初中数学解题与析题嵊州市教研室蔡建锋

浅谈 • 初中数学解题与析题嵊州市教研室蔡建锋

通过典例题,落实基础知识,揭示解题方法、技巧，归纳总结解题规律，提出注意问题，提高分析水平，扩展解题思路，培养解题的灵活性和思维的发散性。通过典例题,落实基础知识,揭示解题方法、技巧，归纳总结解题规律，提出注意问题，提高分析水平，扩展解题思路，培养解题的灵活性和思维的发散性。分析解题思路，总结解题方法

典例例1、（2000年上海市中考试题）如图，在半径为6，圆心角为90º的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G。（1）当点P在弧AB上运动时，线段 GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH=x,GP=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。 C D

典例例2、（2008年广州市中考试题）如图2，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE （1）求证：四边形OGCH是平行四边形（2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度（3）求证：是定值

方法一 利用三角形的中位线与勾股定理 N

方法二 利用相似三角形与勾股定理 M

方法三 利用三角形面积与勾股定理 K

方法四 利用三角函数与勾股定理

证明圆中线段相等的几种策略 在学习了圆的知识后，在证明线段相等的方法上，增添很多新的思路和策略，如运用同圆（等圆）的圆心角相等、圆周角相等的方法来解决，也可以运用垂径定理来证明。除此之外我们对一些比较复杂的圆中线段相等的证明题，还需要运用中间媒介过渡才能达到目的。本文以近年来的竞赛题为例，浅析如何运用中间媒介来证明圆中线段相等的几种策略。

一、以等比为媒介 例1、如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， BC＝AB，OC交于⊙O于点F，直线AF交BC于E. 求证：BE＝CF。（2005年全国初中数学竞赛四川赛区初赛）

例2、如图2，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD。过点D作DE⊥AB于点E，连结AC与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论. （2003，“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛） F

二、以线段的表达式为媒介 例3、如图3，过圆外一点P，作圆的两条切线PA、PB，A，B为切点，再过点P作图的一条割线分别交圆于C、D两点，过切点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于E、F. 求证：BE＝BF。

三、以等积为媒介 例4、如图4，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于点F，若求证：（2005年全国初中数学竞赛）

四、以比例式为媒介 例5、如图5，AB为⊙O的直径，非直径的弦CD⊥AB，E是OC的中点，联结AE并延长交⊙O于点P，联结DP交BC于点F。求证：BF=CF。（2007年四川省初中数学竞赛题）

五、以四点共圆为媒介 例6、过⊙O外一点A引圆的割线ABC，交⊙O于B、C；过B、C分别引圆的切线BD、CE；过A作直线XY⊥OA，交BD，CE于D，E，求证：BD=CE。 2 3 1

六、以著名定理为媒介 例6、如图6，在 △ABC中，AB＞AC它的内切圆切边BC于点E，联结AE交内切圆于点D（不同于点E）。在线段AE 上取不同于点E的一点F，使得CE=CF，联结CF并延长交BD于点G。求证：CF=FG。

七、练习题 1、若⊙O内切于△ABC之BC、CA、AB于D、E、F，过E作BC的平行线分别交AD于G，交DF于H，求证：EG=GH。 K L

2、（1999年黄冈市初中数学竞赛） 如图8，已知⊙O是△ABC的外接圆，D为劣弧BC的中点，E为劣弧AB的中点。连接AD，交CE于点G，延长CE到点M，使ME=EG，延长DA到K，使AK=AG，CA的延长线交MK于点F。求证：（1）∠MGK=∠MKG；（2）ME=MF。

3、2002年我爱数学初中生夏令营数学竞赛 如图9，设AB、CD为⊙O的两直径。过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线PE与⊙O分别交于E、F两点，连结AE、AF分别与CD交于G、H两点。求证：OG=OH。

4、（2002年太原市初中数学竞赛） 如图10，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD，垂足为E，BE交⊙O于F，AF交CE于P。求证：PE=PC。

5、（2003年四川省初中数学竞赛） 如图11，P是平行四边ABCD的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、F，EG是过B、F、P三点的圆的切线，G为切点。求证：EG=DE。

平面几何复习课的选题 新课程下的平面几何复习课，要充分体现新课程的基本理念，把握新中考对平面几何试题的变化和考试要求，关注平面几何教学的本质，结合学生的实际和复习课的特点。在了解学生、钻研教材、研究中考的基础上，重点抓好复习课的选题。选择精彩的例题，并辅之以科学的教学方法，往往是提高平面几何复习课有效性的关键。针对上述情况，在复习过程中我从以下六个方面来编选例题。

一、选题要面向全体学生，根据学生的不同需求，体现层次性原则。 复习课要面对每一个有差异的个体，适应每一个学生的不同发展的基础，要为每一个学生提供不同的发展的机会和可能，使不同的人在数学上得到不同的发展。

1.1 （2008福建福州）如图， 是⊙O的弦，于点，若，，则⊙O的半径为cm．

1.2 如图（2），己知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的任意一点，则OP的取值范围是。（2005年贵阳市中考试题）

1.3 如图（2），己知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是弦AB上的一动点，若 OP的长为整数，则满足条件的点 P有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

1.4 如图（2），己知AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，若AB=10cm，PB=4cm,OP=5cm，则⊙O的半径等于cm。（2005年天津市中考试题）

这组题目以课本例题为基础，由易到难，层次分明。它既复习了圆中的垂径定理的基本性质，又训练了学生的基本技能和培养了学生的思维能力。这组题目以课本例题为基础，由易到难，层次分明。它既复习了圆中的垂径定理的基本性质，又训练了学生的基本技能和培养了学生的思维能力。这组题目的第3、4题对基础差的学生来说有一定的困难，无从着手。如果先安排第1、2两题的训练，并逐步引伸，这样使学生从中得到启发，使问题得以解决。

二、选题中，应加强熟练巩固定理，灵活应用基础知识，体现针对性原则。二、选题中，应加强熟练巩固定理，灵活应用基础知识，体现针对性原则。 2.1 已知如图（3）：AB=AC， ∠ABD=∠ACD，求证BC=CD。

2.2 如图（4），在△ABC中，已知M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于N，AB=10，AC=16，求MN的长。

2.3 如图（5），BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，AE=3，CD=2 ，求弦AB 和直径BC的长。

2.4 如图（6），梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=7，AB=6，且AB⊥AC，则对角线BD的长是（）。 A、11 B、12 C、 D、以上都不对

等腰三角形的性质定理和判定定理是平面几何中的重要内容，它的应用比较基础和广泛。通过这组题的学习，加强熟练巩固对等腰三角形的性质定理和判定定理的理解和应用，并在教学中教师通过这组题让学生理解等腰三角形具有“顶角的平分线垂直平分底边”的性质，反过来，“若在三角形中一个角的平分线垂直于对边，则这个三角形为等腰三角形”。

三、在选题时，要发挥基本图形的运用功能，体现代表性原则。 复杂的几何图形，往往是由一些基本图形复合而成，掌握了基本图形的构成、形式及其性质，就能从复杂图形中解脱出来，从而使平面几何证明顺利完成，下面就以“相似形”为例，谈谈基本图形在解题中的应用。

3.3 如图11，在△ABC中，AD:DC=1:3，DE:EB=1:1，则BF:FC=（）（美国犹太州数学竞赛题） A、1:3 B、1:4 C、2:5 D、2:7

3.4 如图12，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于F，则AF:FD的值是（）。（湖北省黄冈初中数学竞赛题） A、2 B、 C、 D、1

1、如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于 （）（2006年青海省中考题） A 2：1 B 3：1 C 3：2 D 4：3 改变题: （九年级数学同步训练题）思考题

方法与思路:

四、选题要选一些一题多解、一题多变的题目，体现灵活性原则 在解某些几何问题时，只要正确审题，根据条件和结论从不同的角度去分析、思考、联想，必能突破思维障碍，得以不同思路下的多种解法。引导学生对几何问题进行变式或深化推广引申、创新，让学生进行多角度、多方面的发散思考，培养学生思维的灵活性。

4.1 已知：点C和D点在AB两侧，且∠ACB= ∠ADB=90°，E是AB的中点，（1）如图13，EC与ED是什么关系？为什么？（2）当点C和D在AB同侧时，上述结论是否成立？为什么？

（3）如图14，连结CD，并且点F是CD的中点，EF和CD具有怎样的位置关系？为什么？（3）如图14，连结CD，并且点F是CD的中点，EF和CD具有怎样的位置关系？为什么？（4）当点C和D点在AB同侧时，上述结论是否成立？为什么？（5）如图15，若△CED是直角三角形，求∠CAD的度数。

通过上述这组题的设问，一步一步深入，形成“命题链”，这样不但复习了直角三角形斜边上的中线和等腰三角形“三线合一”的基本性质，而且加强了学生的分类意识，培养了学生的研究性学习的能力。

五、选题时，应注重开放性和探索性试题的讨论，体现创造性原则五、选题时，应注重开放性和探索性试题的讨论，体现创造性原则新课程下的中考试题，更注重学生的创新意识和创造能力的培养，在选题时，要选一些立意新颖的开放性和探索性试题，有利于学生创造能力的培养和全面素质的发展。

5.2 如图17，①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点。（1）求图①中，∠APD的度数；

（2）图②中，∠APD的度数为，图 ③中，∠APD的度数为；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。

通过这组开放性和探索性试题复习，让学生在自己独立思考的基础上，开展小组讨论，通过同伴互动、合作交流，使每个学生尝试失败，体验成功，培养学生思维的广阔性，提高学生的思维品质。

六、选题时，要关注操作性和运动型几何题，体现时代性原则六、选题时，要关注操作性和运动型几何题，体现时代性原则操作性和运动型几何题是近年来中考的热点问题，它把传统几何的静止状态动起来，使几何试题既新颖又灵活起来，增加了学生的思维空间。

6.1 如图18①所示，一张三角形纸片ABC， ∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图18②所示），将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F，P。

（1）当△AC1D1平移到如图18③所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。（1）当△AC1D1平移到如图18③所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围。（3）对于（2）中的结论是否有这样的x，使得重叠部分面积等于原△ABC纸片面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

初中数学 解题 与 析题 嵊州市教研室 蔡建锋