniczkowania Def. II.4 (funkcji pierwotnej) F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f’(x) jeżeli dla każdego x F’(x)=f(x) albo inaczej: Należy zwrócić uwagę, że f’(x)=[f(x)+C], np. (2x)’=2 i (2x+87)’=2, zatem Dla danej funkcji ciągłej*f(x) istnieje nieskończenie wiele funkcji pierwotnych, różniących się między sobą o stała C. *Funkcja ciągła to taka, której wykres można narysować nie odrywając ołówka od kartki papieru

II.2. Rachunek całkowy II.2.1 Całka nieoznaczona II.2.1.1 Funkcja pierwotna i całkowanie Def. II.5 (całki nieoznaczonej) Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji f(x) nazywa się całką nieoznaczoną tej funkcji i oznacza symbolem f(x) – funkcja podcałkowa C – stała całkowania x – zmienna całkowania Całka nieoznaczona to rodzina funkcji przesuniętych równolegle o stałą C.

II.2. Rachunek całkowy II.2.1 Całka nieoznaczona II.2.1.1 Funkcja pierwotna i całkowanie • Definicja całkowania jest niekonstruktywna– nie mówi, jak obliczać funkcję pierwotną • Różniczkowanie prostych funkcji, tzw. elementarnych (potęgowa, wykładnicza, trygonometryczna i odwrotne do nich) dawało w wyniku funkcję elementarną. Dla całkowania tak nie musi być! Całka z funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną!!! • Całki nie dadzą się wyrazić przez funkcje elementarne. • A czy w ogóle istnieją takie całki? • Tw. II.6 • Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w pewnym przedziale, to posiada w tym przedziale funkcję pierwotną czyli jest całkowalna. • Zatem w praktyce wszystkie funkcje są całkowalne.  • Niestety, obliczanie całek jest trudne 

II.2. Rachunek całkowy II.2.1 Całka nieoznaczona II.2.1.2 Obliczanie całek Podstawowe wzory Całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania (wzory 1 i 2) 1. 2. Całkowanie jest operacją liniową (wzór 3) 3. Korzystając ze znajomości pochodnych (rozdział II.1.2) i wzorów 1 i 2 można obliczyć (odgadnąć) wiele użytecznych całek.

II.2. Rachunek całkowy II.2.1 Całka nieoznaczona II.2.1.2 Obliczanie całek z definicji Podstawowe całki Korzystając z powyższych wzorów można obliczyć wiele innych całek:

II.2. Rachunek całkowy II.2.1 Całka nieoznaczona II.2.1.3 Całkowanie przez części Tw.II.7 Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają ciągłe pochodne, to Wzór ten można też zapisać inaczej:

II.2. Rachunek całkowy II.2.1 Całka nieoznaczona II.2.1.4 Całkowanie przez podstawienie (zamianę zmiennych) Można stosować dwie metody podstawienia: t=h(x) x=φ(t) Tw.II.8 Jeżeli funkcję podcałkową f(x) da się przedstawić jako f(x)=g[h(x)]h’(x), to Ponieważ tw.II.8 można zapisać następująco:

Matematyka Architektura i Urbanistyka Semestr 1