第 6 章弹性构件组成的机械系统动力学

6.1 考虑轴的扭转变形时传动系统动力学 6.2 凸轮机构动力学 6.3 齿轮传动系统动力学第6章弹性构件组成的机械系统动力学引言：上一章讨论的刚性构件组成的机械系统是一种理想的机械系统，即不考虑构件的弹性和间隙，求得的运动规律是机械系统的刚体运动规律。对于大多数运行的机械，必须考虑由于构件弹性引起的振动。如凸轮机构、振动上料机构、速度传感器、齿轮传动系统等。研究的意义：有些机械（如机械手等），在高速运转时，由于构件受很大动载荷而引起弹性变形，降低了机械工作的准确性，甚至引起和其他构件的运动配合失调而不能工作。因此要研究在高速时，受惯性载荷作用下机械的实际运动情况及其动态精度。

6.1 轴与轴系扭转振动 1.等效转动惯量将传动系统的各转动惯量向转化中心等效，不考虑轮齿啮合刚度。为一对啮合齿轮的转到惯量为转动元件为两段轴的扭转刚度等效原则：动能不变选定等效中心：轴Ⅰ的轴线（6-1）其中

2．等效刚度 各弹性构件的刚度也要向转化中心转化刚度等效原则：保证系统总势能不变（1）对于受扭的等截面圆断面轴（2）对于阶梯轴，其等效刚度与各轴段刚度存在下列关系（3）对于串联齿轮系统，若以轴Ⅰ的轴线为转化中心线，则

对于一般的齿轮传动系统

『例』（P131）：对于图所示的起重机提升传动系统，向轴Ⅰ中心线转化而成为多自由度扭振系统 。『解』为选定等效轴：轴Ⅰ 注意：起吊重物为移动构件，向轴Ⅰ等效为J6e；钢丝绳为拉伸弹性构件，等效为转动弹性轴，等效刚度为K56e

『例』（P104）：铣床主传动系统动力学模型 注意：等效转动惯量的单位轴段数字为柔度系数，为刚度系数的倒数，单位为

6.2 凸轮机构动力学 一、不包含凸轮轴扭转振动的动力学模型P（112）图(a)表示一个内燃机配气凸轮机构。凸轮轴具有较大的刚度。建立动力学模型时，不包含凸轮轴扭转振动。不仅减少自由度数目，且摆脱了质量矩阵M、刚度 K 随凸轮转角变化，避开变系数微分方程组。

将构件的质量作集中化简化： （1）推杆质量按质心不变原则集中于A、B两端，分别为和（6-24）（2）转臂BC的摆角不大，近似认为B、C两点作小幅度直线运动。按转动惯量不变的原则，用集中于B、C两点的集中质量代替转臂左右两部分的转动惯量（6-25）为转臂左右两部分对的转动惯量。（3）忽略阀的弹性，将其质量集中于C点，则根据振动理论，弹簧质量可取其三分之一集中在其端部、（6-26）为阀的质量，为弹簧质量

则图(b)所示的动力学模型质量参数 （6-27）则图(b)所示的动力学模型刚度参数为凸轮与推杆接触表面的接触刚度为推杆AB的拉伸刚度为转臂BC的弯曲刚度为弹簧刚度为凸轮作用于从动杆的理论位移

以推杆为等效构件，再作一次坐标变换，图(c) 位移、质量、刚度等效到推杆轴线上，等效时保持动能、势能不变（6-28）这是关于支承位移激励的问题（参见第1.9节）根据第2章的方法，不难写出这3自由度系统的动力学方程（6-29）

二、包含凸轮轴扭转振动的动力学模型P（112）二、包含凸轮轴扭转振动的动力学模型P（112）凸轮轴受到较大的径向力，轴的弯曲变形对从动件运动有影响扭转振动+横向振动凸轮轮廓曲线从动件顶点A的位移影响因素：凸轮轴的扭转变形轴心横向位移

曲线1——凸轮的理论轮廓曲线 当凸轮转过角后，理论轮廓曲线将位于位置2 若不考虑凸轮轴的横向变形 x,y：从动件点A 的位移应为与凸轮轮廓曲线有关若凸轮轴心O有横向变形 x,y：为分析方便，把凸轮看成不动，而把从动件运动线和坐标轴向反方向移动距离则坐标系为（虚线）这时从动件上点A将位于点B，凸轮从动件实际上升距离为（6-30）其中为凸轮转过θ 角，由轮廓曲线决定的位移 y 为凸轮轴心垂直方向的变形为凸轮轴心 x 向变形引起的垂直方向变形为凸轮点A的压力角（微量），且AB方向和A点的切线方向近似

回到凸轮机构图（b） 通常凸轮轴在 x方向受力较小，压力角也不大，则（6-31）为凸轮及凸轮轴为刚性时，从动件端点的位移和转角传递函数关系为凸轮轴在凸轮处的垂直方向变形另外 K2——从动件简化为一具有弹簧常数的压缩弹簧刚度 m——推杆及从动件的等效质量 K3——从动件上的压力弹簧刚度 T1——作用在主动轮上的力矩为 F1——作用在从动件上的力

建立运动微分方程（P115） 五个广义坐标为主动轮1的转角为凸动轴的相对转角为从动杆的变形量为杆下端位移为杆上端位移为主动轮1处的垂直方向变形为凸动盘2处的垂直方向变形即（6-32）

1 凸轮轴的横向振动微分方程 根据“柔度影响系数法”（P27），列出凸轮轴的横向振动微分方程为柔度影响系数，即在 j点处施加单位力时，在 i 点处产生的位移可写成（6-34）

2. 从动杆直线振动微分方程 该系统为三自由度振动系统，广义坐标为采用拉格朗日法建立系统微分方程（P25）动能

势能广义力代入拉格朗日方程后，有（6-38）

3.两组微分方程联合（P116） （6-39）可以采用龙格——库塔(RK)法求解（参见第3.5节,P61）

6.3 齿轮传动系统动力学 齿轮传动的动态特性是指齿轮系统的动载、振动和噪声的机理、计算和控制。齿轮传动的动态特性研究已成为当前齿轮研究的主要课题。传统方法齿轮传动的动载荷是齿轮强度计算的重要依据。动载荷是根据齿轮的圆周速度与精度等级查表格或图线得到动载荷系数，再乘以额定载荷得到的。传统方法的不足：传统方法显得十分粗略。动载荷一般不与额定载荷成正比，而是取决于齿轮本身的转动惯量、齿轮的弹性和由齿面误差引起的冲击，亦即取决于齿轮系统的动力学模型。

补充：双质量单自由度系统等效为单质量弹簧系统（P117、122、133、134）补充：双质量单自由度系统等效为单质量弹簧系统（P117、122、133、134）图示双质量单自由度系统。当系统振动时，的扭转角位移始终是相反的。因此，总存在一个静止截面位置，称为节点。可以认为该系统被划分为两个单自由度系统，以节点为分界面。两个单自由度系统的固有频率必须相等，且等于等效单自由度系统固有频率：另：易求出：

一、轮齿啮合的直线振动 1. 轮齿啮合的直线振动图 (a)表示一对啮合的轮齿为啮合线为两齿轮的转动惯量为两齿轮的角速度为两轮齿的基圆半径 B 为啮合点

轮齿啮合点沿啮合线移动，齿面间的啮合力亦沿该线传递，因此，讨论啮合振动时，可将两齿轮系统向轮齿啮合线上转化，成为双质量弹簧系统轮齿啮合点沿啮合线移动，齿面间的啮合力亦沿该线传递，因此，讨论啮合振动时，可将两齿轮系统向轮齿啮合线上转化，成为双质量弹簧系统等效模型图 (b) 等效质量轮齿等效弯曲刚度：可采用有限元法作计算，或实验测试。工程上常将轮齿简化为梯形齿，甚至等截面梁。设：轮齿为等截面梁，则为两轮齿材料的弹性模量为两轮齿悬臂长度为两轮齿的抗弯截面模量为两齿轮齿宽为两齿轮齿厚串联弹簧，轮齿等效刚度：（6-42）

讨论实际啮合过程中，由于重合度的影响，啮合刚度呈周期性变化。即使没有外界激励，这种刚度的周期性变化，也会激发系统的振动。视为常数。为了简化计算，取重合度为1，从而将双质量单自由度系统等效为单质量弹簧系统图 (c) 均为常量等效质量等效刚度（6-43）固有频率

外界激励 （1）法向载荷由于负载变化频率常比轮齿固有频率低得多，所以将法向载荷取为常数，按额定传递转矩计算（2）齿面误差（又称齿面啮合误差）为两齿轮齿形公差具有激励的等效动力学模型（6-46）

2. 齿面工作区的判定（P118） 根据轮齿啮合频率来判断工作区小齿轮齿数为转速为轮齿啮合频率为 ISO齿轮标准中，规定亚临界区共振区过渡区超临界区为了避开共振区，可适当调整轮齿参数（如齿数、模数），通过改变，从而改变工作区。

3. 轮齿动载荷的确定（P118） 一般齿轮工作在亚临界区,即下面根据图(d) 动力学模型来计算动载荷为静载荷为齿面误差，是冲击脉冲每个轮齿从进入到退出啮合，相对于给系统一次冲击，其行程为作用时间为平均速度为

一对轮齿在工作过程中，除承受一次冲击外，并无持续激励，故系统将作自由振动一对轮齿在工作过程中，除承受一次冲击外，并无持续激励，故系统将作自由振动解运动方程初始条件则系统的振幅动载荷的最大值（6-52）结论：动载荷不仅与等效刚度、等效质量有关，而且与齿面误差成正比。因此，在亚临界区工作的轮齿，适当提高精度，减少齿面误差，有利于减少动载荷。之和。齿面的总载荷是动载荷与额定静载荷

二、齿轮——转子系统扭转振动（本科生略） 齿轮——转子系统的扭转振动系统：在一对齿轮副纯扭转振动模型的基础上，再考虑传动轴的扭转刚度，同时考虑原动机和执行机构的转动惯量等为原动机和执行机构的转矩为主传动轴、从传动轴的扭转刚度（材料力学）原动机转动惯量主动齿轮转动惯量从动齿轮转动惯量执行机构转动惯量主传动轴扭转结构阻尼从传动轴扭转结构阻尼啮合齿轮对啮合阻尼啮合齿轮对啮合刚度齿面啮合误差齿轮齿面误差

齿轮——转子系统扭转振动方程 （6-53）为轮齿的动态啮合力为轮齿啮合阻尼比传动轴扭转结构阻尼阻尼系数注意希腊字母 Ξ[ksi];ζ[zta] 扭转刚度，按计算

（6-58） 写成矩阵形式可运用纽马克—— β法、威尔逊——θ法求解系统的响应。

三、齿轮系统啮合耦合型振动模型（本科生略）三、齿轮系统啮合耦合型振动模型（本科生略）齿轮动力学啮合耦合型振动：考虑齿轮副支承系统（如传动轴、轴承、箱体）的弹性影响，即考虑扭转振动、横向弯曲振动、轴向振动和扭摆振动静力耦合和动力耦合：仅分析由于齿轮轮体的偏心误差而产生的离心力和附加惯性对系统的振动转子耦合型：振动耦合是在转子旋转过程中产生的图示为直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动模型不考虑齿面摩擦，轮齿的动态啮合力沿啮合线方向作用不考虑传动轴等的具体振动形式主/从传动轴、轴承和箱体的支承刚度主/从传动轴、轴承和箱体的阻尼

P、G点方向位移为 啮合轮齿间的弹性啮合力和粘性啮合力为系统的运动微分方程为矩阵形式

为非对称结构。 求解系统的固有特性可采用第9.2节介绍的兰索斯（LANCZOS）法。可运用纽马克—— β法、威尔逊——θ法求解系统的响应。

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