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Die Sinus-Funktionen

Die Sinus-Funktionen. Eine Einführung. Man definiert die Funktion y = sin x, mit x є R und y є R mit -1≤y≤1 Da Sinus eine „Winkelfunktion“ ist, wird normalerweise der „Sinus eines Winkels“ gebildet Um einen reellen Definitionsbereich zu schaffen, rechnet man Grad ° in das Bogenmaß um.

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Die Sinus-Funktionen

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Presentation Transcript

  1. Die Sinus-Funktionen Eine Einführung

  2. Man definiert die Funktion y = sin x,mit x єR und y єR mit -1≤y≤1 • Da Sinus eine „Winkelfunktion“ ist, wird normalerweise der „Sinus eines Winkels“ gebildet • Um einen reellen Definitionsbereich zu schaffen, rechnet man Grad ° in das Bogenmaß um Definitions- und Wertebereich

  3. Die allgemeine Verhältnisgleichung für das Umrechnen von Grad ins Bogenmaß lautet: in ° Im Bogenmaß Definitions- und Wertebereich

  4. Berechne die wichtigsten Winkel im Bogenmaß:

  5. Mit Hilfe einer Tabellierung der Sinus-funktion und dem Graphen lässt sich die Funktion darstellen: Funktionsgraph

  6. Die Werte werden nicht starr verbunden, es entsteht eine Art „Welle“ Funktionsgraph

  7. Die Welle wiederholt sich mit einer Periodenlänge von 2ϖ • Durch Anpassung der x-Achse mit vielfachen von ϖ wird es übersichtlicher: Funktionsgraph

  8. Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 πbis 4π(Schrittweite 0,25π)Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-) Funktionsgraph

  9. Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π(SW: 0,25π) Funktionsgraph

  10. Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π(SW: 0,25π) • Die Sinusfunktion besitzt eine Periodizität mit einer Periodenlänge von 2ϖ Funktionsgraph

  11. Die Sinusfunktion besitzt die Nullstellen…, −4π, −3π, −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, …,allgemein k∙π mit k ∈ Z • Der Maximalwert (1) wird erreicht für…, -7/2 π, -3/2 π, 1/2 π, 5/2 π, …,allgemein π/2 + k∙π mit k ∈ Z • Der Minimalwert (−1) wird erreicht für…, -5/2 π, -1/2 π, 3/2 π, 7/2 π, …,allgemein 3/2 π + k∙π mit k ∈ Z Funktionsgraph - Eigenschaften

  12. Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = 3 sin xund g(x) = y = 0,5sin x im Intervall von -2πbis 2π(Schrittweite 0,25π)Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-) Funktionsgraph: y = a sin x

  13. Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = 3 sin xund g(x) = y = 0,5sin x Funktionsgraph: y = a sin x

  14. Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π(SW: 0,25π) Funktionsgraph: y = a sin x

  15. Der Parameter a in der Form y = a sin x… • Verändert Nullstellen oder Periodizität (2π) nicht • Verändert den Maximalwert von 1 auf a • Verändert den Minimalwert von −1 auf −a • Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen Funktionsgraph: y = a sin x

  16. Der Parameter a in der Form y = a sin x… • Verändert den Maximalwert von 1 auf a • Verändert den Minimalwert von −1 auf −a • Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen • Man nennt die maximale Auslenkung einer Sinusförmige Welle auch Amplitude. y(max) = 1  Amplitude ist 1 y(max) = 3  Amplitude ist 3y(max) = 0,5  Amplitude ist 0,5 Funktionsgraph: y = a sin x

  17. Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = sin (2x)und g(x) = y = sin (0,5x) im Intervall von -2πbis 2π(Schrittweite 0,25π)Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-) Funktionsgraph: y = sin (bx)

  18. Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktionen im Intervall von -2 π bis 4π(SW: 0,25π) Funktionsgraph: y = sin (bx)

  19. Die Periodizität der Sinusfunktion wurde durch den Parameter b geändert. • b = 2: die Periodenlänge wird halbiert, doppelt so viele periodische Wiederholungen • b = ½ : die Periodenlänge wird verdoppelt, halb so viele periodische Wiederholungen Funktionsgraph: y = sin (bx)

  20. Der Parameter b in der Form y = sin (bx)… • Verändert die Amplitude nicht • Verändert Nullstellen und Periodizität! • Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen in x-Richtung Funktionsgraph: y = sin (bx)

  21. Für y = sin (bx) gilt … • b > 1: Periodenlänge verkürzt sich • b = 1: Periodenlänge von 2π • 0 < b < 1: Periodenlänge vergrößert sich b = 1  Periodenlänge 2π b = 2  Periodenlänge 1π b = 0,5  Periodenlänge 4 π Funktionsgraph: y = a sin x

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