第 6 讲

第 6 讲 多商品之间的需求关系

两种商品 • 在仅仅有两种商品的时候所具有的关系比较少 • 但是这种情况可以利用二维图来说明

当 y的价格下降，替代效应可能很小，以至于消费者购买了更多的 x和 y y1 y0 U1 U0 x0 x1 总互补品的数量在这种情况下, 我们称 x和 y总互补品 x/py < 0 x的数量

当商品 y的价格下降, 替代效应可能很大以致于消费者购买更少的 x和更多的 y y1 y0 U1 U0 x1 x0 总替代品 y的数量在这种情况下, 我们称 x 和 y为总替代品 x/py > 0 x的数量

替代效应 (+) 收入效应(-) 如果 x是正常品总效应 (模糊的) 数学处理 • py的变化引起的x的变化可以利用斯卢茨基方程表示为

替代和互补 • 对于多商品情况, 我们可以推广斯卢茨基方程分析对于任何的 i或者 j • 这意味着任何商品价格变化引起的收入效应和替代效应会改变每种商品的需求数量

替代和互补 • 如果一种商品能够代替另一种商品使用，那么两种商品是替代品 • 例子: 茶和咖啡, 奶油和人造黄油 • 如果两种商品需要一起使用，那么它们是互补品 • 例子: 咖啡和糖

总替代和互补 • 总替代和互补这个概念包括替代效应和收入效应 • 两种商品是总替代品，如果 xi /pj > 0 • 两种商品是总互补品，如果 xi /pj < 0

总定义的非对称性 • 总替代品和总互补品定义中不令人满意的是具有不对称性 • 可能发生下列情况： x1是 x2的替代品，然而，同时 x2是 x1 的互补品

总定义的非对称性 • 假定两种商品的效用函数为 U(x,y) = lnx + y • 建立拉各朗日函数 L = ln x + y + (I – pxx – pyy)

总定义的非对称性 一阶条件: L/x = 1/x - px = 0 L/y = 1 - py = 0 L/ = I - pxx - pyy = 0 • 从前两个方程中得到 pxx = py

总定义的非对称性 • 将其带入预算约束, 我们可以得到 y 的马歇尔需求 pyy = I – py • py的上升引起在商品y上的支出减少 • 因为px和 I未变, x的支出一定上升 ( x和 y是总替代品) • 但是 y的支出不依赖于px ( x和 y相互独立)

净替代和互补 • 净替代和互补仅仅关注替代效应 • 两种商品是净替代，如果 • 两种商品是净互补，如果

净替代和互补 • 这个定义仅仅关注无差异曲线的形状 • 这个定义因为其对称性，所以是清晰的

总互补品 即使 x和y是总互补品, 它们也可以是净替代品 y的数量因为MRS是递减的, 自身价格的替代效应一定是负的，因此交叉价格替代效应一定是正的。如果只有两种商品，那么一定是净替代品。 y1 y0 U1 U0 x0 x1 x的数量

多商品之间的替代性 • 一旦效用最大化模型扩展到多商品, 许多需求模式都是可能的 • 根据希克斯需求第二定律, “大多数” 商品都是替代品

多商品之间的替代性 • 为了证明这一点, 我们从补偿需求函数开始 xc(p1,…pn,V) • 利用欧拉定理

多商品之间的替代性 • 变成弹性形式 • 因为替代效应为负，所以eiic  0, 因此一定有

复合商品 • 在最一般的情况下, 消费者消费 n种商品，他的需求函数将会反映n(n+1)/2 种不同的替代效应 • 将一组商品加总通常会带来便利 • 例子: 食品, 服装, “所有其他商品”

复合商品理论 • 假定消费者在 n种商品中选择 • x1的需求将会依赖于所有其他 n-1 种商品的价格 • 如果所有这些价格一起运动, 那么将它们加总成为复合商品(y)就是有意义的

复合商品理论 • 令 p20…pn0表示这些其他商品的最初价格 • 假定它们同时变化 (因此 x2…xn的相对价格不变) • 定义复合商品 y为在最初价格上对于商品x2…xn的总支出 y = p20x2 + p30x3 +…+ pn0xn

复合商品理论 • 消费者预算约束为 I = p1x1 + p20x2 +…+ pn0xn = p1x1 + y • 如果我们假定所有价格 p20…pn0同比率 (t > 0) 变化，那么预算约束变为 I = p1x1 + tp20x2 +…+ tpn0xn = p1x1 + ty • p1或者 t的改变引起替代效应

复合商品理论 • 如果 p20…pn0同时变化, 可以将我们对于需求的考察简化为 x1和 “其他商品”之间的购买 • 这个定理没有预测 x2…xn的选择行为 • 仅仅关注了 x2…xn 的总支出

复合商品 • 复合商品是一组商品，其价格同时变化 • 这些商品可以被看作一个商品 • 消费者的行为看起来仿佛是他在其他商品和这组商品的支出上选择

例子:复合商品 • 假定消费者从三种商品中获得效用: • 食品(x) • 住宅 (y), 利用百平方米测算 • 家政 (z), 利用用电量测算 • 假定CES效用函数

例子:复合商品 • 利用拉各朗日方法获得效用函数

例子:复合商品 • 如果最初的 I = 100, px = 1, py = 4, pz = 1, 那么 • x* = 25, y* = 12.5, z* = 25 • ￥25 花在食品上，￥75 花在家庭相关费用上

例子:复合商品 • 如果我们假定住宅价格 (py) 和电力价格 (pz) 同时运动，我们可以利用初始价格定义 “复合商品” 房子 (h) h = 4y + 1z • 房子的最初数量是房屋类总支出 (75) • 因为py和pz总是同比率变化，所以 ph=pz=0.25py

例子:复合商品 • 现在x可以表示成 I, px和 ph 的函数 • 如果I = 100, px = 1, py = 4, ph = 1, 那么 x* = 25 , 房屋类总支出(h*) = 75

例子:复合商品 • 如果 py上升到 16 ，pz上升到 4 (px维持在 1), ph将上升到 4 • x的需求下降到 • 房屋类支出

例子:复合商品 • 因为 ph = 4, h* = 150/7 • 如果I = 100, px = 1, py = 16, pz = 4, 消费者的需求函数为 x* = 100/7, y* = 100/28, z* = 100/14 • 这意味着 h的消费量也可以如下计算 h* = 4y* + 1z* = 150/7

要点回顾: • 但仅有两种商品的时候, 一种商品价格 (py)变化对另外一种商品(x) 需求的替代效应和收入效应通常作用方向相反 • x/py的符号是模糊的 • 替代效应是正的 • 收入效应是负的

要点回顾: • 在多商品情况下, 需求之间的关系可以用两种方式来概括 • 两种商品是总替代品，如果xi /pj > 0，是总互补品，如果 xi /pj < 0 • 因为这些效应包含了收入效应, 它们可能是非对称的 • 很可能 xi /pj  xj /pi

要点回顾: • 仅仅关注于价格变化的替代效应提供了一个对称的定义 • 两种商品是净替代品，如果 xi c/pj > 0，是总互补品，如果 xi c/pj < 0 • 因为 xic/pj = xjc/pi, 不存在模糊性 • 希克斯需求第二定律表明净替代品更加普遍

要点回顾: • 如果一组商品的价格总是同时变化, 这些商品的支出可以被看成 “复合商品” ，其“价格”是其中商品价格的变化比例

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