一、曲线的凹凸性与拐点

1. 第四模块 微积分学的应用 第六节　曲线的凹凸性与拐点　 　　　 函数图形的描绘 一、曲线的凹凸性与拐点 二、函数图形的描绘

2. y y A D B C C A D B x1 x3 x4 x x1 x2 x3 x4 x2 x O O 一、曲线的凹凸性与拐点 (a) (b) 　　　　　　　　　　　　　　　当自变量 x 由 x1 增大到 x2 时， 如图所示，凡呈凸形的弧段， 　　　　　 　其上的切线斜率是递减的(如图(a)左，(b)左)， 凡呈凹形的弧段， 当 x 由 x1 增大到 x2 时， 我们将以这个明显的几何特征来规定曲线的凹凸性. 其上的切线斜率是递增的(如图(a)右，(b)右)，

3. 定义1设函数y = f (x) 在某区间I内可导， 则称曲线y = f (x) 在区间I 内是凹的， ① 如果f (x) 在I 内是递增的， ② 如果f (x) 在I 内是递减的， I 区间称为凹区间； 则称曲线 y = f (x) 在区间I内是凸的， I 区间称为凸区间. 定义2设函数y = f ( x ) 在区间I内连续， 叫做曲线y = f (x) 的拐点. 则y = f (x) 在区间I内的凹凸分界点，

4. 定理1设函数y = f (x) 在区间I内的二阶导数f ( x ) > 0， 则曲线y = f (x) 在区间I内是凹的； 若f ( x ) < 0， 则在此区间I 内曲线y = f (x)是凸的.

5. 定理2 (拐点的必要条件) 　　若函数y = f (x) 在x0 处二阶导数f (x0) 存在， 且点(x0 , f (x0)) 为曲线y = f (x) 的拐点， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　则f (x0) = 0. 注意f ( x0) = 0 是点 (x0 ，f ( x0) ) 为拐点必要条件， 例如 y = x4，则 y = 12x2， 而非充分条件. 但(0, 0) 不是曲线 y = x4的拐点， 当 x = 0 时，y (0) = 0， 因为点(0, 0) 两侧二阶导数不变号.

6. 定理3若f (x0) = 0，且在x0 两侧f (x) 变号， 则点(x0 , f ( x0) ) 是曲线y = f (x) 的拐点.

7. 例1　讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2+ 9x + 1 的凹凸区间与拐点． 解　定义域为( ,  ). 因为 f (x) = 3x2 - 12x + 9， f (x) = 6x- 12= 6(x- 2)， 令f (x) = 0，可得 x = 2. 此区间是凸区间． f (x) < 0， 当x  ( , 2) 时， 此区间是凹区间． f (x) > 0， 当x  (2, + ) 时，

8. x ( , 2) 2 (2, + ) f (x)  0 + f (x) 拐点(2, 3) 其中 ， 分别表示曲线凸和凹. 　　当x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两侧变号，而 f(2) = 3， 所以(2, 3)是该曲线的拐点. 本题也可以下表给出解答：

9. 例2　讨论曲线y = ln(1 +x2) 的凹凸区间与拐点. 因为 解　定义域为( ,  ). 令 y = 0 得 x = -1， x = 1.

10. y< 0， 当 x  (, -1) 时， 此区间是凸区间； y> 0， 当 x  (1, 1) 时， 此区间是凹区间； y< 0， 当 x  (1, + ) 时， 此区间是凸区间. 因为 f (-1) = f (1) = 0， f(x) 在点 x = - 1. 所以点 (- 1, ln2)和 (1, ln2)为拐点. x = 1 的两侧变号， 且 f ( -1 ) = f ( 1 ) = ln2，

11. y O x 二、函数图形的描绘 1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线 定义3若曲线y = f (x) 上的动点M(x, y) l 沿着曲线无限远离坐标原点时， M(x, y) 它与某直线 l的距离趋向于零， y = f (x) 则称l 为该曲线的渐近线.

12. y y = ln x O x (1)垂直渐近线 则称直线 x = x0为曲线 y = f (x) 的垂直渐近线. 因为 例如， 对于曲线 y = ln x来说， 所以直线 x = 0+即 y 轴为 y = ln x 曲线的垂直渐近线.

13. y 1 O x

14. y 例如，对于曲线 来说， 所以直线 y = 0是曲线 y = 0 O x 的水平渐近 线 . (2)水平渐近线 则称直线 y = b为曲线 y = f (x) 的水平渐近线 .

15. y y = arctan x O x 又如，曲线 y = arctan x， 因为 都是该曲线的水平渐近线 . 所以直线

16. 2.函数图形的描绘 描绘函数的图形， 其一般步骤是： 　　　　　　　　　　　　　并讨论其对称性和周期性； (1) 确定函数的定义域， (2) 讨论函数的单调性， 极值点和极值； (3) 讨论函数图形的凹凸区间和拐点； (4) 讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线； (5) 根据需要补充函数图形上若干点(如与坐标轴的交点等等)； (6) 描图.

17. 例4　描绘函数 y = f (x) = 3x – x3的图形. 解　该函数的定义域为(-,)，且为奇函数， 求其一、二阶导数，得 y = 3- 3x2　和 　y = - 6x， 得驻点x =  1， 令 y  = 0， 因为 y|x = -1= 6 > 0， y|x =1 = - 6 < 0， 所以 y(-1) = - 2 为极小值， y(1) = 2 为极大值； 令 y= 0，得 x = 0， 因为 x < 0 时， y > 0， x > 0 时， y < 0， 所以 x < 0 时曲线 y = f (x) 是凹的， 当 x > 0 时，曲线 y = f (x) 是凸的， 且(0, 0)为拐点 .

18. (, 1) 1 (1, 0) (1, + ) x 0 (0, 1) 1 y(x)  0 + + +  0 y(x) +  0  +  + 极小值 极大值 y 拐点(0,0) f (-1)=-2 f (1)=2 将上述讨论列为下表：

19. y O -1 1 x 令 y= 0， 可知曲线 y = 3x –x3与 x 轴交在 　　曲线 y = 3x – x3无水平渐近线和垂直渐近线. 即可描出所给函数的图形. 综合上述结论， y = 3x –x3

20. 例6　描绘函数 的图形. 解　该函数的定义域为(-,). 因此,只要作出它在 (0,  ) 内的图形， 该函数为偶函数， 即可根据其对称性得到它的全部图形． 求其一、二阶导数，得 令 y = 0. 得驻点 x = 0， 令 y = 0， 所以 y = 0 为该函数图形的水平渐近线. 当 x   时 y  0，

21. 0 x y     0   y + 0 确定函数 的增减区间和极值， 极大值 y 凹而减 f (0)= 1 凸而减 讨论 y， y 的正负情况， 将上述结果归结下表： 凹凸区间和拐点，

22. y O x 根据以上讨论，即可描绘所给函数的图形.