1. 先建立理想流体动力学的基本方程 — 欧拉运动微分方程

1. 第四章 理想流体动力学 课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？ 为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船坞等岸边建筑物附近下水？ 本章内容： 1.先建立理想流体动力学的基本方程—欧拉运动微分方程 2.在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日积分 3.另一特定的条件下积分可得到伯努利积分。 4.两个积分的实际应用 5.导出动量及动量矩定理，及其应用。

2. y dy A(x,y,z) dx dz x z 速度 V（x，y，z) ｐ(x，y，z) 压力 §４-１ 欧拉运动微分方程式 欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本 方程，欧拉于1775年由牛顿第二定律导出。 推导如下： 某瞬间在理想流 体中棱边为dx,dy,dz 的平行六面体，顶点 A(x,y,z)处的

3. y dy A(x,y,z) 质量力在ｘ轴上的投影： dx dz ρX dx dy dz x z 加速度在ｘ方向的投影： 由牛顿第二定律： Ｆi＝ｍａi (ｉ=x，y，z） （4-1） 以ｘ方向为例： 表面力沿ｘ向的合力： 理想流体，各面上无切应力,

4. 将以上各式代入（4-1）式中，并取ｉ＝ｘ， 得如下第一式。同理可得其余的两式： （4-2） 用矢量表示为： 即为理想流体的 欧拉运动微分方程式。

5. 该方程适用条件: 理想流体,即无论流动定常与否，可压缩还是 不可压缩均适用。 方程（4-2）有三个分量式，再加上连续方 程式共四个方程组成一方程组，方程封闭，可 求解四个未知函数ｖx ,ｖy ,ｖz和ｐ。 若要使所求的ｖx ,ｖy ,ｖz ,ｐ是某个实 际问题的解，还要满足所提问题的边界条件， 初始条件。

6. 所以有： （2）质量力具有势函数： §４-２ 拉格朗日积分式 欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下 的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解。 拉格朗日积分式有如下假设条件： （1）理想不可压缩流体：ρ＝ const. （3）若运动无旋则存在速度势函数φ，满足

7. 因此 代入欧拉方程 有

8. （4-3） 所以 （4 - 4） 上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式 括弧内函数不随空间坐标(ｘ，ｙ，ｚ)变化, 只可能是时间的函数。

9. 为书写简单，引入 （４-5） 将Φ对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影 引入Φ后，式（４-４）可改写成：

10. 或 (4-7) 若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上， 有U＝－ｇｚ，故 上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。 对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数 不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此 它在整个流场为常数。

11. (通用常数) (通用常数) 对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成 上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在 整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场 建立了速度和压力之间的关系。

12. 求出流场速度分布（理论或实验方法），  拉格朗日积分式求流场压力分布将压力分布沿固 体表面积分可求流体与固体之间的相互作用力。 应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物 理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行 驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引 的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为 什么会产生“吸底现象”等等。

13. 讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流 动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。 3.浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”

14. §４-３伯努利积分式及其应用 伯努利积分：欧拉方程在定常运动沿流线的积分 假设条件： （１）理想不可压缩，质量力有势； （２）定常运动； （３）沿流线积分。 由（1），（2）有

15. 则欧拉方程可写成 （1） （2） （3） （4） 同理有: （5） （6） 定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上下式成立

16. 即 （7） 同理 (8) （9） 式(1),(2),(3)的两边分别乘以式(4),(5),(6) 以第一式为:

17. 在流线上有 (10) （11） 将(７),(８),(９）三式相加，考虑到速度的模ｖ2＝ｖx2＋ｖy2＋ｖz2，有: 括弧内沿流线上的全微分等于零，则沿流线一定是常数:

18. 或为 （12） 在重力场中Ｕ＝－ｇｚ，则沿流线: Ｃl称为流线常数 拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同之点有二：

19. (１) 应用条件不同。拉格朗日积分只能用于无 旋流运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又 可用于有旋运动。 （２）常数Ｃ性质不同。拉格朗日积分中的常数 在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利积 分常数Ｃｌ只在同一根流线上不变，不同流线取 值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空 间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。

20. 渐变流动特点： 项在整个过水（过流） 断面上为常数。 为简单计，约定 取过水断面形心处的 数值。流线上任意一点的速度ｖ近似地用过 流断面上的平均流速U来代替即用 近似代替 为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到有限大的流束。 渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小 的流动，否则称为急变流动。

21. （13） （14） 或 适用于有限大流束的伯努利方成为： 方程适用条件： （１）理想流体，定常流动； （２）只有重力的作用； （３）流体是不可压缩的； （4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断面间不必要求为渐变流动。

22. 讨论： 1.关于渐变流动（缓变流动）过流断面上 的压力分布，是否与静止流体的压力分布 相同？ 2.为什么在急变流动的过流断面上， (Z+P/) 项不保持常数？

23. ：长度量纲，流体质点或空间点在基准面以上 的几何高度，又称位置水头。 ：长度量纲，测压管中液面上升的高度，称为 压力高度、或测管高度，或称压力水头、测 管水头记为 ：具有长度的量纲，称为流速高度或速度水 头。可用皮托管和测压管中液面高度差来 表示，记为 §4－4 伯努利方程的几何意义和能量意义 一、几何意义

25. 结论：对于理想流体，定常运动，质量力只 有重力作用时，沿流线有：几何高度、压 力高度和流速高度之和为一常数。 Z + Hp + Hv = Ｈ 三个高度（水头）之和称为总水头。 其端点的连线——总水头线为一条水平线 。如 下图所示。

26. 总水头线 压力水头线

27. ：代表单位重量流体的位能，记为 ：单位重量流体的动能，记为 单位重量流体的总机械能： ：单位重量流体的压力能，记为 二、能量意义(物理意义) 伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿 流线守恒。

28. 对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有 重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流 线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中 单位重量的位能、压力能和动能之和保持不变。

29. 讨论： 1.实际流动中总水头线不是水平线，单位 重量 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？ 2.对于管流，已经知道可作为一元流动处理。对于不可压缩流体，由连续性方程知道过流断面大处流速小，对于水平放置的管内不可压缩流体的定常流动，若已知流量、面积、能否知道该过流断面上的流体压力？ 3. 如图所示的管内定常水流，若在处开一口，将会发生情况？

30. 伯努利方程的应用： 实例一：小孔口出流（如船舶舱壁上破一洞） 图示容器装有液体，在重力作 用下从小孔流出。求流量。 设小孔面积比容器中液面 面积小很多，液面高度ｈ近似 认为不变（近似为定常流）， 不计流体粘性，此时流体的质量力只有重 力。满足伯氏方程来求解的前提。

31. 取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管 取容器液面为截面 Ⅰ，出流流束截面收缩 到最小处为截面Ⅱ，该 处流动满足渐变流的条 件。在此两截面上，各 物理量分别为： 截面Ⅰ：ｚ1＝ｈ ｐ1＝ｐ0 Ｕ1＝０ 截面Ⅱ：ｚ2＝０ ｐ2＝ｐ0Ｕ2＝Ｕ

32. Ⅰ,Ⅱ截面列伯氏方程： （15） 这样就可解出小孔理想出流的速度公式： 实际上因为粘性对阻力的影响，出流速度 小于此值，一般用一个流速系数来修正，则 Ｕ实际 ＝Ｕ （16） 由实验确定， = 0.96～１ 流量Q = 平均流速Ｕσc

33. 称为收缩系数 收缩断面：出流中，流体从四面八方向到孔口处 汇集时，因惯性的作用，流线不可能突然转到水 平方向，射出的流注因之必然出现颈缩现象。 令μ＝ ψ为流量系数 μ由实验测定，如圆形孔口，值为0.61～0.63。

34. 实例二 文德利管（一种流量计） 应用伯努利方程的原 理可制成各种测量流速或 流量的仪器。文德利管就 是其中的一种。 Ⅰ和Ⅱ处的压力差由测压管读出来，为已知量。 令Ｕ1和Ｕ2分别为Ⅰ和Ⅱ截面上的平均流速

35. 连续性方程: 解出 联立得： 流量 取管轴为基准列伯努利方程:

36. ∪形管（内装水银）： 或 因此 注意：这里没考虑流体粘性的影响，实际应用时 按上式算得的Ｑ还应乘上修正流量的系数μ，它 的值约为0.98。

37. ｄ Ⅱ Ｉ Ｑ Ｄ 实例三 汽化器 汽化器原理如图,空气由活塞的抽吸作用从自由大气中吸入,细管将汽油自油箱引来。 求:汽化器的真空度 解：取主管轴为基准，整 个汽化器作一个流管. 取入口远前方为截面Ｉ 最小截面处为截面Ⅱ

38. 由连续性方程得: 列立伯氏方程： Ⅱ Ｉ 汽化器的真空度为： 截面Ⅰ：ｚ＝０，ｐ＝ｐ0，Ｕ≈０ 截面Ⅱ：ｚ＝０，ｐ待求，

39. 管Ⅱ液面升高ｈ 和自由表面平齐 Ｂ点称为驻点 皮托管和联合测管 实例四 （用于测流速） 流线上Ａ，Ｂ，管Ⅰ（测压管）的口部 平行于流线，可测Ａ点的静压ｐ， 90°弯管Ⅱ 迎向水流，使其口部垂直于流线。 设流线近似为一组平行直 线，则铅直方向上动水压力 按静水压力分布，即 ｐA＝γｈ′ Ｂ点: ｐB＝γ（ｈ′＋ｈ）

40. 因此 得 （4－24） 管Ⅰ测得压力称动压力ｐA 管Ⅱ测的压力称总压ｐB，又称总压管皮托管。 在流线上列立伯氏方程，考虑到 Ａ点 ｚ＝０ ｐ＝ｐA UA＝U B点 ｚ＝０ ｐ＝ｐB UB＝０ 测出总压ｐB和静压ｐA之差，可算出流速。

41. 在上述问题中 因此 （4－25） ｐB－ｐA＝γ（ｈ′＋ｈ）－γｈ′＝γｈ 读出皮托管与测压管的 液面高度差h，可算出流速。

42. 实际应用上，常将测压管和皮托管结合在一起，形成“联合测管”，或称普朗特管实际应用上，常将测压管和皮托管结合在一起，形成“联合测管”，或称普朗特管 这时 UA＝U， UB＝０ Ａ处感受到动压 Ｂ处感受到总压 公式（４-２５）仍能用。

43. 实际应用中的“联合测管”（普朗特管）

44. 欲测流速的汽体重度 测压计中液体重度 若测量空气或其它液体的流速， 用∪形管连接管Ⅰ、Ⅱ，仍用公式（４-２４）即： ｐB－ｐA ：总压与动压之差 PB－ｐA＝γ1ｈ ∪形管中液面高度差。

45. s h1 0 h2 1 实例五 虹吸管 求虹吸管出口流速和最高点S处的压力 列0-1两截面的伯努利方程

46. 列0-S两截面的伯努利方程

47. 虹吸管 ｄ=150ｍｍ，Ｈ1=3.3ｍ，Ｈ2=1.5ｍ，z=6.8ｍ 不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道 最高点Ｓ处的真空值。 解：取ｏ′-ｏ′为 基准，列断面ｏ-ｏ 和２-２的伯氏方程：

48. 解得： 水流量 Ｓ处真空度 ｏ-ｏ和１-１ 断面列方程：

49. 理论力学中，动量定理是按拉格朗日观点对 质点系导出的，即质系动量的变化率等于作用在 该质系上的合外力，即 §４-５ 动量定理及动量矩定理 一、动量定理 工程中常常需要求流体和物体之间的相互作 用力的合力或合力矩。这时应用动量定理较为合 适与方便。

50. 为应用方便，需将动量定理转换成适合于控 制体的形式（欧拉法）。 控制体：相对于所选坐标系，在流场中形状、 大小任意，固定不动的空间。 控制面：控制体的边界（可以是流体，固体）。 流体经过控制面流入、流出。通过 控制面一般有流体质量、动量、能量交 换，控制体内与控制体外的流体或固体 存在作用力与反作用力。