Aporte de Euclides a la Ciencia

1. Aporte de Euclides a la Ciencia David Caldera Pablo Navarrete Francisca Pino Mario Toro Elizabeth Villanueva

2. Contexto Histótico Los primeros y más antiguos textos de matemáticas provienen principalmente de Mesopotamia y zonas cercanas a este lugar. Sin embargo la historia de la matemática no se aposenta en esta zona, si no en Grecia.

3. Hubieron aportes mayormente de los Fenicios con un sistema de numeración menos engorroso que el egipcio que luego continuaron los griegos. • Estos últimos hicieron de estos conocimientos una herramienta fundamental en los asuntos humanos. • En Grecia exisiteron grandes referentes como Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides.

4. Euclides plasmó la abstracción, la inducción y la demostración. También aportó en la biblioteca de Alejandria escribiendo una recopilación de libros acerca de propiedades de la geometría y los números, estableciendo Axiomas de los cuales se desglosa la geometría que conocemos hoy.

5. Portada de la primera edición inglesa de los Elementos de Euclides (Londres 1570)

6. Matemáticos de la Antiguedad

7. Constitución de los Elementos • Lo que hoy llamamos Elementos de Euclides es un texto que nos ha llegado mediante una redacción de Teón de Alejandría del siglo IV y que pudo ser completado posteriormente con la ayuda de papiros y manuscritos antiguos, algunos anteriores a Teón, y aunque la redacción de éste es bastante completa y revisada, no debe olvidarse que es posterior en seis siglos a la redacción original, a la cual pudo haberse introducido durante ese lapso buen número de modificaciones e interpolaciones. • Los Elementos se componen de trece libros con un total de 465 proposiciones: 93 problemas y 372 teoremas. Gran parte de ellos se abren con un grupo de definiciones (términos según el vocablo utilizado por Euclides) a las que en el primer libro se agregan las proposiciones básicas, nuestros axiomas, que Euclides distingue entre postulados y nociones comunes.

8. Libros I-IV • Teoría Elemental de la Geometría Plana • Los primeros cuatro libros de los Elementos, de probable origen pitagórico, comprenden las proposiciones más importantes de geometría plana elemental, referentes a triángulos, paralelogramos, equivalencias, teorema de Pitágoras, circunferencias e inscripción y circunscripción de polígonos regulares. • Libro I • No hay ninguna introducción o preámbulo a la obra, y el primer libro comienza abruptamente con una lista de 23 definiciones. Seguidamente se añaden, tal y como se ha dicho, las 13 proposiciones básicas: postulados y nociones comunes

9. Nociones comunes • Las cosas iguales a una misma cosa, son también iguales entre sí. • Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales. • Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales. • Si a cosas desiguales se añaden cosas iguales los totales son desiguales. • Los dobles de una misma cosa son iguales entre sí. • Las mitades de una misma cosa son iguales entre sí. • Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. • El todo es mayor que la parte.

10. Consta de 48 proposiciones (14 problemas y 34 teoremas) y puede considerarse dividido en dos partes: las primeras 32 proposiciones se refieren a las propiedades de los triángulos, terminando con el teorema característico de la geometría euclidiana de ser constante el igual a dos rectos la suma de los ángulos de cualquier triángulo. • Cabe agregar que el Quinto Postulado, el de las paralelas, por cuanto se deduce de él la existencia de la paralela única a una recta desde un punto exterior, no se introduce hasta la proposición 29, lo que prueba que Euclides trató evidentemente de evitarlo en las 28 anteriores, grupo de proposiciones que constituye de por sí una geometría independiente del quinto postulado. • Las últimas 16 proposiciones del libro se refieren en cambio a paralelogramos y triángulos y sus equivalencias, terminando con los teoremas, directo y recíproco, de Pitágoras. La demostración de ese teorema, según comentaristas antiguos, pertenecería al mismo Euclides. En ella, Euclides no da la demostración que se da normalmente en los libros de texto actuales, en los cuales se aplican proporciones simples entre los lados de los triángulos semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa. Se supone que evitó tal la demostración debido a las dificultades que trae consigo en el caso de inconmensurabilidad. Solamente al llegar al Libro V se dedica Euclides a establecer la ya bien fundamentada teoría de proporciones, y hasta ese momento evita en lo posible el uso de las mismas.

11. Para demostrarlo utilizó en cambio una bella demostración en la que se usa una figura que se ha descrito a veces como un molino de viento o como la silla de la novia (Matehematical Gazette, 11, 1922-1923) Demostrando que la suma de los cuadrados es igual al cuadrado sobre la hipotenusa

12. Euclides. Elementos. Libro I, proposición 47. El teorema de Pitágoras. (Manuscrito griego 2344, siglo XII.)

13. El libro II de los elementos es uno de los más cortos, y su contenido no tiene mayor importancia en la matemática moderna. • El libro utiliza el concepto de gnomon para la mayoría de las proposiciones

14. Los siguientes libros III y IV estan dedicados principalmente a la geometría de la circunferencia. • La proposición más importante es la constancia del producto de los segmentos determinados por las secantes trazados desde un punto interior o exterior. • Aquí se estudian también problemas relacionados con la circunscripción e inscripción de poligonos regulares. • Los libros V y VI estudian la teoría general de las proporciones numéricas. • Se generaliza el teorema de pitágoras.

15. Los libros VII al IX tratan la aritmética. • Aquí se estudian la teoría de proporciones, números primos, mcd , mcm, progresiones geométricas y propiedades sencillas de cuadrados y cubos. • El libro IX presenta una resolución importante al problema de la factorización de un número. Aquí se reconoce que todo número posee una factorización única en factores primos, además que el número de primos es infinito y se establece el concepto de número perfecto. • El libro X recibe el nombre de “La cruz de las matemáticas”, en donde se trata la clasificación de segmentos incomensurables. Hoy se considera como un linro sobre números irracionales.

16. Entre otros libros fuera de la obra de los elementos, Euclides estudió problemas de la óptica, astronomía y mecánica.

17. Los 5 postualdos de Euclides 1. - Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro. 2. - Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida. 3. - Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia. 4. - Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 5. - Si una recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos.

18. QUINTO POSTULADO DICE LITERALMENTE ASÍ: • “Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos, del mismo lado, menores que dos rectos, entonces las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado que están los ángulos menores que los rectos.” ALGUNAS FORMULACIONES EQUIVALENTES: 1.- Rectas paralelas son equidistantes. 2.- Dos rectas paralelas guardan una distancia entre si finita. 3.- Existe un par de triángulos no congruentes, pero si semejantes. 4.- Por un punto exterior a una recta, sólo cabe trazar un paralela.

19. DIFICULTAD Y PROBLEMA: • Hoy resulta difícil comprender que se considerara polémico este postulado. Esto es así porque se ha popularizado el postulado de Tolomeo, ya que es equivalente. • Al leer los postulados tal cual los escribió Euclides es fácil entender que muchos consideraran el quinto postulado como algo independiente de los otros cuatro. La pregunta es: ¿Es realmente un postulado o debe incluirse entre las proposiciones o teoremas? • Esto es porque desde el inicio hay diversas dificultades (psicológicas) en aceptarlo, lo cual desarrollo distintas posiciones frente a éste. • Pues, en toda discusión relacionada con éste, se encuentra el horror a lo infinito. La posibilidad de que las cosas sucedan en el infinito les repulsa a los griegos. INDEPENDENCIA DEL QUINTO POSTULADO: • Después de 22 siglos, tras la escritura de “Los Elementos” se concluyó que el quinto postulado es independiente de los otros cuatro. • La prueba de esto está en que existen dos geometrías en las que no se cumple este postulado. • Según Euclides una línea es una longitud sin anchura. Una línea recta es aquella que yace por igual al respecto de los puntos que están en ellas. • La definición de Arquímedes es: La recta es la mas corta de todas la líneas que tienen los mismos extremos.

20. APARICIÓN GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS: • La independencia del quinto postulado la concluyen Bolyai y Lovatchevsky, mediante la contradicción matemática y sus geometrías. • La idea es la siguiente: Si el quinto postulado depende de los otros cuatro no hace falta incluirlo, pues aparecería como teoría mas tarde. Por otro lado, si se elimina el postulado y se añade la negación de este, entonces debe ser dependiente de los otros cuatro. Así llegaremos a que el quinto postulado y su contrario son ciertos, lo cual no es admisible. Por lo que alguna hipótesis es falsa. • Si bien es cierto, con esto no se llegó a una contradicción alguna, se comprobó que las geometrías de Bolyai y Lobatchevsky eran consistentes. • Por ejemplo, para negar el quinto postulado, podemos decir que si pasan rectas infinitas, obtenemos la geometría hiperbólica de Lobatchevsky.

21. Importancia y Trasendencia de Euclides · Recopilación y resumen de obras previas. · Geometría como instrumento de razonamiento deductivo. · Influencia sobre el pensamiento científico. · Motivación al posterior desarrollo de nuevas geometrías. · Utilidad en distintas disciplinas científicas. · Vigencia de la geometría plana como contenido visto en la educación primaria y secundaria.