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Balanzierte Bäume

Balanzierte Bäume. Informatik II, SS 2008 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung 19 Prof. Dr. Thomas Ottmann. Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für Informatik Fakultät für Angewandte Wissenschaften Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. Balancierte Bäume.

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Balanzierte Bäume

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  1. Balanzierte Bäume Informatik II, SS 2008 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung 19 Prof. Dr. Thomas Ottmann Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für Informatik Fakultät für Angewandte Wissenschaften Albert-Ludwigs-Universität Freiburg

  2. Balancierte Bäume Eine Klasse von binären Suchbäumen ist balanciert, wenn jede der drei Wörterbuchoperationen Suchen Einfügen Entfernen von Schlüsseln für einen Baum mit n Schlüsseln stets (im worst case) in O(log n) Schritten ausführbar ist. Mögliche Balanzierungsbedingungen: HöhenbedingungAVL-Bäume Gewichtsbedingung  BB[a]-Bäume Strukturbedingungen  Bruder-, 2-3-, a-b-, B-Bäume Ziel: Höhe eines Baumes mit n Schlüsseln bleibt stets in O(log n). Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  3. AVL-Bäume • Schöpfer: Adelson-Velskii und Landis (1962) • Suchen, Einfügen und Entfernen eines Schlüssels in einem zufälligerzeugten natürlichen Suchbaum mit n Schlüsseln ist im Mittel in O(log2n) Schritten ausführbar. • Der Worst Case liegt jedoch bei Ω(n). • Idee von AVL-Bäumen: Modifizierte Prozeduren zum Einfügen undLöschen, die ein Degenerieren des Suchbaums verhindern. • Ziel von AVL-Bäumen: Höhe sollte O(log2n) und das Suchen, Einfügenund Löschen sollte in logarithmischer Zeit möglich sein. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  4. Definition von AVL-Bäumen • Definition: Ein binärer Suchbaum heißt AVL-Baum oder höhenbalanciert, wenn für jeden Knoten v gilt, dass sich die Höhe des rechten Teilbaumesh(Tr) von v und die Höhe des linken Teilbaumesh(Tl) von v um maximal 1 unterscheiden. • Balancegrad: Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  5. Beispiele • AVL-Baum kein AVL-Baum AVL-Baum Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  6. Eigenschaften von AVL-Bäumen • AVL-Bäume können nicht zu linearen Listen degenerieren. • AVL-Bäume mit n Knoten haben eine Höhe von O(log n). • Offenbar gilt: • Ein AVL-Baum der Höhe 0 hat 1 Blatt • Ein AVL-Baum der Höhe 1 hat 2 Blätter • ein AVL-Baum der Höhe 2 mit minimaler Blattzahl hat 3 Blätter • . . . • Wie viele Blätter hat ein AVL-Baum der Höhe h mit minimaler Blattzahl? Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  7. Folgerung: Ein AVL-Baum der Höhe h hat mindestens Fh+2 Blätter mit F0 = 0 F1 = 1 Fi+2 = Fi+1 + Fi Fi ist die i-te Fibonacci-Zahl. Minimale Blattanzahl von AVL-Bäumen mit Höhe h h h + 2 h + 1 Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  8. Minimaler AVL-Baum der Höhe 9 Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  9. Höhe eines AVL-Baumes • Satz: Die Höhe h eines AVL-Baumes mit n Blättern (und n - 1 inneren Knoten) beträgt höchstens, c * log2n + 1, d.h. • h ≤ c log2n + 1, mit einer Konstanten c. • Beweis: Für die Fibonacci-Zahlen gilt: • Wegen • n ≥ Fh+2 1.894... * 1.618 . . .h • folgt somit Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  10. 7 4 4 4 5 Einfügen in einen AVL-Baum • Bei jeder Modifikation des Baums müssen wir garantieren, dass dieAVL-Baum-Eigenschaft erhalten bleibt. • Ausgangssituation: Nach Einfügen von 5: 7 Problem: Wie können wir den neuen Baum so modifizieren, dass einAVL-Baum daraus entsteht? Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  11. -1 -1 +1 +1 0 0 0 Speichern des Balancegrads in den Knoten • Um die AVL-Baum-Eigenschaft wiederherzustellen, genügt es, in jedem Knoten den Balancegrad mitzuführen. • Laut Definition gilt • bal(p) = h(p.right) – h(p.left)  {-1, 0, 1} • Beispiel: Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  12. x AVL-Einfügen: Die verschiedenen Fälle • Der Baum ist leer: Schaffe einen einzigen Knoten mit zwei Blättern, • speichere dort x und fertig! • Der Baum ist nicht leer und die Suche endet bei einem Blatt. • Sei Knotenp Vater des Blattes, bei dem Suche endet. • Wegen bal(p)  {-1, 0, 1} muss gelten, dass entweder • der linke Nachfolger von p ein Blatt ist, aber nicht der rechte (Fall 1) oder • der rechte Nachfolger von p ein Blatt ist aber nicht der linke (Fall 2) oder • p beide Nachfolger von p sind Blätter (Fall 3). Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  13. Beispiel eines AVL-Baumes Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  14. p +1 p 0 0 x 0 Gesamthöhe unverändert (1) Fall 1: [bal(p) = + 1] und x < p.key, da Suche bei Blatt mit Vater p endet. fertig! Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  15. p -1 p 0 0 0 x Gesamthöhe unverändert (2) Fall 2: [bal(p) = - 1] und x > p.key, da Suche bei Blatt mit Vater p endet. fertig! Beide Fälle sind unkritisch. Die Höhe des Teilbaums, in dem p sichbefindet, ändert sich nicht. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  16. p 0 p 1 k k p 0 p -1 k k x x 0 Der kritische Fall • Fall 3: [bal(p) = 0] Dann sind beide Söhne von p Blätter. Die Höhe wächst! • Wir unterscheiden, ob wir den neuen Schlüssel x als rechten oder linken Nachfolger von p einfügen müssen: • bal(p) = 0 und x > p.key bal(p) = 0 und x  p.key • In beiden Fällen benötigen wir eine Prozedur upin(p), die den Suchpfadzurückläuft, die Balancegrade prüft und Umstrukturierungen (sogenannte Rotationen oder Doppelrotationen) durchführt. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  17. Die Prozedur upin(p) • Wenn upin(p) aufgerufen wird, ist stets bal(p)  {-1, 1} und dieHöhe des Teilbaums mit Wurzel p ist um 1 gewachsen. • upin(p) startet bei p und geht schrittweise nach oben (ggf. bis zur Wurzel). • In jedem Schritt wird dabei versucht, die AVL-Baum-Eigenschaftwiederherzustellen. • Wir konzentrieren uns im folgenden auf die Situation, dass p linkerNachfolger seines Vorgängers φp ist. • Die Situation, dass p rechter Nachfolger seines Vorgängers φp ist, kannanalog behandelt werden. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  18. φp 0 p Fall1: bal(φp) = 1 • Der Vorgänger φp hat den Balancegrad +1. Da sich die Höhe desTeilbaums mit Wurzel p als linker Nachfolger von φp um 1 erhöht hat, genügt es, den Balancegrad von φp auf 0 zu setzen: φp +1 p fertig! Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  19. φp φp -1 0 p p Fall 2: bal(φp) = 0 • Der Vorgänger φp hat den Balancegrad 0. Da sich die Höhe desTeilbaums mit Wurzel p als linker Nachfolger von φp sich um 1 erhöht hat, ändert sich der Balancegrad von φp auf -1. Da sich gleichzeitig die Höhe des Teibaums mit Wurzel φp verändert hat, müssen wir upin rekursiv mit φp als Argument aufrufen. upin(φp) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  20. φp -1 p Der kritische Fall 3: bal(φp) = -1 • Wenn bal(φp) = -1 und die Höhe des linken Teilbaums p von φp um 1gewachsen ist, muss die AVL-Baum-Eigenschaft in φp verletzt sein. • In diesem Fall müssen wir den Baum umstrukturieren. • Erneut unterscheiden wir zwei Fälle, nämlich bal(p) = -1 (Fall 3.1)und bal(p) = +1 (Fall 3.2). • Die Invariante beim Aufruf von upin(p) bedeutet, dass bal(p)  0. Der Fall bal(p) = 0 kann also nicht vorliegen! Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  21. φp x y -1 φp 0 x -1 y 0 3 h - 1 1 h 2 h - 1 2 h - 1 3 h - 1 1 h Fall 3.1: bal(φp) = -1 und bal(p) = -1 Rotation nach rechts fertig! Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  22. Ist der resultierende Baumnoch ein Suchbaum? • Es muss garantiert sein, dass der resultierende Baum die • Suchbaumeigenschaft und die • AVL-Baum-Eigenschaft erfüllt. • Suchbaumeigenschaft: Da der ursprüngliche Baum dieSuchbaumeigenschaft erfüllt, muss gelten: • Alle Schlüssel in Baum 1 sind kleiner als x. • Alle Schlüssel in Baum 2 sind größer als x und kleiner als y. • Alle Schlüssel in Baum 3 sind größer als y (und x). • Daher erfüllt auch der resultierende Baum die Suchbaumeigenschaft. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  23. Ist der resultierende Baum balanciert? • AVL-Baum-Eigenschaft: Da der ursprüngliche Baum ein AVL-Baum war, muss gelten: • Wegen bal(φp) = -1 haben Baum 2 und Baum 3 die gleiche Höhe h -1. • Wegen bal(p) = -1 nach dem Einfügen, hat Baum 1 die Höhe h,während Baum 2 die Höhe h - 1 hat. • Damit gilt nach der Rotation: • Der Knoten, der y enthält, hat Balancegrad 0. • Der Knoten φp hat Balancegrad 0. • Somit ist der AVL-Baum-Eigenschaft wieder hergestellt. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  24. Fall 3.2: bal(φp) = -1 und bal(p) = +1 Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  25. y φp 0 h x h z 1 h - 1 2 h – 1 h - 2 3 h - 2 h - 1 4 h - 1 Fall 3.2: bal(φp) = -1 und bal(p) = +1 φp z -1 Doppel- rotation links-rechts fertig! p x +1 4 h - 1 h y 2 h – 1 h - 2 3 h – 2 h - 1 1 h-1 Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  26. Eigenschaften der Teilbäume • Der neue Schlüssel muss in den rechten Teilbaum von p eingefügt worden sein. • Die Bäume 2 und 3 müssen unterschiedliche Höhe haben, weil sonst die Methode upin nicht aufgerufen worden wäre. • Die einzig mögliche Kombination der Höhen in den Bäumen 2 und 3 ist somit (h - 1,h - 2) und (h - 2,h - 1), sofern sie nicht leer sind. • Wegen bal(p) = 1 muss Baum 1 die Höhe h - 1 haben • Schließlich muss auch Baum 4 die Höhe h - 1 haben (wegenbal(φp) = -1. • Somit erfüllt der resultierende Baum ebenfalls die AVL-Baum-Eigenschaft. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  27. Suchbaumeigenschaft • Es gilt: • Die Schlüssel in Baum 1 sind sämtlich kleiner als x. • Die Schlüssel in Baum 2 sind sämtlich kleiner als y aber größer als x. • Die Schlüssel in Baum 3 sind alle größer als y und x aber kleiner als z. • Die Schlüssel in Baum 4 sind alle größer als x, y und z. Daher hat auch der durch die Doppelrotation entstandene Baum dieSuchbaumeigenschaft. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  28. Hinweise • Wir haben lediglich den Fall betrachtet, dass p linker Nachfolger seinesVorgängers φp ist. • Der Fall, dass p rechter Nachfolger seines Vorgängers φp ist, kannanalog behandelt werden. • Um die Methode upin(p) effizient zu implementieren, müssen wir bei der Suche nach der Einfügestelle des neuen Schlüssels eine Liste aller besuchten Knoten anlegen. • Dann können wir diese Liste bei den rekursiven Aufrufen nutzen, umjeweils zum Vorgänger überzugehen und ggf. die erforderlichenRotationen oder Doppelrotationen auszuführen. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  29. Das Einfügen in einen nicht leeren AVL-Baum • bal(p) = +1 und x < p.key Anhängen links von p, fertig. • bal(p) = -1 und x > p.key Anhängen rechts von p, fertig. • p ist Blatt, d.h. jetzt gilt bal(p)  {-1, 1}  upin(p) • Die Methode upin(p): • p ist linker Nachfolger vonφp(a) bal(φp) = +1  bal(φp) = 0, fertig.(b) bal(φp) = 0  bal(φp) = -1, upin(φp)(c) i. bal(φp) = -1 und bal(p) = -1 Rotation nach rechts, fertig. ii. bal(φp) = -1 und bal(p) = +1 Doppelrotation links-rechts, fertig. • p ist rechter Nachfolger vonφp.... Suche nach x endet bei einem Blatt mit Vorgänger p Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  30. -1 10 3 1 15 0 0 7 Ein Beispiel (1) • Ausgangssituation: Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  31. -1 10 *p 3 1 15 0 1 7 0 9 Ein Beispiel (2) • Einfügen von Schlüssel 9: • AVL-Baum-Eigenschaft ist verletzt! Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  32. -1 10 7 0 15 0 0 0 3 9 Ein Beispiel (3) • Linksrotation bei *p liefert: Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  33. Ein Beispiel (4) • Einfügen von 8 mit anschließender Doppelrotation liefert: -1 10 0 9 links-rechts 7 1 15 0 7 0 10 1 0 -1 0 3 9 15 0 0 3 8 0 8 Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  34. Entfernen aus einem AVL-Baum • Wie gehen ähnlich vor wie bei Suchbäumen:1. Suche nach dem zu entfernenden Schlüssel.2. Falls der Schlüssel nicht enthalten ist, sind wir fertig.3. Andernfalls unterscheiden wir drei Fälle: (a) Der zu löschende Knoten hat keine inneren Knoten als Nachfolger. (b) Der zu löschende Knoten hat genau einen inneren Knoten als Nachfolger. (c) Der zu löschende Knoten hat zwei innere Knoten als Nachfolger. • Nach dem Löschen eines Knotens kann ggf. die AVL-Baum-Eigenschaftverletzt sein (wie beim Einfügen). • Dies muss entsprechend behandelt werden. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  35. Der zu löschende Knoten hat nur Blätter als Nachfolger Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  36. Zu löschender Knoten hat einen inneren Knoten als Nachfolger Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  37. Zu löschender Knoten hat genau 2 innere Knoten als Nachfolger • Wir gehen zunächst so vor, wie bei Suchbäumen: • 1. Wir ersetzen den Inhalt des zu löschenden Knotens p durch denseines symmetrischen Nachfolgers q. • 2. Danach löschen wir den Knoten q. • Da q höchstens einen Nachfolger (den rechten) haben kann, treffenfür q die Fälle 1 und 2 zu. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  38. Die Methode upout • Die Methode upout funktioniert ähnlich wie die Methode upin. • Sie wird entlang des Suchpfads rekursiv aufgerufen und adjustiert dieBalancegrade durch Rotationen und Doppelrotationen. • Wenn upout für einen Knoten p aufgerufen wird, gilt (s.o.):1. bal(p) = 02. Die Höhe des Teilbaums mit Wurzel p ist um 1 gefallen. • upout wird nun so lange rekursiv aufgerufen, wie diese beidenBedingungen gelten (Invariante). • Wiederum unterscheiden wir 2 Fälle, abhängig davon, ob p linker oderrechter Nachfolger seines Vorgängers φp ist. • Da beide Fälle symmetrisch sind, behandeln wir im Folgenden nur denFall, dass p linker Nachfolger von φp ist. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  39. φp 0 0 φp -1 p Fall 1.1: p ist linker Nachfolger von φp und bal(φp) = -1 • Da die Höhe des Teilbaums mit Wurzel p um 1 gesunken ist, ändert sich die Balance von φp zu 0. • Damit ist aber die Höhe des Teilbaums mit Wurzel φp um 1 gesunken und wir müssen upout(φp) aufrufen (die Invariante gilt jetzt für φp!). upout(φp) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  40. φp 0 p Fall 1.2: p ist linker Nachfolger von φp und bal(φp) = 0 • Da sich die Höhe des Teilbaums mit Wurzel p um 1 verringert hat, ändert sich die Balance von φp zu 1. • Anschließend sind wir fertig, weil sich die Höhe des Teilbaums mit Wurzel φp nicht geändert hat. φp 1 p 0 fertig! Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  41. φp +1 0 q p Fall 1.3: p ist linker Nachfolger von φp und bal(φp) = +1 • Der rechte Teilbaum von φp war also vor der Löschung bereits um 1größer als der linke. • Somit ist jetzt in dem Teilbaum mit Wurzel φp die AVL-Baum-Eigenschaft verletzt. • Wir unterscheiden drei Fälle entsprechend dem Balancegrad von q. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  42. φp w v +1 -1 p u 0 q w 0 v +1 p u 0 3 h + 1 0 h – 1 1 h – 1 2 h + 1 3 h + 1 0 h - 1 1 h – 1 2 h + 1 Fall 1.3.1: bal(q) = 0 Rotation nach links fertig! Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  43. φp w v +1 0 p u 0 q w 0 v 0 p u 0 0 h – 1 1 h – 1 2 h 3 h + 1 0 h - 1 1 h – 1 2 h Fall 1.3.2: bal(q) = +1 • Erneut hat sich die Höhe des Teilbaums um 1 verringert, wobei bal(r) = 0(Invariante). • Wir rufen also upout(r) auf. Rotation nach links 3 h + 1 Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  44. φp v +1 p u 0 q w -1 z 0 h – 1 1 h – 1 4 h 2 3 Fall 1.3.3: bal(q) = -1 • Wegen bal(q) = -1 muss einer der Bäume 2 oder 3 die Höhe h besitzen. • Deswegen ist auch in diesem Fall die Höhe des gesamten Teilbaums um1 gefallen, wobei gleichzeitig bal(r) = 0 gilt (Invariante). • Wir rufen also wieder upout(r) auf. r z 0 Doppel- rotation rechts-links v 0 w 0 p u 0 3 0 h - 1 1 h – 1 2 4 h Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  45. Beobachtungen • Anders als beim Einfügen, kann es beim Löschen vorkommen, dass auchnach einer Doppelrotation die Methode upout rekursiv aufgerufenwerden muss. • Daher reicht i.Allg. eine einzelne Rotation oder Doppelrotation nichtaus, um den Baum wieder auszugleichen. • Man kann Beispiele konstruieren, in denen an allen Knoten entlangdes Suchpfads Rotationen oder Doppelrotationen ausgeführt werdenmüssen. • Wegen h ≤ 1.44 ... log2(n) + 1 gilt aber, dass das Entfernen einesSchlüssels aus einem AVL-Baum mit n Schlüsseln in höchstensO(log n) Schritten ausführbar ist. • AVL-Bäume sind eine worst-case-effiziente Datenstruktur für dasSuchen, Einfügen und Löschen von Schlüsseln. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  46. Bruder-Bäume • Idee: • Innere Knoten dürfen auch nur einen Nachfolger haben. • Solche Knoten heißen unäre Knoten. • Durch Einfügen der unären Knoten erreicht man, dass alle Blätterdieselbe Tiefe haben. • Zu viele unäre Knoten führen jedoch zu entarteten Bäumen mit großer Höhe und wenigen Blättern. • Man verhindert das Entarten, indem man eine Bedingung an sogenannte Bruderknoten stellt. • Zwei Knoten heißenBrüder, wenn sie denselben Vorgänger haben. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  47. Definition von Bruder-Bäumen Definition: Ein binärer Baum heißt ein Bruder-Baum, wenn jeder innereKnoten einen oder zwei Nachfolger hat, jeder unäre Knoten einenbinären Bruder hat und alle Blätter dieselbe Tiefe haben. Bruder–Baum kein Bruder-Baum kein Bruder-Baum Bruder-Baum Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  48. Beobachtungen • Ist ein Knoten p der einzige Nachfolger seines Vorgängers, so ist p einBlatt oder binär. Von zwei Nachfolgern eines binären Knotens kannhöchstens einer unär sein. • Offensichtlich ist die Anzahl der Blätter eines Bruder-Baumes stets um 1größer als die Anzahl der binären (inneren) Knoten. • Ebenso wie für AVL-Bäume gilt auch für Bruder-Bäume: EinBruder-Baum mit Höhe h hat wenigstens Fh+2 Blätter. • Entsprechend hat ein Bruder-Baum mit n Blättern und (n -1) innerenKnoten eine Höhe h 1.44 ... log2n. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  49. Bruder-Bäume als Suchbäume • Nur binäre Knoten enthalten Schlüssel. • Die Schlüssel im linken Teilbaum eines Knotens p sind alle kleiner als der Schlüssel in p. Umgekehrt sind alle Schlüssel im rechten Teilbaum von p größer als der von p. • Unäre Knoten enthalten keine Schlüssel. Eine Möglichkeit Bruder-Bäume als Suchbäume zu verwenden sind die sogenannten 1-2-Bruder-Bäume: Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

  50. Einschub: a-b-Bäume • Definition: Ein a-b-Baum ist ein Baum mit folgenden Eigenschaften: • 1. Jeder innere Knoten hat mindestens a und höchstens b Nachfolger. • 2. Alle Blätter haben die gleiche Tiefe. • 3. Jeder Knoten mit i Nachfolgern enthält genau i - 1 Schlüssel. • Bemerkungen: • 1. Bruder-Bäume sind spezielle 1-2-Bäume. • 2. Die später behandelten B-Bäume sind m/2 -m-Bäume (m≥ 2). Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann

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