内容提要  如何建立一个简单的线性规划模型  线性规划模型的图解法  单纯形法求线性规划模型的方法  改进的单纯形法  对偶问题的相关概念  案例

1. 第2章 线 性 规 划 内容提要  如何建立一个简单的线性规划模型  线性规划模型的图解法  单纯形法求线性规划模型的方法  改进的单纯形法  对偶问题的相关概念  案例  线性规划问题的单纯形解法的基本原理

2. 2.1 线性规划及其数学模型 2.1.1 案例 例2.1某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件利润分别是300元和500元。 甲、乙产品的部件各自在A、B两个车间分别生产，每件甲、乙产品的部件分别需要A、B车间的生产能力1工时和2工时； 两种产品的部件最后都要在C车间装配，装配每件甲、乙产品分别需要3工时和4工时。A、B、C三个车间每天可用于生产这两种产品的工时分别是8、12、36。 应如何安排生产这两种产品才能获利最大？

3. 2.1 线性规划及其数学模型 解设 、 分别是甲产品和乙产品的日产量，z为这两种产品每天总的利润。首先列出该问题的数据，如表2.1所示。 表2.1 例2.1数据表

4. 2.1 线性规划及其数学模型 根据题意，建立模型如下： 其中，max是英文maximize（最大化）的缩写

5. 2.1 线性规划及其数学模型 例2.2有A、B、C三个工地，每天A工地需要水泥17百袋，B工地需要用水泥1800袋，C工地需要水泥1500袋。为此，甲、乙两个水泥厂每天生产2300袋水泥和2700袋水泥专门供应三个工地。两个水泥厂至工地的单位运价如表2.2所示。 问：如何组织调运使总运费最省。

6. 2.1 线性规划及其数学模型 表2.2 水泥厂至工地运价 千元/百袋

7. 2.1 线性规划及其数学模型 解设xij为甲、乙两个水泥厂分别运到A、B、C三个水泥厂的水泥袋数， 则可以做出如表2.3所示的数据表。 表2.3 例2.2数据表

8. 2.1 线性规划及其数学模型 由题意容易得到如下数学模型： 其中，min是英文minimize（最小化）的缩写。

9. 2.1.2 线性规划的一般模型 一般线性规划模型可以表示如下： （2-1） （2-2）

10. 2.1.2 线性规划的一般模型 建立一个实用的线性规划模型必须明确以下四个组成部分的含义： 第一，决策变量。决策变量是模型中的可控而未知的因素，经常使用带不同下标的英文字母表示不同的变量，如式（2-2）中的xj。 第二，目标函数。线性规划模型的目标是求系统目标的极值，可以是求极大值，如企业的利润和效率等，也可以是求极小值，如成本和费用等。式（2-1）即为最优化目标函数，简称目标函数。式中opt即optimize（最优化）的缩写，根据问题要求不同，可以表示为max（最大化）或min（最小化）。

11. 2.1.2 线性规划的一般模型 第三，约束条件。约束条件是指实现系统目标的限制性因素，通常表现为生产力约束、原材料约束、能源约束、库存约束等资源性约束，也有可能表现为指标约束和需求约束，如式（2-2）中的前m个式子。 第四，非负限制。由于在生产实际问题中，资源总是代表一些可以计量的实物或人力，因而一般不能是负数，如式（2-2）中的最后一个式子。

12. 2.2 线性规划的图解法 例2.3 用图解法求例2.1中的线性规划模型的解，如图2.1所示。 x2 Z法向 9 G (0,9) x18 D (0,6) C (4,6) F (8,6) 6 2x212 B (8,3) 3 R Z42 A (8,0) E (12,0) x1 O (0,0) 4 8 12 3x14x236 z15 z30 z0 图2.1 例2.3图

13. 2.2 线性规划的图解法 解 首先，根据所有约束条件共同构成的图形是可行域图形。具体方法为：在Ox1x2平面直角坐标系中，由于x1≥0，x2≥0，所以指的是在第一象限；画出直线3x14x236，定出约束条件3x14x2≤36表示的区域；

14. 2.2 线性规划的图解法 为了找到3x14x2＜36的半平面，只要在某个半平面上找到一点，把该点的坐标代入不等式，若满足不等式，则该点所在半平面为所求，否则为另一半平面3x14x2＞36。为了计算简单起见，一般选取原点（0,0）代入不等式，因把原点坐标代入时能满足不等式3040＜36，所以原点所在半平面满足不等式，于是约束条件3x14x2≤36代表含原点的半平面及直线3x14x236本身。

15. 2.2 线性规划的图解法 画出直线2x212，定出2x2≤12的平面。由于原点满足不等式2x2＜12，所以2x2≤12为含直线2x212在内的下半平面。画出直线x18，定出x1≤8的半平面，由于原点满足该不等式，所以x1≤8表示含原点在内的左半平面及直线x18本身。本模型的可行域图形如图2.1阴影部分所示，即标识为R的部分。

16. 2.2 线性规划的图解法 其次，画出目标函数z3x15x2的等值线。本模型的目标函数代表以z为参数的一簇平行线，由小到大适当地给z赋值，如令z0, 15, 30,…，可得到一组平行线，而位于同一直线上的点具有相同的目标函数值（z值）。

17. 2.2 线性规划的图解法 然后，找到最优解。沿着垂直于等值线的方向（即直线z3x15x2的法向沿z值递增的方向），移动直线z3x15x2，当移动到C点时，值在可行域上达到最大，从而确定C(4,6) 点就是本模型的最优点，即x14，x26，zmax 42为最优解。

18. 2.2 线性规划的图解法 从以上图解法的过程可以看出，图解法只能适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。但是，通过图解法可以得到以下结论：

19. 2.2 线性规划的图解法 （1）线性规划的可行域为凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合中。这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上必将是一个凸几何体。 （2）线性规划的最优解在凸集的某一个顶点上达到（存在凸集的某一条边界上达到的可能性）。 （3）线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。

20. 2.2 线性规划的图解法 以上三点结论是非常有用的，特别是第二点结论非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点上达到（特殊情况为在凸集的某一条边界上达到）。由于可行域的顶点个数是有限的，所以在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一 一寻找即可。这样将极大地降低线性规划问题的复杂程度，减少大量的工作。

21. 2.2 线性规划的图解法 需要特别说明的是，在实际使用图解法求线性规划问题的解时，可能会遇到三种特殊情况，下面通过三个例题分别对三种情况进行说明。

22. 2.2 线性规划的图解法 例2.4 求解线性规划问题，其模型如下：

23. 2.2 线性规划的图解法 解画出直线2x1x28，x23.5，x12x28，x10和x20，它们围成的凸多边形OABCD就是满足全部约束条件的点（可行解）构成的区域，所以凸多边形OABCD就是可行域，如图2.2所示。

24. 2.2 线性规划的图解法 x2 2x1x28 A B C x12x28 x1 O D x12x20 图2.2 例2.4图

25. 2.2 线性规划的图解法 由于目标函数zx12x2与约束条件x12x28的斜率都是 ，所以在所有等值线中，必有一条等值线 与可行域的边BC重合，既与可行域相交，又离原点最远，于是BC边上每一点都是最优解，因而有无数个最优解（不惟一）。

26. 2.2 线性规划的图解法 在具体计算目标函数的最大值时，理论上可以从线BC上任意取一点代入，但为了计算简单起见，往往选择一个特殊点。此处选择B (1,3.5 ) 点，可把这个最优解代入目标函数中得最大值为 。

27. 2.2 线性规划的图解法 例2.5 求解线性规划问题，其模型如下：

28. 2.2 线性规划的图解法 解 将约束条件画在Ox1x2平面直角坐标系中，如图2.3所示。因为约束条件x1x2≥1表示含直线x1x21及不含原点的半平面；约束条件x12x2≤2表示含直线x12x2 2与原点的半平面；约束条件x1≥0，x2≥0表示只在第一象限。我们发现，可行解域是无界区域，平行直线族的直线可以无限远离原点，又与可行域相交，因此目标函数无上界，线性规划问题无最优解，即z2x12x2无最大值。

29. 2.2 线性规划的图解法 例2.6 求解线性规划问题，其模型如下：

30. 2.2 线性规划的图解法 解 将约束条件画在Ox1x2平面直角坐标系中，如图2.4所示。因为约束条件x1x2≥1表示包括直线x1x21及不含原点的半平面；约束条件x1x2≤2表示包括直线x1x22及不含原点的半平面；约束条件x1≥0，x2≥0表示在第一象限，如图2.4所示。由图2.4可知，同时满足约束条件的点不存在，即不存在可行域，没有可行解，当然也没有最优解。

31. 2.2 线性规划的图解法 由本节四个例题看出，两个变量的线性规划问题的解，可能有以下四种情况。 （1）有惟一最优解，并且一定是可行域上的一个顶点（如例2.3的情形）。 （2）有无数多个最优解，并且最优解一定是可行域上的一条边（如例2.4的情形）。 （3）有可行解，但是没有最优解，并且可行域上的点使目标函数趋向无穷大（如例2.5的情形）。 （4）没有可行解，不存在可行域，当然无最优解（如例2.6的情形）。 上述结论对一般线性规划问题也是成立的。

32. 2.2 线性规划的图解法 x2 B x12x22 2x12x20 x1 O A x1x21 图2.3 例2.5图

33. 2.2 线性规划的图解法 图2.4 例2.6图

34. 2.3 线性规划问题 2.3.1 线性规划问题的标准型 一般线性规划问题的标准型为

35. 2.3.1 线性规划问题的标准型 或简记为

36. 2.3.1 线性规划问题的标准型 上述标准型有以下四个特征： （1）决策变量全大于或等于零； （2）约束条件全为线性等式； （3）约束条件右端常数项全部为非负数； （4）目标函数值总为最大。

37. 2.3.2 非标准型线性规划问题的标准化 如果我们得到的一个线性规划问题不具有以上所说的四个特征，那么我们可以通过一定的数学变形将非标准型线性规划问题标准化，具体方法如下。

38. 2.3.2 非标准型线性规划问题的标准化 （1）若目标函数取最小值min z CX，由于求z的最小值就是求z的最大值，所以可以将其转化为max (z)CX。 （2）当约束条件中第个方程出现ai1x1 ai2x2  … ainxn≤bi时，则增加一个“松弛变量”xi1≥0，使它成为等式ai1x1 ai2x2  … ainxn xi1 bi。同样，当约束条件中第个方程出现ai1x1 ai2x2  … ainxn≥bi时，则减去一个“松弛变量”xi1≥0，使它成为等式ai1x1 ai2x2  … ainxn xi1 bi。

39. 2.3.2 非标准型线性规划问题的标准化 （3）当决策变量xj不满足xj ≥0时，则增加两个新的非负决策变量x'j ≥0和x"j ≥0，用x'j x"j替代xj，即令xj  x'j x"j。 （4）当约束条件中第i个方程右端出现常数项bi ＜0时，则在方程两边同时乘以（1），得到bi ＞0。 这样，我们就可以将任意一个非标准型线性规划问题化为标准型了。

40. 2.3.2 非标准型线性规划问题的标准化 例2.7将下列非标准型线性规划问题化为标准型。

41. 2.3.2 非标准型线性规划问题的标准化 按照前面的变换方法，执行下列步骤解 ： （1）将min z转化为max (z)。 （2）令x3  x'3 x"3，且x'3≥0，x"3≥0。 （3）将第一个约束方程的左边减去一个非负的松弛变量x4，将第2、第3个约束方程的左边分别加上一个非负的松弛变量x5和x6。

42. 2.3.2 非标准型线性规划问题的标准化 这样，可以将原来的线性规划问题标准化为

43. 2.4 单纯形法的基本步骤和计算 首先介绍有关的几个概念 （1）基变量——在标准型每一个约束方程中选一个变量xj，它在该方程中的系数为1，在其他方程中系数为零，这个变量xj就称为基变量，或称为基础变量。如有m个约束方程，就可得到m个基变量，其余变量就称为非基变量。

44. 2.4 单纯形法的基本步骤和计算 （2）基本可行解——非基变量为零的可行解。 （3）基本最优解——满足目标函数的基本可行解，简称为最优解。 为了说明单纯形方法的应用，下面通过例2.8阐述其计算步骤。

45. 2.4 单纯形法的基本步骤和计算 例2.8 求解线性规划问题，其模型如下：

46. 2.4 单纯形法的基本步骤和计算 解（1）将线性规划问题化为标准型。 引入松弛变量x3 , x4 , x5 后将其转化为标准型，即

47. 2.4 单纯形法的基本步骤和计算 该标准型存在三阶单位矩阵E，如x3只在第一个方程中系数为1，而在其他方程中系数为零，说明x3为基变量；同样，x4，x5也为基变量,于是x1，x2为非基变量。 令非基变量x1x20可得一组基本可行解，即x10, x2 0, x3 4, x4 14, x5 3 这组解是否为最优要进行检验。为着重说明其方法，以下直接在单纯形表上进行迭代运算。

48. 2.4 单纯形法的基本步骤和计算 （2）列出初始单纯形表（见表2.4），并在表中计算出检验数j。表中的计算说明如下： ① zj行的计算。用Cj列（Cj列指目标函数中基变量的系数CB）中各数乘决策变量列的相对应数后再相加，即 ，具体计算结果如下：

49. 2.4 单纯形法的基本步骤和计算

50. 2.4 单纯形法的基本步骤和计算 表2.4 初始单纯形表