Л Е К Ц И Я (тема 3. 4.) ТЕМА: “РАВНИННО ДВИЖЕНИЕ НА ТВЪРДО ТЯЛО”

1. Л Е К Ц И Я(тема 3. 4.)ТЕМА: “РАВНИННО ДВИЖЕНИЕ НА ТВЪРДО ТЯЛО” УЧЕБНИ ВЪПРОСИ: 1. Характеристика на равнинното движение. 2. Закон на движението. Теорема на Ойлер-Шал. 3. Разпределение на скоростите. Моментен център на скоростите. Центроиди. 4. Разпределение на ускоренията. Моментен център на ускоренията. 5. Векторен кинематичен анализ.

2. x1 y1 РАВНИННО ДВИЖЕНИЕ y O x

3. Основни въпроси 1. Характеристика на равнинното движение 2. Закон на движението. Теорема на Ойлер - Шал 3. Разпределение на скоростите. Моментен център на скоростите. Центроиди. 4. Разпределение на ускоренията. Моментен център на ускоренията. 5. Векторен кинематичен анализ.

4. 1. Характеристика на равнинното движение • Траекториите на точките от тялото са равнинни криви. • Скоростите и ускоренията на точките от тялото са успоредни на равнината на движението. • Векторът ъглова скорост и векторът ъглово ускорение на тялото са винаги перпендикулярни на равнината на движението. • Всички точки от тялото, лежащи на права перпендикулярна към равнината на движението, имат еднакви скорости и ускорения и описват еднакви траектории. От свойствата на равнинното движение следва, че изучаването на равнинното движение на дадено тяло в пространството се свежда до изучаване на равнинното сечение на тялото в равнината на движението. Ето защо това движение се определя още като движение на равнинна (плоска) фигура в неподвижна равнина или при неограничен размер на тялото – като движение на подвижна равнина върху неподвижна равнина.

5. y1 y x1 M θ О1 O x 2. Закон за движениетоТеорема наОйлер – Шал(Euler – Chasles) 2.1 Закон за движението • Движението на отсечката О1М ще бъде познато, ако са известни четирите координати – xO1 yO1и xM yMна двете точки – М и О1, между които съществува връзка – постоянно разстояние между тях. Следователно равнинното движение е с три степени на свобода – две транслации по х и у и една ротация около ос, перпендикулярна на равнината на движението. • Ако подвижната координатна система е неизменно свързана с тялото, за да се изучи движението му е достатъчно да се познават като функции на времето координатите на точка О1 и ъгъла θ, който сключва оста О1x1с Ох. x = x0 + x1. cos θ – y1. sin θ y = y0 + x1. sin θ + y1. cos θ Уравненията [1] дават закона на движение на т. М [1]

6. y 2 2 2 M [2] 2 2 2 b a B A O x 2.2 Теорема на Ойлер - Шал • Първо ще докажем, че ако е познато движението на две точки от тяло извършващо равнинно движение, то може да се определи движението и на коя да е друга точка от тялото. Доказателство: (xM – xА) + (yM – yA) = a (xM - xB) + (yM – yB) = b Дадени са: координатите на точките А и В. Търсят се координатите на т. М Две уравнения с две неизвестни – xM, yM, при решението на които се определя еднозначно т. М.

7. В1 В2 А2 А1 θ К Теорема:При равнинно движени всяко преминаване на движещото се тяло от едно положение в друго, може да се представи като завъртане на фигурата около една подходящо избрана точка. • Доказателство: КА1 = КА2 ; КВ1 = КВ2 ; А1В1 = А2В2 • и ъгъла А1КВ1 е равен на ъгъла А2КВ2 • Следователно: триъгълника КА1В1 • е еднакъв с триъгълника КА2В2 • Това показва, че ако завъртим цялата фигура около точка К на ъгъл θ, точките от двете прави ще съвпаднат. Точка К се нарича “център на ротация”, а ъгълът θ – “ъгъл на ротация”

8. y1 y x1 M О1 O x 3. Разпределение на скоростите при равнинно движение. Моментен център. Центроиди.3.1 Разпределение на скоростите. • OM = r, OO1= r0, O1M = r1 • r = r0 + r1, • dr/dt = dr0/dt + dr1/dt • vM = vO1 + x1.i1 + y1.j1 • Тъй като:i1= ω x i1, j1 = ω x j1, • следва че: vM = vO1 + ω x O1M[3] • x1.i1 + y1.j1 = ω x (x1.i1 + y1.j1) = ω xO1M = ω xr1 • Тъй като т.О1 може да бъде всяка една точка от тялото, то важи следната зависимост между скоростите на кои да са две точки: vB = vA + vBA, където vBA= ω x BA. Посока на vBA – перпендикулярна на ВА

9. VB [4] A VA B vB P vA p 3.2 Моментен център на скоростите.Центроиди vP = vA + vPA vP = vB + vPB Решение на системата: План на скоростите. Следователно:vP = 0 Точка Р има скорост 0 в дадения момент. Точката принадлежи на равнината на звеното (тялото) АВ. Нарича се Моментен център на скоростите (МЦС) Но МЦС има скорост 0 – следователно принадлежи и на неподвижната равнина, т.е. в разглеждания момент тялото извършва чиста ротация около точка Р. Затова тя се нарича още “моментен център на ротация” (МЦР). Линията, която е геометрично място на всички точки, които са били, в момента са или ще бъдат МЦР се нарича ЦЕНТРОИДА. Тези геометрични места в подвижната равнина образуват подвижна центроида, а в неподвижната равнина – неподвижна центроида. ПРИМЕРИ.

10. y1 y x1 M О1 t n 2 O x 2 4. Разпределение на ускоренията при равнинно движение. Моментен център на ускоренията. • aM=dv/dt =d(vO1 + ω x O1M)/dt aM=vO1+ ωx r1+ ωx d r1/dt, • но: d r1/dt= ωx r1; • следователно: • aM=aO1 + єxr1+ ωx (ωx r1) [5] • aM=aO1 + aMO1+ aMO1; • at = є.O1M, an = ω . O1M; • tg μ = at /an = є / ω Извод: Ускорението на коя да е точка от тяло извършващо равнинно движение е равно на ускорението на друга точка от същото тяло плюс едно относително ускорение между тях, което се разлага на една нормална и една тангенциална съставка.

11. [6] A B μ aA aB μ аА q аB Q Моментен център на ускорението. • aQ = aA + aQA • aQ = aB + aQB • План на ускоренията Следователно: aQ= 0 Точка Q – Моментен център на ускоренията (МЦУ)

12. 5.Векторен кинематичен анализ • Теорема за проектираните скорости. • Да се докаже, че ако А и В са две произволни точки от едно тяло скоростите им са свързани със зависимостта: прs vA = прs vB, където s е остта АВ. • доказателство: АВ = const. dAB/dt = 0, AB = OA – OB, • dAB/dt = dOA/dt – dOB/dt = 0, VA – VB = 0, или VA =VB. • Използвайки теоремата за проектираните скорости и векторните уравнения изразяващи връзката между скоростите (или ускоренията) на две точки от едно и също тяло, което извършва равнинно движение, чрез построяване на векторен план на скоростите (ускоренията) в определен мащаб може да се намерят търсените кинематични величини на всяка една точка от тялото и на самото тяло.

13. Въпроси ?