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数学史概论

数学史概论. 李文林. 第十讲 19 世纪的几何与分析 II. 分析的拓展 19 世纪的中国数学. 分析的拓展. 复变函数论 解析数论 微分方程. 泊松. 复变函数论. 奠基人. 复函数的偏导数与积分性质 1752 年和 1777 年获得了达朗贝尔 - 欧拉条件 ( 柯西 - 黎曼条件 ). 1782-1812 年拉普拉斯 ( 法 , 1749-1827), 1815 年泊松 ( 法 , 1781-1840) 讨论了复函数的积分. 柯西 ( 法 , 1789-1857) 黎曼 ( 德 , 1826-1866)

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Presentation Transcript

  1. 数学史概论 李文林

  2. 第十讲19世纪的几何与分析II 分析的拓展 19世纪的中国数学

  3. 分析的拓展 复变函数论 解析数论 微分方程

  4. 泊松 复变函数论 • 奠基人 • 复函数的偏导数与积分性质 • 1752年和1777年获得了达朗贝尔-欧拉条件(柯西-黎曼条件) • 1782-1812年拉普拉斯(法, 1749-1827), 1815年泊松(法, 1781-1840)讨论了复函数的积分 柯西(法, 1789-1857) 黎曼(德, 1826-1866) 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)

  5. 复变函数论 • 柯西(法, 1789-1857 ): 建立复变函数的微分和积分理论 • 1814年, 1825年的论文详细讨论了复函数的积分《关于积分限为虚数的定积分的报告》, 建立了柯西积分定理 • 1826年提出留数概念 • 1831年获得柯西积分公式 • 1846年发现积分与路径无关定理

  6. 复变函数论 • 柯西, 一个复杂的人：多产的科学家、忠诚的保王党人、不出色的教师 • 父亲支持拿破仑, 与拉普拉斯、拉格朗日交往颇多 • 1805年进入巴黎综合工科学校学习工程, 1810-1815参加拿破仑工程建设 • 1816年法国科学院院士、综合工科学校教授，1821年巴黎大学教授 • 1821-1829年出版三部微积分重要著作, 成为数学分析严格化的开拓者和复变函数论的奠基人 1789年法国爆发大革命 1792年建立第一共和国 1799－1815年拿破仑当政 1814－1830年波旁王朝复辟 1830－1848年七月王朝 1848年建立第二共和国 1852－1870年第二帝国 柯西(法, 1989 ) • 1830-1838年离开法国: 到瑞士, 1831年在都灵, 1833年在布拉格 • 1849年任巴黎理学院数学天文教授, 1853-1857年任法兰西学院数学教授 • 发表论文800多篇，全集28卷

  7. 复变函数论 • 黎曼(德, 1826-1866) : 黎曼面 • 1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》 • 黎曼映射定理：存在唯一解析函数将单连通区域D双方单值保形映射为单位圆 阿尔福斯（芬－美，1907－1996年）：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。

  8. 复变函数论 • 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) • 19世纪40年代建立了幂级数基础上的解析函数理论 • 解析开拓 • 占据主导地位，三者统一 克莱因（德，1849－1925年）：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家。……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进。在他工作的分支中，他力图达到确定的形式。”

  9. 解析数论 • 1737年欧拉恒等式: 解析数论 • 1837年狄里克雷(德, 1805-1859)解决素数问题 • 1859年黎曼(德, 1826-1866)《论不超过一个给定值的素数个数》: π(x)与ζ(s) • 1896年阿达玛(法, 1865-1963)和瓦莱•普桑(比利时, 1866-1962)证明了素数定理π(x)~x/lnx

  10. 阿达玛(法, 1865-1963) 瓦莱•普桑(比利时, 1866-1962) 解析数论

  11. 解析数论 黎曼猜想(1859) 素数分布的研究推向壮丽巅峰为数学家留下魅力无穷的谜团

  12. 解析数论 黎曼猜想(1859)

  13. 解析数论 黎曼猜想(1859)

  14. 达朗贝尔(法国, 1959) 偏微分方程 • 弦振动方程：1715年和1727年泰勒(英, 1685-1731)和约翰•伯努利(瑞, 1667-1748)分别提出 • 1747年和1749年达朗贝尔(法, 1717-1783)和欧拉(瑞, 1707-1783)求出解 • 1753年丹尼尔•伯努利(瑞, 1700-1782)导出了具有正弦周期模式的解

  15. 拉普拉斯(法, 1955) 偏微分方程 • 位势方程(拉普拉斯方程)：1752年欧拉(瑞, 1707-1783)提出，拉普拉斯(法, 1749-1827) 1785年用球调和函数求解 • 拉普拉斯: 1773年进入巴黎科学院, 1796年任法兰西科学院院长, 1799年任内政部长, 1803年任上议院议长, 1817年再任法兰西科学院院长, 并封爵 • 1789年研究制定公制系统 • 1796年《宇宙体系论》的星云假说，1799－1825年《天体力学》 • “陛下, 我不需要这样的假设!”

  16. 斯托克斯 (英, 1819-1903) 麦克斯韦 (英, 1831-1879) 偏微分方程 • 位势方程 • 1828年格林(英, 1793-1841)《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》提出求解方法 • 格林: 诺丁汉磨坊主的儿子 • 研读拉普拉斯、拉格朗日的著作, 1828年完成成名之作(1850年发表) • 1833年剑桥大学自费生, 1838年学士, 积劳成病，1840年返回诺丁汉 • 发表10篇论文, 孕育了剑桥数学物理学派

  17. 傅里叶(法, 1768-1830) 偏微分方程 • 热传导方程 • 1807年傅里叶(法, 1768-1830)提出 • 1822年傅里叶《热的解析理论》 • 热传导问题的求解及新的普遍性数学方法的创造 • “这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的数学哲学头脑的数学大师才能达到”

  18. 偏微分方程 傅里叶：“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。数学分析与自然界本身同样的广阔。” • 傅里叶级数 • “傅里叶是一首数学的诗” • 法国大革命时就读于巴黎高等师范学校, 1795年在巴黎综合工科学校作为拉格朗日、蒙日的助手 • 1798年随拿破仑远征埃及, 任埃及研究院秘书 • 1801年被拿破仑任命为地方高级官员, 1808年授予男爵, 1815年全力投入学术研究 • 1817年就职于法国科学院, 1822年当选为终身秘书, 1827年被选为法兰西学院院士

  19. 常微分方程 1781年，威廉·赫歇耳 九大行星 八大行星 1844－1845年，耶得默斯，勒威烈

  20. 柯西(法, 1789-1851) 李普希茨(德, 1832-1903) 皮卡(法, 1856-1941) 常微分方程 • 解的存在性 • 柯瓦列夫斯卡娅，杰出女数学家，发表10篇论文 • 出生贵族家庭，很小对数学痴迷 • 1869年，到海德堡 • 1870年，到柏林，成为魏尔斯特拉斯的学生 • 1874年，哥廷根大学博士 • 1884年，斯德哥尔摩大学教授 • 1888年，解决“数学水妖”问题 • 1889年，彼得堡科学院通讯院士 • 1820-1830年柯西获得第一个解的存在性定理 • 1875年柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理 • 1869年李普希茨条件 • 1890年皮卡逐步逼近定理 柯瓦列夫斯卡娅 （俄，1850－1891）

  21. 1881-1886年庞加莱在《由微分方程定义的曲线》创建了微分方程的定性理论 1881-1886年庞加莱在《由微分方程定义的曲线》创建了微分方程的定性理论 • 1892年李雅普诺夫在《运动稳定性的一般问题》开创了微分方程的稳定性理论 李雅普诺夫(俄, 1857-1918) (俄, 1957) 庞加莱(法, 1854-1912) (法, 1952) 常微分方程 • 解的定性与稳定性理论

  22. 常微分方程 • 庞加莱(法, 1854-1912): 显赫的家族, 多病的童年 • 1873年进入巴黎综合工科学校, 1879年关于微分方程的论文得到博士学位, 1882年提升为巴黎大学教授, 1906年当选法国科学院院长, 1908年选为法兰西学院院士 • “我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息。他永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士, 直至他的逝世。”(沃尔泰拉) • 500篇科学论文和30本科学专著, 开辟了微分方程、动力系统、代数拓扑、代数几何等新方向的研究 • 19世纪最后四分之一和20世纪初世界数学的领袖人物, 对数学及应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师 • 1905年，鲍约奖（l0000金克朗） • 阿达玛: 庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”

  23. 常微分方程 庞加莱《科学的价值》(1905) 追求真理应该是我们活动的目标，它是值得我们活动的唯一目的，毫无疑问，世界一日不灭，痛苦终身不能已。如果我们希望越来越多地使人们摆脱物质烦恼，那正是因为他们能够在对真理的研究和思考之中享受到自由。

  24. 李善兰(清, 1811－1882年) 李善兰恒等式 19世纪的中国数学 • “呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国之边患。推源其故，制器精也，推源制器之精，算学明也。” • “人人习算，制器日精，以威海外。” • 《垛积比类》(1850)

  25. 19世纪的中国数学 • 李善兰(清, 1811－1882年)翻译部分西方学术著作 《几何原本》(1857) • 徐光启等译《几何原本》 后250年 《谈天》(1858) • 万有引力定律及天体力学 《重学》(1859) • 牛顿运动定律 《代微积拾级》[美, 罗密士](1859) 《代数学》[英, 德·摩根] (1859)

  26. 京师同文馆 19世纪的中国数学 直线之公式，地＝甲天丄乙，则地为天的函数。 李善兰: 天文算学馆数学教习(1868-1882) 小学略通书数, 大隐不在山林 代表19世纪中国传统数学最高峰

  27. 江南制造总局翻译馆 华蘅芳(中) 19世纪的中国数学

  28. 华蘅芳(清, 1833－1902年) 19世纪的中国数学 • 中国近代科学事业的先行者 • 《代数术》(1872) • 《微积溯源》(1874) • 《决疑数学》(1880)

  29. 京师大学堂( 1898－ ) 19世纪的中国数学

  30. 京师大学堂校匾( 1898-1912 ) 19世纪的中国数学

  31. 太平天国运动(1851－1864年) 19世纪的中国数学

  32. 圆明园遗址 19世纪的中国数学

  33. 中日甲午战争(1894-1895年) 19世纪的中国数学

  34. “五四”运动(1919) 19世纪的中国数学 • 中国传统数学 　历史存在与文化影响 • 中国现代数学 　另起炉灶与学习西方

  35. 衰落期 西方数学传入 1303 兴盛期 稳步发展 形成体系 1582 1911 初期 907 220 －206 周 秦 汉 魏 唐 　宋 元 　 明 清 (前221-前206) (220-265) (618-907) (960-1279)(1279-1368)(1368-1644) (1644-1911) 中算之进程

  36. 19世纪的主要数学家 庞加莱、克莱因、希尔伯特，是在19和20世纪数学交界线上高耸着的三个巨大身影，反射着19世纪数学的光辉，同时照耀着通往20世纪数学的道路。

  37. 第十讲思考题 1、从柯瓦列夫斯卡娅的数学道路谈数学中的性别歧视。 2、如何理解19世纪的数学是“函数论的世纪”？ 3、近、现代数学的分界线从何算起？谈谈您的想法。 4、试分析19世纪世界数学中心的转移。 5、19世纪末中日数学之比较。

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