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2-2 二元一次方程式的圖形

2-2 二元一次方程式的圖形. 二元一次 方程式的解 的圖形. 二元一次聯立方程式的幾何意義. p60 溫故啟思. 4. 1. 3. 1. 4. 3. y. 1. x. O. 1. 3. 承2.，在坐標平面上標示 出 A 、 B 、 C 三點 的位置. C. B. A. =. 結論：. 二元一次方程式 的一組解. 直角坐標平面 的一個點. 相 同 意 義. y. (4,4). (3,3). (2,2). 1. x. O. 1. ( － 2, － 2).

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Presentation Transcript

  1. 2-2二元一次方程式的圖形 二元一次方程式的解的圖形 二元一次聯立方程式的幾何意義

  2. p60溫故啟思 4 1 3 1 4 3

  3. y 1 x O 1 3. 承2.，在坐標平面上標示出 A、B、C三點的位置 C B A

  4. = 結論： 二元一次方程式 的一組解 直角坐標平面 的一個點 相 同 意 義

  5. y (4,4) (3,3) (2,2) 1 x O 1 (－2,－2) (－3,－3) (－4,－4) 二元一次方程式的解的圖形（舉例說明） p61探索活動：x－y＝0的解的圖形 2 3 4 2 3 4 ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 4 , 4 ) －2 －3 －4 －2 －3 －4 (－2,－2 ) (－3,－3 ) (－4,－4 )

  6. 一直線 會 是

  7. 結論： x＝a y＝b 一個二元一次方程式有 解 無限多組 無限多個點 (a,b) 直線 相連得到的圖形為 一個二元一次方程式的圖形就是直線 記為：L：ax＋by＝c

  8. 如何畫出二元一次方程式的圖形 結論： 畫一條直線 不同的兩點 因為通過 即可畫出一條直線 不同的兩個解 所以只要找出 就可以畫出二元一次方程式的圖形 a 最好找兩坐標軸上的點，即求 (0,b) (a,0) b

  9. y (－4 , 2 ) 1 x O 1 p62隨堂練習 1. 試列出方程式 x＋2y＝0的四組解， 　並標示在坐標平面上。 ( 2 ,－1 ) (－2 , 1 ) ( 4 ,－2 ) L：x＋2y＝0 2. 承 1.，任取兩點畫一直線 L， 則直線 L 是否會通過其餘各點？ 是

  10. 3. 承 2.，直線 L 是否會通過原點？ 是 由x－y＝0、x＋y＝0或 x＋2y＝0等例子可知 因為 x＝0，y＝0必為 ax＋by＝0的一組解 所以 ax＋by＝0的圖形 必通過原點 O ( 0 , 0 ) ( a、b不全為 0 ) 且反之亦然！

  11. y 1 (0,0) x O 1 (1, － 2) p63隨堂練習（找兩組解畫直線） 在坐標平面上畫出方程式 2x＋y＝0的圖形。 2x＋y＝0

  12. p64隨堂練習（點＝解） 已知直線 L：x＋2y＝0，試問： 若P點坐標為 (－100 , 50 ) 則P點是否在直線L上？ 是 (2) 若直線 L 通過點 Q ( 30 , k )，則 k 值為何？ ＝ x＝30，y＝k為 x＋2y＝0的解 即 30＋2k＝0，故 k＝－15

  13. 加分題 若(2 , a) 、(－3 , b)、(c , 8)、(d ,－4) 都在二元一次方程式 x＋2y＝6 的圖形上 求 a＋b＋c＋d＝？ 10.5 a＝2，b＝4.5，c＝－10，d＝14

  14. y 1 (4,0) x O 1 (0,－3) p65隨堂練習（ax＋by＝ c的圖形） 在坐標平面上畫出方程式 3x－4y＝12的圖形。 3x－4y＝12

  15. p66隨堂練習（點＝解） 已知直線 L：x＝2y－6，試問： 若 Q 點坐標為 ( 0 , 0 )， 則 Q 點是否在直線 L 上？ 否 (2) 若直線 L 通過點 P (－10 , k )，則 k 值為何？ ＝ x＝－10，y＝k為 x＝2y－6的解 即 －10＝2k－6，故 k＝－2

  16. y (－2,1) 1 x O (－2,0) 1 p67隨堂練習（ax＋c＝0的圖形） 將方程式 x＋2＝0改寫為x＋0y＋2＝0， 試找出此方程式的兩組解，並畫出圖形。 x＋2＝0

  17. y (0,5) (1,5) 1 x O 1 p68隨堂練習（by＋c＝0的圖形） 1. 已知直線 L：y＝5，試畫出直線 L 的圖形。 y＝5 2.承1， 若 Q 點坐標為 ( 5 , 0 ) 則 Q 點是否在直線 L 上？ 否 3.承1， 若直線 L 通過點P (－23 , k ) 則 k 值為何？ 5

  18. 結論： 方程式ax＋c＝0 的圖形是一條 方程式by＋c＝0 的圖形是一條 與 x 軸垂直 與 x 軸平行 的 鉛 直 線 與 y 軸垂直 與 y 軸平行 的水平線 而方程式 x＝0的圖形 即為 y 軸 而方程式 y＝0的圖形 即為 x 軸

  19. 加分題 下列二元一次方程式的圖形，哪些通過原點？ (A)3x＋2y＝0 (B)y＝x＋2 (C)5x＝3y (D)2（x＋2y＋2）＝3x＋2y＋4 (A)、(C)、(D)

  20. 加分題 直角坐標平面上 通過一點（3 , 6）且垂直x軸的方程式為何？ x－3＝0 ax＋c＝0

  21. y 1 x O 1 p69隨堂練習（判斷直線通過的象限） 直線 L：2x－3y＝12不通過哪一個象限？ 方法一：畫圖檢查 方法二：係數判斷 2x－3y＝12 正 正 正 數 ×？－數 ×？≠數 x為負數 y為正數 不通過第二象限！

  22. y 1 x O 1 係數為符號時的判斷作法 難題說明 a＜0 b＜0 設a、b均代表數，若a＋b＜0，ab＞0， 則直線ax＋by＋ab＝0不通過第幾象限？ 方法一：畫圖檢查 方法二：係數判斷 ＞0 ax＋by＋ab＝0 ＞0 負 負 正 數 ×？＋數 ×？＋數 ≠0 x為負數 y為負數 不通過第三象限！

  23. 邏輯練習題 有四人參加田徑比賽， 已知結果如下，請問四人誰是冠軍？ 甲不是第一名 甲如果不是第二名，乙就不是第一名 乙不是第三名的話，丙就不是第四名 丙是第三名的話，則丁的名次比甲前面 乙名次比丙前面

  24. 之前工作 直線圖形 二元一次方程式 現在問題 x軸或平行x軸的直線 y＝k y軸或平行y軸的直線 x＝h 過原點之斜直線 y＝ax y＝ax＋b 一般之斜直線

  25. p70隨堂練習（求直線方程式） 已知點 P ( 0 , 7 ) 在直線 L：9x＋by＝7上，試求 b 值。 ＝ x＝0，y＝7為 9x＋by＝7的解 即 7b＝7，故 b＝1

  26. p71隨堂練習（求直線方程式） 如右圖，已知直線 L：y＝mx＋k通過A、B兩點，試求直線 L 的方程式。 x＝－3，y＝0和x＝0，y＝－2為y＝mx＋k的解

  27. 2a＝2 －a－b＝2 加分題 已知方程式 ax＋by＝2 的圖形為 通過 A（2 , 0）、B（－1 ,－1）兩點的直線 求出這條直線所代表的方程式 x－3y＝2 將（2 , 0）、 （－1 ,－1）代入ax＋by＝2 a＝1，b＝－3

  28. p72探索活動：線上一點的位置 承例題 11，若 P ( 5 , n ) 在直線 AO 上，則： (1) n 值為何？ ( 5 , 2 ) (2) C 點位在 P 點的上方還是下方？ 兩者的距離為何？ 下方

  29. p73隨堂練習（三點共線的判斷） 如右圖，已知 A ( 7 , 3 )、C (－5 ,－2 )， 且設通過 A、O兩點的直線方程式為 y＝mx＋k，試求： (1) m、k之值。 (2) 直線 AO 是否通過 C 點？ • 3＝7m＋k • 0＝k 否

  30. 加分題 1.已知某二元一次方程式的圖形 為通過A（1 , －1）、B（1 , 2）兩點的直線 則此方程式為何？ 鉛直線 x＝1 2.已知某二元一次方程式的圖形 為通過A（－2 ,－6）、B（2 , 6）兩點的直線 則此方程式為何？ y＝3x 通過原點的直線

  31. x－y＝1 x＋2y＝4 x＝2 y＝1 二元一次聯立方程式的幾何意義 舉例說明 圖形 • 兩條直線 交點 • 解

  32. 結論： 幾何意義 代數形式 直線 二元一次方程式 二元一次 聯立方程式 兩條直線 二元一次 聯立方程式的 解 兩條直線的 交點

  33. p75隨堂練習（聯立方程式恰有一解 ＝兩直線交於一點） 2x－ y＝1  2x＋6y＝8  －：7y＝7 y＝1 x＝1 A：x＝1，y＝1

  34. 相交於一點（1 , 1）

  35. 是！ x＝1，y＝1 （1 , 1）

  36. p76隨堂練習（聯立方程式有無限多組解 ＝兩直線重合）   ÷2：y＝5x－10 5x－y＝10 ＝ A：無限多組解

  37. 重合

  38. p77隨堂練習（聯立方程式無解 ＝兩直線平行）   x＝ 和矛盾  A：無解

  39. 平行

  40. ax＋2y＝4 x＋by＝11 以前的問題 現在的問題 若二元一次聯立方程式 的解為 x＝2， y＝3 求a、b的值 已知二元一次方程式 ax＋2y＝4 與x＋by＝11 的圖形交於 A（2 , 3） 求a、b的值 －1 3 －1 3

  41. 結論： 二元一次聯立方程式 解的形式 兩條直線 相交的情形 恰有一組解 相交於一點 重合 無限多組解 無解 平行

  42. 補充結論： ＝ ＝ 無限多 組解 重合 ＝ ≠ 無解 平行 相交於 一點 ≠ 恰有 一組解

  43. y＝4x－10 難題說明 原本通過的兩點為 新直線通過的兩點將是 直線方程式 y＝mx＋k 若過此兩點將會滿足 • 6＝4m＋k • m＝4 0＝2.5m＋k k＝－10

  44. y 1 x O 1 加分題 試求兩直線 L：y＝－x＋4與 M：y＝2 ( x－1 ) 在坐標平面上與 x 軸所圍區域面積。 3 M：y＝2 ( x－1 ) 交點坐標為（2 , 2） 面積＝ 3 × 2 ÷ 2 ＝ 3 L：y＝－x＋4

  45. p78自我評量 1. 如右圖，試問下列哪一點的坐標是方程式 x－y＋3＝0的解？ 　(A) A (B) B (C) C (D) D (B)

  46. 下列何者為 直線 4x－y＝3和直線 x＋6y－7＝0 的交點坐標？　　　　　　　　　　　(A) ( 0 ,－3 )　　(B) ( 1 , 1 )　　(C) ( 2 , 5 )　　 (D) (－1 ,－4 ) (B)

  47. 5. 已知直線 L：x－4y＋4＝0，則： 　 (1) 直線 L 不通過第幾象限？ 　 (2) 直線 L 與兩軸的交點坐標為何？ (3) 直線 L 與兩軸所圍成的三角形面積為何？ 第四象限 與 x 軸交於(－4 , 0 ) 與 y 軸交於( 0 , 1 ) 2 面積＝ 4 × 1 ÷ 2 ＝ 2

  48. 6. 如右圖，已知直線 L：y＝mx＋k通過 A、B兩點 試求直線 L 的方程式。　　　 　 　 • 2＝k －2＝3m＋k • m＝－ k＝2 y＝－x＋2

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